8.4 因式分解 2024-2025學(xué)年滬科版七年級數(shù)學(xué)下冊

8.4.2因式分解公式法第八章整式的乘法與因式分解滬科版七年級數(shù)學(xué)下冊定義：

把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.什么叫因式分解？你能敘述完全平方公式、平方差公式嗎？(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)

(a-b)=a2-b2看誰算的又快又準(zhǔn)確：（1）1002－2×100×99+992（2）482+48×24+122

解：原式=（100－99)2

=1.（3）65.52-35.52

（4）522-482

原式=482+2×48×12+122=（48+12）2=3600原式=（65.5+35.5）（65.5-35.5）=101×31=3131原式=（52+48）（52-48）=100×4=400你覺得用什么方法可以進行快速計算？本題利用公式分解因式的方法，大大減少計算量，結(jié)果準(zhǔn)確.3、a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22、m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()21、x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2x2x+2aa2ba+2b2b對照

a2±2ab+b2=(a±b)2，你會嗎？mm-33x2m3典例精析例1

分解因式：（1）16x2+24x+9；

分析：在（1）中，

16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32解：

(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(首)2+2·首·尾+(尾)2（2）-x2+4xy-4y2.

(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

分解因式:4x2＋4x＋1

小聰解答過程如下：他做對了嗎？若錯誤，請你幫忙糾正過來.解:原式＝(2x)2＋2?2x?1＋1＝(2x+1)2×想一想：多項式a2-b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？是a,b兩數(shù)的平方差的形式平方差公式：探索新知a2-b2=(a+b)(a-b)整式乘法因式分解辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2（5）m2-1探索新知★符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:

()2-()2的形式.√√××辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？√（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2（5）m2-1探索新知★符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:

()2-()2的形式.兩數(shù)是平方，減號在中央．例1分解因式：解:原式=典例精析（1）4x2-9（2）(x+2)2-(x+3)2(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)a2-b2=(a+b)(a-b)=[(x+2)+(x+3)]·a2-b2=(a+b)(a-b)=(2x+5)×（-1）整體思想[(x+2)-(x+3)]=-2x-5a2-b2=(a+b)(a-b)當(dāng)場編題，考考你！20152－20142=(x+z)2

-(y+p)2=(2mn)2－(3xy)2=針對訓(xùn)練例2分解因式：解：原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)典例精析(1)x4-y4(2)a3b-ab分解因式后，一定要檢查是否還有能繼續(xù)分解的因式，若有，則需繼續(xù)分解.例2分解因式：解：原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)解：原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1)典例精析(1)x4-y4(2)a3b-ab分解因式后，一定要檢查是否還有能繼續(xù)分解的因式，若有，則需繼續(xù)分解.分解因式時，一般先用提公因式法進行分解，然后再用公式法.最后進行檢查.方法總結(jié)方法總結(jié)：分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．例3：分解因式：＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)解：原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)針對訓(xùn)練(1)5m2a4－5m2b4例3：分解因式：＝(a＋2b)(a－2b－1)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)解：原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)針對訓(xùn)練(2)a2－4b2－a－2b(1)5m2a4－5m2b4例4計算下列各題：解：原式＝(101＋99)(101－99)解：原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800典例精析(2)53.52×4－46.52×4(1)1012－992＝400例4計算下列各題：解：原式＝(101＋99)(101－99)解：原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800典例精析(2)53.52×4－46.52×4(1)1012－992＝400方法總結(jié)：較為復(fù)雜的有理數(shù)運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.例5.如圖，在邊長為6.8cm正方形鋼板上，挖去4