2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題，本大題共8小題，每小題5分，計40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題紙的指定位置填涂答案選項．1.計算等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先利用角的變換將轉(zhuǎn)化為，再用兩角差的正弦展開，化簡后，逆用兩角和的正弦求解.【詳解】故選：A本題主要考查了兩角和與差的正弦的正用和逆用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.2.設(shè)且則A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】[方法一]：.故選：C.[方法二]：又.故選：C.[方法三]：由已知得，，去分母得，，所以，又因為，，所以，即，故選：C.考點：同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式．3.設(shè)關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】先結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求出對應(yīng)的范圍，然后結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為，所以，即.因為，所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要條件．故選：A.4.如圖，在平行四邊形中，是的中點，與交于點，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運算計算即可.【詳解】依題意在平行四邊形中，，又是的中點，則，又與交于點，所以，則，所以，又，所以故選：A.5.已知向量，滿足，，則向量與的夾角的余弦值等于（）A.0 B. C. D.【正確答案】D【分析】利用已知可求得，，進而利用向量的夾角公式可求.【詳解】因為，兩邊平方得，所以，，，所以．故選：D．6.設(shè)，則有（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化，然后利用特殊角的三角函數(shù)值比較判斷.【詳解】因為，，，所以，故選：A7.已知正方形的邊長為是它的外接圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】作出圖形，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積運算化簡，求的范圍可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)弦的長度最大時，弦過正方形的外接圓的圓心，因為正方形的邊長為2，所以圓的半徑為，如下圖所示：則，，所以，.因為點為正方形四條邊上的動點，所以，又，所以，故選：A.8.平面內(nèi)，定點，，，滿足，且，動點，滿足，，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運算與垂直的性質(zhì)可得是正三角形，且是的中心，再以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)，結(jié)合三角函數(shù)設(shè)點的坐標(biāo)，進而表達出，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】由題，則到，，三點的距離相等，所以是的外心.又，變形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心與垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的邊長為；如圖所示，以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則，，，，可設(shè)，其中，，而，即是的中點，則，，當(dāng)時，取得最大值為．故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，計18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分進心的得部分分，有選錯的得0分，9.已知向量，則（）A. B.向量的夾角為C. D.在上的投影向量是【正確答案】BD【分析】由向量垂直坐標(biāo)表示計算即可求出判斷A；由向量夾角余弦公式結(jié)合向量夾角范圍即可求解判斷B；由向量模長公式即可計算求解判斷C；由投影向量公式計算即可求解判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，由A可得，又，故，即向量的夾角為.故B正確；對于C，，所以，故C錯誤；對于D，在上的投影向量是，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列函數(shù)判斷正確的是（）A.為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞減D.的圖象關(guān)于點對稱【正確答案】BC【分析】利用三角降冪公式和輔助角公式，化簡函數(shù)解析式為，運用奇偶性定義判斷A項，利用代入檢驗法判斷B,D項，利用余弦函數(shù)的圖象判斷C項即可.【詳解】由，可得.對于A，因，則為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因當(dāng)時，，，故的圖象關(guān)于直線對稱，即B正確；對于C，當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即D錯誤.故選：BC.11.如圖，在梯形中，，，為線段的中點，與交于點，為線段上的一個動點，則（）A.B.向量與共線C.D若，則最大值【正確答案】ACD【分析】利用平面向量的基本定理求出關(guān)于、的表達式，可判斷A選項；利用平面向量的線性運算可得出關(guān)于、的表達式，結(jié)合平面向量共線的基本定理可判斷B選項；推導(dǎo)出，可得出、、面積的關(guān)系，可判斷C選項；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于的表達式，可求出的最大值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由題意可知，，則，因為為的中點，則，即，所以，，因為，則存在，使得，因為、、三點共線，則存在，使得，即，可得，因為、不共線，所以，，解得，故，A對；對于B選項，，所以，、不共線，B錯；對于C選項，因為為的中點，則，因為，則，故，同理可得，所以，，C對；對于D選項，因為為線段上一個動點，則存在，使得，所以，，因為、不共線，則，，故，因此，的最大值為，D對.故選：ACD.關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于選擇基底，將問題中相關(guān)的向量利用基本向量加以表示，再結(jié)合平面向量相關(guān)知識求解.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，計15分，請把答案寫在答題紙的指定位置上．12.已知向量，，，______．【正確答案】【分析】由向量的數(shù)量積運算，可得，結(jié)合完全平方公式展開，將，代入，即可求解.【詳解】由，得，即，即，又，，解得.故答案為.13.設(shè)向量，且，則________；＝________.【正確答案】①.##②.【分析】利用向量坐標(biāo)運算得到方程組，利用和角的三角公式展開化簡后即可求出的值，再運用二倍角公式與和角公式化簡所求式，最后化弦為切即得.【詳解】由題意，，化簡得，由；則故；.14.在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______.【正確答案】8.【詳解】，又，因此即最小值為8.【考點】三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)中的主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正、余弦定理，是一個關(guān)于切的等量關(guān)系，平時應(yīng)多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識．此類問題的求解有兩種思路：一是邊化角，二是角化邊．四、解答題：本大題共5小題，計77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)城內(nèi)．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）且【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算列式求解的值，從而得模長；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)的線性運算得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算求解實數(shù)的值；（3）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因為向量，且，所以，解得，所以.【小問2詳解】因為，且，所以，解得.【小問3詳解】因為與的夾角是鈍角，則且與不共線，即且，所以且.16.已知銳角的終邊與單位圓相交于點.（1）求實數(shù)及的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值.【正確答案】（1），；（2）（3）【分析】（1）由題意列式即可求解m，再由正切函數(shù)定義即可得解；（2）由銳角的終邊上點的坐標(biāo)求得，結(jié)合余弦兩角和公式和倍角公式即可計算得解；（3）由和角的范圍，求得，再巧妙地把所求轉(zhuǎn)化為，然后借助正弦兩角差公式即可計算得解.【小問1詳解】由于點在單位圓上，且是銳角，可得，，則，；【小問2詳解】因為銳角的終邊與單位圓相交于點，所以，，可得，，所以.【小問3詳解】因為為銳角，所以，又，所以，因為，所以，所以.17.如圖，在矩形中，點在邊上，，且.M是線段上一動點.（1）M是線段的中點，求的值；（2）若，求的最小值.【正確答案】（1）30（2）【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，，利用，求得m的值，即可求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】因，故，所以,又在矩形中，,故.【小問2詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè),則，故由得，，即，由于M點在上，設(shè)，則，則，即，故，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.18.某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點P為半圈上一點（異于），點H在線段上，且滿足.已知，設(shè).（1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大，當(dāng)為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；（2）為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達到最大.當(dāng)為何值時，取得最大值，并求該最大值.【正確答案】（1）（2），最大值為【分析】（1）由，則在直角中，，，計算得到，計算最值得到答案.（2）計算，得到，得最值.【小問1詳解】由，在直角中，，；在直角中，，；，所以當(dāng)，即時，的最大值為，即時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；【小問2詳解】在直角中，由，可得；在直角中，，所以，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為.19.如圖，是單位圓（圓心為）上兩動點，是劣弧（含端點）上動點.記（均為實數(shù)（1）若到弦的距離是，（i）當(dāng)點恰好運動到劣弧的中點時，求的值；（ii）求的取值范圍；（2）若，記向量和向量夾角為，求的最小值.【正確答案】（1）（i）；（ii）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，又直線與圓的位置關(guān)系，得，（i）可由圓的幾何性質(zhì)得，從而按照數(shù)量積的定義求得結(jié)果；（ii）以為基底向量，所求向量用基底表示，進而轉(zhuǎn)