2024-2025學(xué)年河北省保定市曲陽(yáng)縣高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省保定市曲陽(yáng)縣高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3.本試卷命題范圍：選擇性必修第二冊(cè)（第五章），選擇性必修第三冊(cè)（6.1～6.2）.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.某郵局有4個(gè)不同的信箱，現(xiàn)有5封不同的信需要郵寄，則不同的投遞方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【正確答案】A【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】將5封不同的信，通過4個(gè)不同的信箱郵寄，每封信都有4種不同的投遞方法，因此總的不同的投遞方法共有：種.故選：A.2.把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分法共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.7種【正確答案】A【詳解】試題分析：分類：三堆中“最多”的一堆為5個(gè)，其他兩堆總和為5，每堆最至少1個(gè)，只有2種分法．三堆中“最多”的一堆為4個(gè)，其他兩堆總和為6，每堆最至少1個(gè)，只有2種分法．三堆中“最多”的一堆為3個(gè)，那是不可能的．考點(diǎn)：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理應(yīng)用．點(diǎn)評(píng)：本解法從“最多”的一堆分情況考慮開始，分別計(jì)算不同分法，然后求和．用列舉法也可以，形象、直觀易懂．3.函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，由題意得：，即在上恒成立，因?yàn)椋院愠闪?，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B4.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則等于（）A.0 B. C.1 D.【正確答案】C【分析】先求出時(shí)的導(dǎo)函數(shù)，再分別求出和，即可得到目標(biāo)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以.故選：5.如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可知每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色；同色兩大類，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；(2)同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種，故選：A．6.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)，和的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知單調(diào)遞增，比較的大小，可得和的大小關(guān)系.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以，即，?故選：A.本題考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由，求導(dǎo)得，再根據(jù)在上的最大值為，分，，討論求解.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，解得，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)最大值為，解得，符合題意.故a的值為.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，的圖象連續(xù)，且，記的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后由可得，進(jìn)而由確定，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而由奇函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)，則，由題意，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，，故，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，由得或，由的，故由得或或，故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象不可能是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】依據(jù)單增則，單減則可判斷.【詳解】由圖像可知，在上單調(diào)遞增，則在上，故C、D選項(xiàng)的圖象不可能是的圖象；在上先減后增再減，則先負(fù)后正再負(fù)，故A選項(xiàng)的圖象不可能是的圖象，B選項(xiàng)的圖象可能是的圖象.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的為（）A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法C.6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法D.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450種不同的分法【正確答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用分組分配的方法，列式判斷AB；利用隔板法計(jì)算判斷C；利用分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，先取2本給甲，再?gòu)挠嘞?本中取2本給乙，最后2本給丙，不同分法有種，A正確；對(duì)于B，把6本不同的書按分成3組有種方法，再分給甲、乙、丙三人有種方法，不同分法種數(shù)是，B正確；對(duì)于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，相當(dāng)于把6本相同的書排成一排，中間形成5個(gè)間隙，取兩塊隔板插入兩個(gè)間隙，把6本書分成3部分，分給甲、乙、丙三人的不同分法數(shù)為，C正確；對(duì)于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3類辦法，每人2本有種，一人1本，一人2本，一人3本有種，一人4本，另兩人各一本有種，所以6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法數(shù)是：，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】由題意，利用求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化成方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，繼而理解為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，依題意知，在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，也即函數(shù)與函數(shù)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，由二次函數(shù)的圖象可得：，解得，故C，D兩項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則不同分法的種數(shù)是______.【正確答案】720【分析】根據(jù)題意，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意知這是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，分第一張有10種結(jié)果，分第二種有9種結(jié)果，分第三種有8種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果．故720．13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為______.【正確答案】【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出.【詳解】由，則，則，且，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.故14.已知，函數(shù)在有極值，設(shè)，其中為不大于的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.【正確答案】615【分析】根據(jù)給定條件探求出，再借助的意義分析的前100項(xiàng)的各個(gè)值，再求和作答.詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，因，函數(shù)在有極值，則存在，有，解得，于是得，即，而，因此，數(shù)列的前100項(xiàng)中有1個(gè)0，3個(gè)1，5個(gè)2，7個(gè)3，9個(gè)4，11個(gè)5，13個(gè)6，15個(gè)7，17個(gè)8，19個(gè)9，而，所以.故答案：615關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步驟.15.有5名同學(xué)站成一排拍照．（1）若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，則共有多少種不同的排法？（3）求出現(xiàn)甲必須站正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰排法？【正確答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用捆綁法求得方法數(shù).（2）利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出方法數(shù).（3）利用分步計(jì)數(shù)原理，求得方法數(shù)【詳解】（1）將甲乙捆綁在一起，故方法數(shù)有種.（2）如果甲排左端，則方法數(shù)有種；如果乙排左端，則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.（3）按照甲、乙、丙、其他三個(gè)同學(xué)的順序進(jìn)行安排，所以方法數(shù)有種.本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問題的求解，考查分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】由排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，整理可得，解得.（2）由，則，整理可得，分解因式得，解得，所以.17.設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)（1）畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）利用分離參數(shù)的方法求解恒成立問題即可.【小問1詳解】的定義域?yàn)镽，，今得或，令得，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，的圖象如圖所示，由圖可知，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)根，則【小問3詳解】時(shí)，恒成立，即在恒成立，今，則，等價(jià)于，且開口向上，在單調(diào)遞增．18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)極值；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極值；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，無(wú)極大值；（2）由，得．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減．又，且，所以函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增．所以，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則需，即，得．綜上所述，若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.19.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）判斷的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，證明：【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值分情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)已知條件，化不等式