天津市十二區(qū)重點學校2025年高考數(shù)學一模試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年天津市十二區(qū)重點學校高考數(shù)學一模試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合U={?1,0,1,2,3}，A={?1,0,1}，B={0,1,2,3}，則(?UA)∩B=A.{?1,2,3} B.{2,3} C.{?1,3} D.{3}2.已知a、b∈R，則“ab≥0”是“|a+b|=|a|+|b|”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件3.若a=1.20.3，b=0.31.2，c=A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列結論正確的是(

)A.若m//n，m//α，則n//α B.若m//n，α//β，m⊥α，則n⊥β

C.若α⊥β，β⊥γ，則α//β D.若α/?/β，m?α，n?β，則m//n5.下列說法錯誤的是(

)A.若隨機變量X～N(μ,σ2)，則當σ較小時，對應的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機變量X的分布比較集中

B.在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)R2刻畫模型的回歸效果，若R2越大，則說明模型擬合的效果越好

C.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為3，則3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均數(shù)為10

D.一組數(shù)據(jù)6，7，7，6.若將lny=lnx+ln(y?x)確定的兩個變量y與x之間的關系看成y=f(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為(

)A. B.

C. D.7.已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上一點A.2 B.3 C.2 8.風箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，是人類最早的風箏起源.如圖，是某中學學生制作的一個風箏模型的多面體ABCEF，D為邊AB的中點，四邊形EFDC為矩形，且DF⊥AB，AC=BC=3，∠ACB=120°，當AE⊥BE時，多面體ABCEF的體積為(

)A.964 B.9389.設符號函數(shù)sgn(x)=?1,x<00,x=01,x>0，已知函數(shù)f(x)=2sgn(cosx)cosx，則A.2π為f(x)的最小正周期

B.f(x)圖象的對稱軸方程為x=kπ(k∈Z)

C.f(x)在[2π3,4π3]上單調遞增

D.函數(shù)二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足2z+z?=6+i，則|z|=11.二項式(x?2x)6的展開式中，x4項的系數(shù)是______12.已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，P在C上，若以PF為直徑的圓與x軸相切于點M(1,0)，則|PF|=

．13.某大學開設了“九章算術”，“數(shù)學原理”，“算術研究”三門選修課程.甲、乙、丙、丁四位同學進行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案一共有______種；若定義事件A為甲和乙選擇的課程不同，事件B為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術”，則P(B|A)=______．14.平面四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠CBD=30°，|BC|=3，點O為線段BD的中點．

(Ⅰ)若∠ABD=30°，則AC?AO=______；

(15.函數(shù)f(x)=|x+3|?2,x≤a?x2+ax+f(a),x>a，若f(x)三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點.(I)求證：CM//平面DB117.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ccosA2=asinC．

(I)求角A的大??；

(Ⅱ)若b=1，cosB=277，求a的值；

(Ⅲ)若18.(本小題15分)

橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(?1,0)，離心率為12．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若橢圓C的右頂點為D，點E的坐標為(0,1)，過點F的直線l與橢圓C交第一象限于點P，l與線段DE交于點Q.若三角形FDP的面積是三角形19.(本小題15分)

數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1.已知ab1,ab2,ab3,?,abn為等比數(shù)列，且b1=2，b2=6，b3=22．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

(Ⅱ)設數(shù)列{an}中的項落在區(qū)間(3bm,3b20.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=(x+k)lnx，g(x)=x+asinx+blnx．

(Ⅰ)若k=1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)當x>1時，f(x)>2(x?1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)設0<a<1，b<0，若存在x1，x2∈(0,+∞)，使得g(x1)=g(答案解析1.【答案】B

【解析】解：因為集合U={?1,0,1,2,3}，A={?1,0,1}，B={0,1,2,3}，

所以?UA={2,3}，

故(?UA)∩B={2,3}．

故選：B2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，當ab≥0時，即|a+b|=|a|+|b|，

反之，當|a+b|=|a|+|b|時，必有ab≥0．

故“ab≥0”是“|a+b|=|a|+|b|”的充分必要條件．

故選：C．

由絕對值的性質分析“ab≥0”和“|a+b|=|a|+|b|”的關系，即可得答案．

本題考查充分、必要的判斷，注意充分、必要的定義，屬于基礎題．3.【答案】A

【解析】解：a=1.20.3>1，b=0.31.2∈(0,1)，c=log30.3<0，

故a>b>c．

故選：A．

結合函數(shù)單調性分別判斷a，b，c4.【答案】B

【解析】解：若m//n，m//α，則n//α或n?α，所以A選項錯誤；

若m//n，α//β，m⊥α，則n⊥β，所以B選項正確；

若α⊥β，β⊥γ，則α//β顯然錯誤，所以C選項錯誤；

若α//β，m?α，n?β，則m//n或m與n異面，所以D選項錯誤．

故選：B．

根據(jù)空間中各要素的位置關系，逐項判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關系，屬基礎題．5.【答案】D

【解析】解：對于A中，若隨機變量X～N(μ,σ2)，則當n較小時，對應的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機變量λ的分布比較集中，所以A正確；

對于B中，在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)R2刻畫模型回歸效果，R2越大，說明模型擬合的效果越好，所以B正確；

對于C中，若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為3，則3x1+1，3x2+1，?，3xn+1的平均數(shù)為3×3+1=10，故C正確；

對于D中，一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21，共10個數(shù)據(jù)，6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，lny=lnx+ln(y?x)，則有l(wèi)ny=ln[x(y?x)]．

由對數(shù)的運算性質可得：y=x(y?x)=xy?x2，

變形可得y=x2x?1，

又由x>0，y>0，則有x>1，

所以f(x)=x2x?1(x>1)，由函數(shù)的定義域排除A、B，

由f(2)=4，排除D．

故選：C7.【答案】D

【解析】解：已知|PF1|=b，可知P在雙曲線左支上，

由雙曲線定義可得：|PF2|?|PF1|=2a，

則|PF2|=|PF1|+2a=b+2a，

∵PF1?PF2=0，∴PF1⊥P8.【答案】A

【解析】解：在矩形CEFD中，有FD⊥CD，CE//FD，

因為DF⊥AB，AB∩CD=D，AB，CD?平面ABC，

所以FD⊥平面ABC，則CE⊥平面ABC，

因為AC，BC?平面ABC，

所以CE⊥AC，CE⊥BC，

在△ABC中，由AC=BC=3，∠ACB=120°，

則AB=2?AC?sin60°=33

又因為D為AB的中點，則CD⊥AB，

易知CD=AC?cos60°=32，

AB=2AD=2×ACsin60°=33，

易知△ECA≌△ECB，則AE=BE，因為AE⊥BE，

則AE=AB?sin45°=362，

在Rt△ACE中，CE=AE2?AC2=(362)2?32=322，

則矩形CDFE的面積S=CD?CE=39.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得f(x)=2sgn(cosx)cosx=?2cosx,cosx<00,cosx=02cosx,cosx>0，

所以作出其圖象如下：

因為f(x+π)=2cosx,cosx>00,cosx=0?2cosx,cosx<0=f(x)，所以π為f(x)的周期，故A選項錯誤；

由圖象知f(x)圖象的對稱軸方程為x=kπ2(k∈Z)，故B選項錯誤；

f(x)在[2π3,4π3]上先單調遞增，再單調遞減，故C錯誤；

函數(shù)g(x)=f(x)?1在[?π,π]上的零點個數(shù)，

轉化為方程f(x)=1在[?π,π]上的解的個數(shù)，

轉化為函數(shù)y=f(x)與y=1的交點個數(shù)，

由圖知：函數(shù)y=f(x)與y=1有4個交點，

所以函數(shù)g(x)=f(x)?110.【答案】10【解析】解：設z=a+bi，a，b∈R，

則2(a+bi)+(a?bi)=6+i，

可得2a=6且b=1，

故a=3，b=1，z=3+i，

故|z|=32+12=10．

11.【答案】?12

【解析】解：二項式(x?2x)6的通項為Tr+1=C6rx6?r(?2x)r=C6r(?212.【答案】2

【解析】解：拋物線C：x2=4y的焦點為F(0,1)，P在C上，若以PF為直徑的圓與x軸相切于點M(1,0)，

可知圓的圓心在x=1的直線上，并且圓心到(1,0)，(0,1)距離相等，

所以圓的圓心(1,1)，半徑為1，則|PF|=2．

故答案為：13.【答案】30

815【解析】解：第一空：每門課至少一人選，且甲乙選不同課程．甲乙選法有A32=6種，

剩余丙丁分配，需保證第三門課有人，

丙丁總分配方法有32=9種，減去都不選第三門的方法22=4種，

所以丙丁的分配方法有9?4=5種，

所以總方案有6×5=30種；

第二空：計算P(AB)：甲乙中有一人選“九章算術”：選法有12C21C=4種，丙丁選法有C21=2種，

所以共有4×2=8種，

甲乙都不選“九章算術”：有A22=2種選法，丙丁選法有12C21C=4種，

所以共有2×4=8種，

所以事件AB14.【答案】32

[0,【解析】解：(I)如圖，連接CO，

因∠A=∠C=90°，∠CBD=∠ABD=30°，O為線段BD的中點，

則CO=AO=CD=AD=OD=12BD=1,∠CDO=∠ADO=∠COD=∠AOD=60°，

故四邊形AOCD為菱形，則AC=3，

AC?AO=|AC|?|AO|cos?AC,AO?=3×32=32；

(Ⅱ)如圖，以C為原點，以CB，CD所在直線為x軸和y軸，建立如圖平面直角坐標系，

在△BCD中可知，AB=2，CD=1，則D(0,1),B(3,0),O(32,12)，

設A(x,y)，則CA=(x,y),AO=(32?x,12?y)，

因∠A=∠C=90°，則點A的軌跡為以BD為直徑的圓，

方程為圓O：(x?32)2+(y?12)2=1，欲使其構成平面四邊形，則其軌跡為半圓，

因AC?2AO=(x?3,y?1)15.【答案】(?5,?2)∪(?2,+∞)

【解析】解：作出y=|x+3|?2=x+1,?3<x?x?5,x≤?3的圖象，如圖所示：

由圖知，當a≥?1時，

f(x)在x∈(?∞,a]上有2個零點，

則f(x)=?x2+ax+|a+3|?2=?x2+ax+a+1在x∈(a,+∞)有且僅有一個零點，

對稱軸x=a2≥?12，

又f(?1)=?1?a+a+1=0，f(a+1)=?(a+1)2+a(a+1)+a+1=0，

則a≥?1滿足題意；

當?3≤a<?1時，f(x)在x∈(?∞,a]上有1個零點，

則f(x)=?x2+ax+|a+3|?2=?x2+ax+a+1在x∈(a,+∞)有2個零點，

易知f(?1)=f(a+1)=0，

所以只需a+1≠?1即可，

此時?3≤a<?2或?2<a<?1；

當a<?3時，

要使f(x)有三個零點，則a≥?5，

且f(x)=?x2+ax+|a+3|?2=?x2+ax?a?5在x∈(a,+∞)有2個零點，

此時對稱x=a2∈[?52,?32),

又f(0)=?a?5≤0，

則Δ=a2?4a?20>0?a2+a2?a?5<0，

即Δ=a2?4a?20>016.【答案】(Ⅰ)證明見解答；(Ⅱ)33；(Ⅲ)【解析】解：(Ⅰ)證明：由題意，以C為原點，以CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點，

可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3)，

則C1M=(1,1,0)，

設平面DB1E的法向量為n=(x,y,z)，

因為EB1=(0,2,1)，ED=(2,0,?1)，

且n?EB1=0n?ED=0，可得2y+z=02x?z=0，

取x=1，則y=?1，z=2，

所以n=(1,?1,2)，

則C1M?n=0，故C1M⊥n，

因為C1M?平面DB1E，

所以C1M/?/平面DB1E；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得n=(1,?1,2)為平面DB1E的一個法向量，

又AB=(?2,2,0)，

所以cos<AB17.【答案】(Ⅰ)π3；

(Ⅱ)72；

【解析】解：(Ⅰ)因為ccosA2=asinC，由正弦定理可得sinCcosA2=sinA?sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得cosA2=2sinA2cosA2，

因為A∈(0,π)，所以A2∈(0,π2)，可得cosA2>0，

可得sinA2=12，可得A2=π6，

即A=π3；

(Ⅱ)b=1，cosB=277，可得sinB=1?cos2B=1?47=217，

由正弦定理可得：asinA=bsinB，即a32=121718.【答案】(Ⅰ)x24+y23【解析】解：(Ⅰ)因為橢圓C的左焦點為F(?1,0)，離心率為12，

所以c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2b=3，

則橢圓C的方程為x24+y23=1；

(Ⅱ)易知直線l的斜率存在且為正，直線DE方程為y=?12x+1，

因為三角形FDP的面積是三角形FOQ面積的5倍，

所以S△FDPS△FOQ=12|FD||FP|sin∠PFD12|FO||FQ|sin∠PFD=5，

即|FD||FO|=3，

所以|FP||FQ|=|yP||yQ|=53，

易知P、Q均在y軸右側，

所以yP=53yQ，

設直線l方程為x=my?1，

聯(lián)立y=?12x+1x=my?1，

19.【答案】(Ⅰ)an=3n?2，bn=4n+23【解析】解：(Ⅰ)設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題意可得：a62=a2a22，

即(1+5d)2=(1+d)(1+21d)，解得d=3(d≠0)，

則an=1+3(n?1)=3n?2．

由a2=4，a6=16，得abn=4n，

又abn=3bn?2，∴3bn=4n，即bn=4n+23；

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知，3bm=4m+2，3bm+1=4m+1+2，

數(shù)列{an}中的項落在區(qū)間(3bm,3bm+1)中的項數(shù)滿足4m+2<3n?2<4m+1+2，

即4m+43<n<4m+1+43，

∵4m+43=Cm030+Cm131+...+Cmm3m+43=23+1+Cm1+...+Cmm3m?1

4m+1+43=Cm+1030+Cm+1131+...+Cm+1m+13m+1+43

=23+1+Cm+120.【答案】(Ⅰ)y=2x?2；

(Ⅱ)[1,+∞)；

(Ⅲ)證明見解答．

【解析】解：(Ⅰ)當k=1時，f(x)=(x+1)lnx，f′(x)=lnx+(x+1)x，

∴f′(1)=2，又f(1)=0，∴切線方程為y=0=2(x?1)，即y=2x?2．

(Ⅱ)設m(x)=f(x)?2(x?1)=(x+k)lnx?2x+2，則m′(x)=f(x)?2(x?1)=lnx+k?1，