上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)2025屆高三下學(xué)期期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

上海市黃浦區(qū)大同中學(xué)2025屆高三下學(xué)期期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，，，，若，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．2．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C．7 D．24．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，則（）A．4 B．6 C． D．5．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-26．寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．7．已知拋物線,過拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．8．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的-一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．9．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．10．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．11．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（）A． B．1 C． D．12．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時(shí)，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.14．若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為______.15．如圖，是圓的直徑，弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：16．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，總有成立.20．（12分）函數(shù)，且恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的集合；（2）當(dāng)時(shí)，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.（參考數(shù)據(jù)：）21．（12分）唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大，屬于哪個(gè)類別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率；（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系，則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字；②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大，排名就越靠前；設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為，，.已知，，請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63522．（10分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=bnan，求數(shù)列

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

將、用、表示，再代入中計(jì)算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.2．B【解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題3．B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．4．B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長(zhǎng)為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.．5．B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.6．B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)，代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一些.8．A【解析】

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9．A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．11．D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得∴焦點(diǎn)為，即焦點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).12．B【解析】

先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋B接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.14．-1【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，由得即，則有最大值，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15．證明見解析．【解析】試題分析：四點(diǎn)共圓，所以，又△∽△，所以，即，得證．試題解析：A．連接，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，則四點(diǎn)共圓，所以．又△∽△，所以，即，∴．16．5670【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，可得二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，可求得其系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開式一共有項(xiàng)，所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，系數(shù)為.故答案為：5670【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，由通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，不等式為.若，則，解得或，結(jié)合得或.若，則，不等式恒成立，結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令，得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡(jiǎn)得，解得，結(jié)合，得的取值范圍為.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．18．（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設(shè)直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡(jiǎn)，即可得證.【詳解】（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且該點(diǎn)在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點(diǎn)F在線段上，可設(shè)直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點(diǎn)在線段上，∴.∵P是的中點(diǎn)，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．19．（1）（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1）∵∴，且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，∴在上恒成立.設(shè)，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，，則，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20．（1）；（2）2個(gè)，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，使得，與條件矛盾；2°當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時(shí)，，要使恒成立，故.（2）原問題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù)問題，當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：由，即，令，因?yàn)?，所以是的一根；?°當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，即在上無實(shí)根；2°當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞遞增，又，所以在上有唯一實(shí)根，且滿足，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上無實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，故在上有唯一實(shí)根.3°當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，故，所以在上無實(shí)根.綜合1°，2°，3°，故有兩個(gè)實(shí)根，即