高中數(shù)學(xué)競賽專題講座之二：數(shù)列

高中數(shù)學(xué)競賽專題講座之二：數(shù)列

一、選擇題部分

2

1.（2006年江蘇）已知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式區(qū),=/4?+5'則的最大項(xiàng)是⑴）

A.%B.a2C.a3D.a4

2.（2006安徽初賽）正數(shù)列滿足%=1,〃2=1。，朔〃-2（九N3）,則lg（4oo）=（）

A.98B.99C.100D.101

3.（2006吉林預(yù)賽）對于一個(gè)有n項(xiàng)的數(shù)列P=（p「p2,…，Pn），P的“蔡查羅和”定義為

Sl>S2、…Sn、的算術(shù)平均值，其中Sk=pl+p?+…pk（10k0n）,若數(shù)列（pl，P2,…，P2006）的“蔡

查羅和”為2007,那么數(shù)列（1,Pl,P2,…，P2006）的“蔡查羅和”為（A）

A.2007B.2008C.2006D.1004

4.（集訓(xùn)試題）已知數(shù)列｛期｝滿足3an+i+an=4（n21）,且a】=9,其前n項(xiàng)之和為S”則滿足不等

式|S,『n-6|<—的最小整數(shù)n是（）

125

A.5B.6C.7D.8

解：由遞推式得：3（an+1-l）-（an-l）,則｛a『l｝是以8為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列,

3

8口-(-；)"]]J]

nn

Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+,,,+(an-1)=-----------=6-6X(--),/.|Sn-n-6|=6X(—)<----,得:

1133125

1十一

3

32>250,?,?滿足條件的最小整數(shù)n=7,故選C。

6,12005

5.（集訓(xùn)試題）給定數(shù)列｛福｝,X1=l,且Xn+尸洋」，則￡4二（）

J3-n=\

A.1B.-1C.2+V3D.-2+V3

V3

x+

?~T萬r

解：x+i=----T=——，令x=tana,x+i=tan(a+—),x+6=x,xi=l,X2=2+v3,

n.V3nnnn6nn

「3%

2005

X3=-2-V3,X4=-1,X5=-2+A/3,X6=2-V3,x?=1,...，???有2%〃=七=1。故選A。

n=l

6.（2006陜西賽區(qū)預(yù)賽）已知數(shù)列｛q｝、出｝的前n項(xiàng)和分別為A“，B“記

c=%e+24-4也(〃>1)則數(shù)列｛?！埃那?0項(xiàng)和為(C)

A.Aj04-Bl()B.4。2――C.Ao.S]。D.JAU?4o

7.（2006年浙江省預(yù)賽）設(shè)/（〃）為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比

如"123）=12+22+32=14。記力（“）=/（”），九（〃）=/（"（〃））,左=1,2,3,

則力（x）6（2006）=（D）

A.20B.4C.42D.145

解：將/（2006）=40記做2006—40,于是有

2006—40—16—37—58—89—145—42—20—4—16-…

從16開始，，是周期為8的周期數(shù)列.

故力（）06（2006）=力004a6）="250*8（16）=￡（16）=145.正確答案為D。

二、填空題部分

1.數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S“滿足Sn=-（an+—），則*=一五-斤一.

2.（2006天津）已知。，氏c,d都是偶數(shù)，且0<avZ?<cvd,d-a=90f若a,b,c成

等差數(shù)列，"成等比數(shù)列，則Q+b+c+d的值等于—194.

3.（2006吉林預(yù)賽）如圖所示，在楊輝三角中斜線上方的數(shù)所組成的數(shù)列1,3,

6,10,?-?,記這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為S（n）,則]皿/—=_______.1

—Kos（〃）II/

4.（2006年江蘇）等比數(shù)列｛叫的首項(xiàng)為q=2020,公比q=—L

,、I51071051

設(shè)）（〃）表示這個(gè)數(shù)列的前九項(xiàng)的積，則當(dāng)"=12時(shí),./

/（〃）有最大值.

5.在x軸的正方向上，從左向右依次取點(diǎn)列｛A/,/=1,2,…，以及在第一象限內(nèi)的拋物線

3

/=]X上從左向右依次取點(diǎn)列｛4｝,左=1,2,…，使AAl&A（左=1,2,…）都是等

邊三角形，其中人是坐標(biāo)原點(diǎn)，則第2005個(gè)等邊三角形的邊長是迦.

【解】：設(shè)第n個(gè)等邊三角形的邊長為明。則第n個(gè)等邊三角形的在拋物線上的頂點(diǎn)8.

的坐標(biāo)為（q+&+…+。〃一1+T扃+y

再從第n個(gè)等邊三角形上，我們可得8“的縱坐標(biāo)為=等“"°從而有

"a"=+的+…++今），即有=a,+a2+???+??_,?

乙V乙、乙）乙乙

a1c

由止匕可得4]+。2+…+。“=—--%(1)

1222

以及，+口2+…+4-1=智■+(2)

(1)一(2)即得an=(a,,-an_y)+(a?-a,,^)(??+an_,).

變形可得(a“一a,--1)(%+a,-)=0.

由于a“+a,i聲0,所以an-an_i=1o在(1)式中取n=1,可得

而6w0,故。]=1。

因此第2005個(gè)等邊三角形的邊長為々2005=20050

6.(2005年浙江)已知數(shù)列滿足(〃+1)%〃+|=x〃+〃，且百=2,則％2(X)5=——-一.

2005!

【解】：由(〃+l)x“+]=X“+〃，推出X.+]-I=±_-o因此有

n+l

x-1x?_I-1x_-1匹-11

x—]=----n--------=-----------------=------------n----2--------------=...=--------------------------------------~----------------.

〃+1(〃+1)〃(〃+1)〃(〃-1)(T?+1)7?(H-1)---2(〃+1)!

口n七1Ji丁一rzn2005!+1

即有X”+1=----------------Hlo從而可得x=-------o

5+1)!2(0x0)552005!

7.（2005全國）記集合T={0,123,4,5,6},M=號+叁+字■+墨|”=1,2,3,4},將M中

的元素按從大到小的順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是（）

55635562

A+++B+++

一

一

一

一

-一-

7?7

72737273743

o411。

一

一-

c+k-D-十

++一+

-一

7774

73747273

解：用…4（表示k位P進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個(gè)數(shù)乘以7。得

32

M'={^-7+a2-7+-7+a41a1.&T,i=1,2,3,4}={fal?2?36t4]71?,G=1,2,3,4}.

M'中的最大數(shù)為[6666上=[24001。。在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的

第2005個(gè)數(shù)是2400-2004=396。而[396]?）=[1104「將此數(shù)除以74，便得M中的數(shù)

1104…八

一+^+―?+?故選C.

7727374

8.（2004全國）已知數(shù)列為，4，。2,…，滿足關(guān)系式（3-?！?1）（6+?！埃?18,且%=3,

則X—的值是”

i=oai

解：設(shè)〃=’,"=0,1,2,...,則（3--匚）（6+-!-）=18,

%%b,

即3%—6ydM=2〃"，%+g=2S,"）故數(shù)列依+J是公比為

2的等比數(shù)列，

n+1n+,

〃+：=2"（瓦+l）=2?（-+1）=lx2bn=1（2-l）o

33。0333

￡二口=及2，一)=要(21)-(n+1)=1(2n+2-?-3).

i=vaii=0i=0332-1

9.（2005四川）設(shè)r,s"為整數(shù)，集合｛a|a=2、+2,+2,0Vf<s<r｝中的數(shù)由小到大組

成數(shù)列｛a“｝：7,11,13,14,.則&<=⑶

解：???「,5/為整數(shù)且0Wf<s<r,最小取2,此時(shí)符合條件的數(shù)有C；=1

r=3,s,f可在0,1,2中取，符合條件有的數(shù)有C；=3

同理，r=4時(shí)，符合條件有的數(shù)有C：=6

r=5時(shí)，符合條件有的數(shù)有=10

廠=6時(shí)，符合條件有的數(shù)有C；=15

廠=7時(shí)，符合條件有的數(shù)有=21

因止匕，46是廠=7中的最小值，即/6=20+21+27=131

三、解答題部分

1.（20。6天津）已知數(shù)列｛a“｝滿足q=p,a2p+1,an+2-2an+i+an-n-20,其

中p是給定的實(shí)數(shù)，〃是正整數(shù)，試求〃的值，使得明的值最小.

【解】令勿=。”+1-凡，〃=1,2,…由題設(shè)a,+2-2a“+]+a“=〃-20,

.一!

有4+i--20，且仇=1...........5分于是Z（，+|-々）=Z（i-20）,

i=li=l

即么一々=[i+2+???+（〃-1）]一2〃（〃一1）.

.](72-1)(/?-40)/y

..￡?,=-----------------+1...........................1i0n7T

〃2

又4=p,a2=P+1，則％=2a2-4+1-20=〃-17va1<a2.

???當(dāng)〃”的值最小時(shí),應(yīng)有〃之3,〃“<%+],且

即2=",用_”“20,bn_t^an-an_｝<0..............................15分

(M-1)(/1-40)>2n>40

由（:※）式，得由于〃N3,且?guī)譋N*,解得

(H-2)(H-41)<-2n<40

???當(dāng)〃=40時(shí)，的值最小....................................20分

2.(2006陜西賽區(qū)預(yù)賽)(20分)已知sin(2c+0=3sin/7,設(shè)tana=x,tan/?=y，記

y=/*).

X

(1)求/(%)的表達(dá)式；/(%)=

l+2k

(2)定義正數(shù)數(shù)列｛a,,｝；"=2%?/(4)(〃eN*)。試求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

3.(2006安徽初賽)已知數(shù)列｛%｝(及20)滿足%=0,對于所有“e乂，有

a?+,=2^30a?(a?+1)+1lq,+5,求a“的通項(xiàng)公式.

4.(2006吉林預(yù)賽)設(shè)｛aj為一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，ai=t,an+i=4an(l—廝)。求有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)

t使得azoxO.(22004+1)

5.(2006年南昌市)將等差數(shù)列｛a,,｝:4=4〃-1(〃eN*)中所有能被3或5整除的數(shù)刪去

后，剩下的數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列｛?！埃?求勿的值.

解:由于a*-=60，故若?！笆?或5的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)??+15是3或5的倍數(shù).

現(xiàn)將數(shù)軸正向分成一系列長為60的區(qū)間段:(0,+8)=(0,60)U(60,120)U(120,180)5-，

注意第一個(gè)區(qū)間段中含有｛a?｝的項(xiàng)15個(gè)，即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59淇

中屬于｛包｝的項(xiàng)8個(gè)，為=7,2=11,優(yōu)=19,

b4=23也=31也=43,仿=47,4-59,

于是每個(gè)區(qū)間段中恰有15個(gè)｛%｝的項(xiàng),8個(gè)｛切｝的項(xiàng)，

且有為"一瓦=60左,kWN』WrW8.

由于2006=8X250+6,而仄=43所以23=60x250+4=60x250+43=15043.

6.(2004湖南)設(shè)數(shù)列｛。“｝滿足條件：卬=1,。2=2,且%+2=??+|+(〃=1,2,3,-?■)

求證：對于任何正整數(shù)n,都有五+1-1+-/=

,{a?

1

證明：令“0=1,則有ak+]=ak+ak_x,且1=芻-+%?(&=1,2,…)，于是

ak+\ak+\

n=由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得

k=Tak+\k=\ak+\

1%。2,Mo

14n-----,.......十n...........

Va2a3an+\V“2a3an+\

注意到a。=q=1,可知IN—1H—/,即@21H—7=

+1,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

2

年上海）數(shù)列｛4｝定義如下：％=1,且當(dāng)〃22時(shí)，a

7.（2006n1

,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí).

%

30

己知見=廣，求正整數(shù)n.

解:由題設(shè)易知，a“>0,n=l,2,….又由q=1,可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可〉1；當(dāng)〃（>1）

是奇數(shù)時(shí),（4分）

由〃=把〉1,所以n為偶數(shù)，于是/=型—1=〃<1,所以，2是奇數(shù).

"1919192

19n108n—2

于是依次可得：a=—>1,2—1是偶數(shù)，a=--\=—<\,?是奇數(shù),

pn112￥nl11114

an_2=->1,是偶數(shù),a?_6=--l=-<l,上是奇數(shù)，

84V8