高中數(shù)學(xué)：利用幾何特征解題

高中數(shù)學(xué)：利用幾何特征解題

平面解析幾何的研究對象就是平面幾何圖形及其性質(zhì)，

所以在處理平面解析幾何問題時，要充分挖掘幾何條

件，并結(jié)合平面幾何知識，有時能減少計(jì)算量，下面以

圓的有關(guān)問題說明這一點(diǎn)。

例1平面內(nèi)有兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),在圓

C：(x-3)2+(y-4)2=4上取一點(diǎn)P,求IMF+IBPF的最大值和

最小值。

轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或利用均值不等式求解，比較煩瑣。若

注意到|OP|2=x2+y2,那么問題轉(zhuǎn)化為求IOPI的最值。由圓

的對稱性可知，使IOPI取得最值的點(diǎn)P就是直線。。1和圓

5的交點(diǎn)。

|0P|min=|OO1|-2=3,|0P|rax=|001|+2=7o

從而|AP'+|BP|2的最大值為100,最小值為20o

例2求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線

y=x截得的弦長等于2萬的圓的方程。

解：因圓心在直線3x-y=0上，故可設(shè)圓心。％,3a）。

又因?yàn)閳A與X軸相切，所以r=|3a|。

此時可設(shè)圓方程為（x-aF+（y-3a）2=（3a）2（運(yùn)用已知條件，找

出a、r■間的聯(lián)系，盡可能把未知量的個數(shù)減少，這對簡

化計(jì)算很有幫助）。

又圓被直線y=x截得的弦長為2萬，同時考慮由圓半徑、

半弦、弦心距組成的直角三角形，只要將弦心距用a表

示出來，便可利用勾股定理求得a。

J_|a_3alnr.

弦心距V2,所以（扃F+（⑸=（3a）2,解得a=±l。

當(dāng)a=-l時，3a=-Xr=3,圓方程為（x+a+（y+3>=9。

當(dāng)a=l時，3a=3,r=3,圓方程為（x-1尸+&-3）?=9。

說明：此題若不充分利用圓的半徑、弦長的一半、弦心

距組成的直角三角形，而用弦長公式，將會增大運(yùn)算

量。

例3已知點(diǎn)P(5,0)和圓O：x2+y2=i6,過P作直線

I與圓。交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方

程。

解：：點(diǎn)M是弦AB中點(diǎn)，

ZOMP=90°,

??.點(diǎn)M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，此圓的圓心為

SI,半徑為L所以其方程為1一0+/=◎,即

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x+y-5x=0o同時，點(diǎn)M又在圓/=16的內(nèi)部，所以

x2+y216

x2+y2<16,即°*x=F-〈w,所求的軌跡方程為

說明：此題若不能挖掘幾何條件NOMP=90。，因?yàn)辄c(diǎn)

M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法

求解，計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。

例4已知圓M:2x2+2y2-8x-8y=l,直線|：x+y-9=0。過

直線I上一點(diǎn)A作△ABC,使NBAC=45。，邊AB過圓

心M,且B、C在圓M上，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范

圍。

解：該題從表面條件來看，易使我聯(lián)想夾角正切公式。

雖可利用圓心M到直線AC的距離dq來求解，但需要

一定的意志和耐心，否則很難正確求得答案。

若注意挖掘圓的性質(zhì)，引切線AT,T為切點(diǎn)，連接

MT,由切線性質(zhì)不難看出：（1）ZBAT>ZBAC=45°;

(2)MTlATo

|MT|

|AM|=<4=7n