六年級奧數(shù)陰影部分的面積計算+工程問題+行程問題+定義新運算

六年級奧數(shù)陰影部分的

面積計算+工程問題+行程問題+定義新運算

面積計算

一、復(fù)習舊知

計穿平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在己知條件與所求問題之間找不

到任何聯(lián)系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研

究已知條件，并加以深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當添加輔助線，

搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會使你順利達到目的。

二、新課講解

重難點：

例1、求下面各個圖形中陰影部分的面積（亙位：厘米）。

考點:

例2、計算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。

易混點：

例3、如圖所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。

求長方形ABOQ的面積。

例4、如圖所示，圓的周長為12.56厘米，AC兩點把圓分成相等的兩段弧,

陰影部分①的面積與陰影部分②的面積相等，求平行四邊形ABCD的面積。

例5、如圖所示，直徑BC=8厘米，AB=AC,D為AC的中點，求陰影部分

的面積。

?【鞏固練習】

1、如圖所示，AB=BC=8厘米，求陰影部分的面積。

?【典型例題】

例6、如圖所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）。

例7、圖是兩個完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖中的已知條件

求陰影部分的面積（單位：厘米）。

120

例8、如圖所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7

平方厘米，NABC=30度，求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。

例9、如圖所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數(shù)保留兩位小數(shù)）。

例10、如圖所示，求圖中陰影部分的面積。

例14、如圖所示，三角形ABC是直角三角形，AC長4厘米，BC長2厘米。

以AC、BC為直徑畫半圓，兩個半圓的交點在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。

六年級奧數(shù)第三講工程問題

顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學問題。其實，這類題目的內(nèi)

容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。

在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：

工作量=工作效率X工作時間，

工作時間:工作量+工作效率，

工作效率=工作量+工作時間。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可

以是部分工程量，常用分數(shù)表示。例如，工程的一半表示成!，工程的三分

之一表示為:。工作

效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，

根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。

工作效率的單位是一個復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。

但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。

例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合

干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲

隊單獨干需100天，甲的工作效

率是烹；同理，乙隊的工作效率是焉。兩隊合干的工作效率是（得+焉）。

由“工作量=工作效率X工作時間”，50天的工作量是

（―!—+—?—）x50=—+—=—（1--）-5-—5—=25（天）°

'100150;236—50'）

剩下的工作量是（1-1）。由“工作時間=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙隊干還需

例2某項工程，甲亙獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開二時

甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的T程，那么乙隊又做了18天才完成任

務(wù)。問：甲隊干了多少天？

分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊

合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。

解，（1-也1&+（￡+表

213

=（1-耳），五=*乂20=12（天）。

例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個

隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲

隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，

剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了

口-礙+/戶6卜2=3（天）。

例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時

做，那么完成任務(wù)時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，

】一弓+否=12（時）。

再求出每小時張比王多做的零件數(shù)，60-12=5（個）。

最后求出這批零件的總數(shù)，5+（=300（個）。

例5—水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單

開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水

管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？

分析與解：以滿池水為單位1。1時放水管可使水增加，排水管可使水

減少;，同時開1時，可使水增加3-;）。放水管打開1時后，池內(nèi)己經(jīng)有;

的水，與半池水還差4-3，所以要達到半池水，運需

乙D

—（時）。

《一瀉一910354'

例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40

分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再

出發(fā)后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時

間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加

上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作,

甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看

出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。

解：（1-2、15）+（焉+,）=白呆15（分）。

1.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成

工程的一半？

2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉(zhuǎn)交給

乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨

工作的天數(shù)。

3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工。現(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單

獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？

4.甲、乙二人植樹，若單獨完成則甲比乙所需的時間多若兩人合干,

則完成任務(wù)時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵?

5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現(xiàn)在兩隊同時從兩

端開工，結(jié)果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？

6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。

如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？

7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從

乙地到甲地多用:的時間。如果兩車同時開出，那么相遇時快車比慢車多行

40千米。求甲、乙兩地的距離。

答案與提示練習5

解：！，（《+白=3（天）。

1.3天。

2.14天。

解：［l-』X（6+10）］+《-10=14（天）。

4o30

解：乙隊的工作效率為（1?3X12）-24=±,

3.120天。3040

甲隊單獨挖需La（天）°

解：乙的工作效率是甲的?所以乙完成工作量的5，甲完成這批樹

共有50+（y-1）=350（棵）。

解：750X2+{G3）x［l+（《+疝］}=6000（米）。

6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開

（12X12）+]=8（時）。

18247.280千米。

解：快車從乙地到甲地用8+（1+：）=6（時）。兩車相遇需

1+（那）=v（時）,

0o/

相遇時快車比慢車多行全程的（!』）X，=J,所以甲、乙兩地相距

40^1=280（千米）。

一、單獨修一條公路，甲工程隊需100天完成，乙工程隊需150天完成。甲、

乙兩工程隊合修50天后，余下的工程由乙工程隊單獨做，還需兒天才能完成？

解：設(shè)全部工程量為“1”，則甲隊的工作效率為：，

乙隊的工作效率為：，

余下的工作量為：。

故還需：（天）。

答：余下的工程由乙獨做還需25天完成。

（綜合算式為：（大））

二、單獨完成某項工程，甲、乙、丙三人分別需10小時、15小時、20小時，

開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調(diào)走了，結(jié)果共用了6小時完成了這項

工作。問甲實際工作了多少小時？

解法一：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

解法二：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

三、一件工作，甲5小時完成了全部工作的，乙6小時又完成剩下工作為一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，還需幾小時才能完成？

解.：甲的工作效率為：，

乙的工作效率為：，

余下的工作量為：，

甲、乙的工作效率和為：。

于是，還需（小時）。

答：還需小時才能完成任務(wù)。

（綜合算式：（小時））四、一項工程，甲單獨做9小時完成，乙單獨做需

12小時。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每天每次工

作1小時。那么，完成這項工程共需要幾小時？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲工作1小時，乙再工作1小時，即

一個循環(huán)完成工作量為，由知，最多可以有5次循環(huán)，而5次循環(huán)將完成工作

量：，還剩下的工作量，剩下的工作量甲僅需（小時）即可完成。因此，共需

（小時）完成這項工程。

五、一批零件，甲獨做20小時完成，乙獨做30小時完成。如果甲、乙兩人

同時做，那么完成任務(wù)時乙比甲少做60個零件。這批零件共有多少個？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，兩人合做所需時間為：（小時）。

甲、乙兩人的工作效率之差為。

從而兩人的工作量的差為。

這的工作量為60個零件，因此，共有零件（個）。

綜合算式為：（個）

答：這批零件共有300個。

六、一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接著做，共用10天完成，則甲做了多少天？

一、某工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做30天完成。甲、乙兩隊合

做8天后，余下的工作由丙隊單獨做，又做了6天才完成。問這項工程由丙隊單

獨做需幾天完成？

解：（天）。

答：余下的工程由丙隊單獨做需15天完成。

二、一項工程，甲隊獨做20天完成，乙隊獨做30天完成。現(xiàn)由兩隊一起做,

其間甲隊休息了3天，乙隊也休息了若干天，這樣，從開始到工程完成共用了

16天。問乙隊休息了多少天？

解：（天）。

三、一件工程，小明4小時完成了全部工作的，小軍5小時又完成了剩下任

務(wù)的，最后余下的部分由小明與小軍合做。問完成這項工作共用多少小時？

解：（小時）。

答：完成這項工作共用了小時。

四、一件工程，甲獨做需24小時，乙獨做需18小時。若甲先做2小時，然

后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做2小時，再由乙獨做1小時……兩人如此

交替工作。問完成任務(wù)時共用多少小時？

解：甲做2小時，乙做1小時為一個循環(huán)。

一個循環(huán)完成工作量：，

七個循環(huán)完成工作量：，

余下的工作量由甲完成，需：（小時）。

于是，完成這項任務(wù)共需：（小時）。

答:完成任務(wù)時共用小時。

五、有一批待加工的零件，甲單獨做需4天，乙單獨做需5天，如果兩人合

作，那么完成任務(wù)時，甲比乙多做了20個零件。問這批零件共有多少個？

解：完成任務(wù)所需的時間為（天），

此時，甲比乙多完成工作量，

于是，這批零件共有（個）。

答：這批零件共有180個。

六、單獨完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先獨做若干天后

乙單獨做，則共用26天完成工作。問甲做了多少天？

七、打印一份稿件，甲單獨打需50分鐘完成，乙單獨打需30分鐘完成。現(xiàn)

在甲單獨打若干分鐘后乙接著打，共42分鐘打完。問甲完成了這份稿件的幾分

之幾？

一、單獨修一條公路，甲工程隊需100天完成，乙工程隊需150天完成。甲、

乙兩工程隊合修50天后，余下的工程由乙工程隊單獨做，還需幾天才能完成？

解：設(shè)全部工程量為“1”，則甲隊的工作效率為：，

乙隊的工作效率為:

余下的工作量為:

故還需：（天）。

答：余下的工程由乙獨做還需25天完成。

（綜合算式為：（天））

二、單獨完成某項工程，甲、乙、丙三人分別需10小時、15小時、20小時,

開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調(diào)走了，結(jié)果共用了6小時完成了這項

工作。問甲實際工作了多少小時？

解法一：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

解法二：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，由此得，甲

實際的工作時間為：

（小時）。

答：甲實際工作了3小時。

三、一件工作，甲5小時完成了全部工作的，乙6小時又完成剩下工作的一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，還需幾小時才能完成？

解：甲的工作效率為：，

乙的工作效率為：，

余下的工作量為：，

甲、乙的工作效率和為：。

于是，還需（小時）。

答：還需小時才能完成任務(wù)。

（綜合算式：（小時））

四、一項工程，甲單獨做9小時完成，乙單獨做需12小時。如果按照甲、乙、

甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每天每次工作1小時。那么，完成這項工

程共需要幾小時？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲工作1小時，乙再工作1小時，即

一個循環(huán)完成工作量為，

由知，最多可以有5次循環(huán)，而5次循環(huán)將完成工作量：，

還剩下的工作量，剩下的工作量甲僅需

（小時）即可完成。因此，共需（小時）完成這項工程。

五、一批零件，甲獨做20小完成，乙獨做30小時完成。如果甲、乙兩人同

時做，那么完成任務(wù)時乙比甲少做60個零件。這批零件共有多少個？

解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，兩人合做所需時間為：（小時）。

甲、乙兩人的工作效率之差為。從而兩人的工作量的差為。這的工作量

為60個零件，因此，共有零件（個）。綜合算式為：（個）答：這批零件共

有300個。

六、一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接著做，共用10天完成，則甲做了多少天？

一、答：甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一條水渠，甲、乙合挖5天挖了

水渠的乙、丙合挖2天挖了余下的工，剩下的又由甲、丙合挖5天剛好

34

挖完，問甲、乙、丙三人單獨挖這條水渠分別需要多少天？

解：甲、乙的工作效率之和為5

315

（1A11

乙、丙的工作效率之和為1—1X--r2=—,

I4L

甲、丙的工作效率之和為。一，卜。一』1+5=，

I3；I4J10

由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和為

（111「1

I--+--H---I4-2=-O

（151210）8

從而甲的工作效率為,

81224

乙的工作效率為m，

81040

丙的工作效率為《一人二工。

815120

于是，甲單獨完成需24天，乙單獨完成需40天，丙單獨完成需當=17,

77

天。

答：甲、乙、丙單獨完成這條水渠分別需24天、40天、17,天。

7

二、將一空池加滿水，若同時開啟1、2、3號進水管，則20分鐘可以完成；

若同時開啟2、3、4號進水管，則21分鐘可以完成；若同時開啟1、3、4

號進水管，則28分鐘可以完成；若同時開啟1、2、4號進水管，則30分鐘

可以完成。求若同時開啟1、2、3、4號進水管，則需多少分鐘可以完成？

若單開1號進水管，則多少分鐘可以完成？

解：1、2、3號進水管的工作效率和為」

20

2、3、4號進水管的工作效率和為

21

1、3、4號進水管的工作效率和為人，

28

1、2、4號進水管的工作效率和為

30

相加后除3即得1、2、3、4號進水管的工作效率和：

f1I111

(2021283018

從而同時開啟1、2、3、4號進水管需時

1--=18（分）。

18

再結(jié)合前面的條件可知，1號進水管的工作效率為

J___1_1

T8-21-i26

于是，單開1號進水管需時1?二7=126（分）。

答：同時開啟1、2、3、4號進水管，需時18分鐘。單開1號進水管需時126

分鐘。

三、單獨完成一件工作，甲比規(guī)定時間提前2天完成，乙則要比規(guī)定時間推

遲3天完成。如果先讓甲、乙兩人合做2天，再由乙單獨完成剩下的工作，

那么剛好在規(guī)定時間完成。問甲、乙兩人合干需多少天完成？規(guī)定時間是幾

天？

解：由題設(shè)知，乙比甲多用2+3=5（天），且甲做2天相當于乙做3天，即乙所需時

間為甲所需時間的g倍，從而，甲所需時間為5+（'-1）=10（天）。

a

（這是差倍問題），乙所需時間為“）x35（天）,

于是，甲、乙合做需時1+[5+=6（天）。

IIU1，/

規(guī)定時間為10+2=12（天）（或15-3=12（天））。

答：甲、乙合做需6天，規(guī)定時間為12天。

四、一件工作甲先做6小時，乙再接著做12小時可以完成：甲先做8小時，

乙接著做6小時也可以完成。問：如果甲先做3小時，那么乙再做幾小時就

可以完成？甲、乙單獨完成分別要多少小時？

解：比較可知，甲1小時的工作量等于乙3小時的工作量，由此，

甲單獨做需：6+124-3=10（小時）。

乙單獨做需：12+3x6=30（小時）。

若甲先做3小時，則乙還需做

12+3x（6-3）=21（小時），

或3x（10-3）=21（小時）。

答：甲先做3小時，乙再做21小時完成；甲、乙單獨完成分別需10小時、30

小時。

五、甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人輪流去做，

恰好整數(shù)天完成。若按乙、丙、甲的順序每人一天輪流去做，則比原計劃多

用L天；若按丙、甲、乙的順序每人一天輪流去做，則比原計劃多用！天。

23

已知甲單獨做完這件工作要13天，問：甲、乙、丙三人一起做這件工作要

用多少天完成？

解：由題設(shè)甲的工作效率為,，而對于甲、乙、丙次序的安排，結(jié)束工作的只

13

可能為甲或乙。分兩種情況討論：

（1）結(jié)束工作的是甲。此時，第一種安排的收尾是甲做1天，第二種安排的收

尾為乙做1天，丙做,天，第三種安排的收尾為丙做1天，甲做，天。但這三種

23

收尾的工作量相等。所以，比較可知，丙的工作效率為甲的2,乙的工作效率也

3

為甲的2。從而，原計劃的工作時間為

3

J_、(11212、

1+14--------1-------X------1-------X—x3=

瓦(13133133J

不是整數(shù)，與題設(shè)矛盾，即這種情況不可能。

（2）結(jié)束工作的是乙。此時，第一種安排的收尾為甲做1天，乙做1天；第二

種安排的收尾為乙做1天，丙做1天，甲做工天；第三種安排的收尾為丙做1

2

天，甲做1天，乙做《天。但這三種收尾工作量都相等，所以，比較可知，丙的

工作效率為甲的，，乙的工作效率為甲的之。從而，原計劃的工作時間為

24

11311)

2+x3=17(天)

13134132J

為整天，符合要求。

因此，甲、乙、丙一起完成這件工作需

11311

14----1---x——|----x（天）。

13134132

甲、乙、丙合做需,天。

答:

、甲、乙、丙三人合作完成一件工程，共得報酬1800元。已知甲、乙先合

做8天完成工程的！，接著乙、丙合做2天完成余下的1，最后三人合做5

34

天完成全部二程。今按勞取酬，問甲、乙、丙三人每人可得報酬多少元？

甲、乙的工作效率和為,+8=’，

解：

324

乙、丙的工作效率和為。-』打工1+2=」1

I3；412

甲、乙、丙的工作效率和為

4）10

于是甲的工作效率為-L--L=J-，

1（）1260

乙的工作效率為二--）-=」-,

246040

7

丙的工作效率為一，從而,

1024120

*x（8+5）=390（元）,

甲應(yīng)得報酬1800x

乙應(yīng)得報酬1800x—x（8+=6751元）,

401

7

丙應(yīng)得報酬1800x—x（2+5）=735（元）,

1207

或1800-390-675=735（元）

答：甲、乙、丙三人每人可得報酬390元、675元、735元。

天。一項工程，甲、乙兩隊合做需12天完成，乙、閃兩隊合做需15天完成，甲、

丙兩隊合做需20天完成。問甲、乙、丙單獨完成分別需多少天？三隊合作需多

少天完成？

解：甲、乙的工作效率和為工,

12

乙、丙的工作效率和為

15

甲、丙的工作效率和為上。

20

于是，甲、乙、丙三人的工作效率和為（卷+%+義）24,

即甲、乙、丙三人合做需10天。

甲、乙、丙的工作效率分別為

J___1__J_J___1__J_J___1__J_

To-L5-3O*To-26-20*TO-T2-66

于是，甲、乙、丙單獨做分別需要30天、20天、60天。

答：甲、乙、丙單獨完成分別需要30天、20天、60天，三隊合作需10

天。

一、某工程由一、二、三三個小隊合干需8天完成；由二、三、四三個

小隊合干需10天完成；由一、四兩個小隊合干需15天完成。問二、三隊合干需

多少天完成？四小隊合干需多少天完成？

解：一、二、三小隊的工作效率和為:，二、三、四小隊的工作效率和為,，

810

一、四小隊的工作效率和為

15

于是，一、二、三、四小隊的工作效率和為：

由此，二、三隊合干需型=12昆（天），

1919

四個隊合干需竺=6^（天）。

77

答：二、三隊合干需12U天，四小隊合干需69天。

197

二、一件工程，甲、乙合做6天能完成如果單獨做，那么甲完成!

63

與乙完成《所需的時間相等。問甲、乙單獨做分別需多少天？若按甲、乙、甲、

2

乙……的順序每人一天輪流，則需多少天完成任務(wù)？

三、某工程由哥哥單獨做40天，再由弟弟做28天可以完成?，F(xiàn)在兄弟

兩人合做35天就完成了。如果先由哥哥獨做30天，再由弟弟單獨做，那么還要

工作多少天才能完成這項工程？

解：由比較可知，哥哥（40-35）天的工作量等于弟弟（35-28）天的工作

量，即哥哥5天的工作量等于弟弟7天的工作量。

于是，弟弟還要工作35+7、[（35-30）。5]=42（天）

答：弟弟還要工作42天才能完成這項工程。

四、甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天

輪流去做，恰好整數(shù)天做完，并且由乙結(jié)束工作。若按乙、丙、甲的順序輪流去

做，則比原計劃多用■!■天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃多用?

天。已知甲單獨做完這件工作需要22天，那么甲、乙、丙三人合做要用多少天

才能完成？

解：只考慮收尾工作，

第一種安排收尾為甲1天，乙1天；

第二種安排收尾為乙1天，丙1天，甲，天；

第三種安排收尾為丙1天，甲1天、乙士天。

3

比較可知，丙的工作效率為甲的,，乙的工作效率為甲的3,由此可得原

計劃需

-4---------X-------1---------Xx3+2=29（天）

（22224222

符合題意，因此，甲、乙、丙三人合做需:

答：甲、乙、丙三人合做要用91天才能完成。

工程問題1.甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.

內(nèi)水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小

時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？

解：*0+1/16=9顏表示甲乙的工作效率

9顏X5=4酩0表示5小時后進水量

1-4^80=35/50表示還要的進水量

3監(jiān)09（9出0-1/10）=35表示還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

2.修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊

合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來

的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠,

且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要合作幾天？

解：由題意得，甲的工效為V20,乙的工效為1^0,甲乙的合作工效為

1^0*4/5+1/30*9/10=7100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天

內(nèi)實在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能

少”。

設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天

1/20*（16-x）+^100*x=l

x=10答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請

甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少

小時？

解：由題意知，皿表示甲乙合作1小時的工作量，仍表示乙丙合作1小時的

工作量

(lA+g)X2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作

量。

根據(jù)“甲，丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙

做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。

所以1—9/10=1/10表示乙做6-4=2小時的工作量。

1/10^-2=1/20表示乙的工作效率。

14-3^0=20小時表示乙單獨完成需要20小時。

答：乙單獨完成需要20小時。

4.一項工程，第一天尹做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替

輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，

第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做

這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？

解：由題意可知

1/甲+1/乙+3/甲+V乙+...+V甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+V甲+……+1/乙+1/甲義0.5=1

(1;甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否

則第二種做法就不比第一種多0.5天)

甲=!/乙+!/甲X0.5(因為前面的工作量都相等)

得到1/甲=1/乙X2

又因為1/乙=1/17

所以1/甲=2"，甲等于17+2=8.5天

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了四時，徒弟完成了120個。當

師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了鉆這批零件共有多少個？

答案為300個

1204-(4/54-2)=300個

可以這樣想：師傅第一次完成了總,第二次也是1/2,兩次一共全部完工，那么

徒弟第二次后共完成了必，可以推算出第一次完成了的的一半是然，剛好是

120個。

6.一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均

每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答窠是15棵

算式：1+=15棵

7.一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水

放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當水池水

剛溢出時，打開乙丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管,

而不開丙管，多少分鐘將水放完？

答案45分鐘。

1-(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的

水，也就是甲18分鐘進的水。

l/24-18=V56表示甲每分鐘進水

最后就是1+(比0-/6)=45分鐘。

8.某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去

做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如

期完成，問規(guī)定日期為幾天？

答案為6天

解：

由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單

獨做，恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實際時間的差是3天

所以3+(3-2)X2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期

方程方法：[1/x+l/(x+2)]X2+V(x+2)X(x-2)=1解得x=6

9.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時,

一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩

支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？

答案為40分鐘。

解：設(shè)停電了X分鐘

根據(jù)題意列方程

l-l/120*x=(l-1^0*x)*2

解得x=40

明明和樂樂在同一所學校學習，一天班主任老師問他倆各人的家離學校有多遠。

明明說：“我放學回家要走10分鐘〃，樂樂說：“我比明明多用4分鐘到家〃。老

師又問："你倆誰走的速度快一些呢？〃樂樂說："我走得慢一些，明明每分鐘比

我多走14米，不過，我回家的路程要比明明多%班主任根據(jù)這段對話，很

快算出他倆的路程。你會算嗎？

解：設(shè)樂樂的速度為X,則明明的速度為(X+14)o

6/7*14x=10(x+14)

12x=10x+140

x=70

明明：(70+14)*10=840(m)

樂樂：840*(1+1/6)=980(m)

有一堆圍棋子，其中黑子與白子個數(shù)的比是4:3從中取出91枚棋子，且黑子與白

子的個數(shù)比是8：5,用剩下的棋子中黑子與白子個數(shù)的比是3:4。那么這堆圍棋

共有多少枚？

假定取出的91子中黑棋為1份，則

其中黑棋數(shù)：91/(1+5/8)=56

其中白棋數(shù)：91-56=35

如果再假定取出的91子中白棋也是黑子的3/4,因3/4大于5/8,白棋多算

(56*3/4-35)子,多算的比例為C4/3-3/4),多算(56*3/4-35)/C4/3-3/4)

=12子，就是拿完91子后剩的黑子。

則剩下的白子為4/3*12=16子總棋子數(shù)=91+12+16=119子

只設(shè)一個設(shè)共有x個

91*5/5+8=3591-35=56

3/7x-35=3/4(4/7x-56)x=119

一項工程,甲先做2天,乙在做3天，完成全工程的四分之一,甲再做3天完成余下

的四分之一，最后再由乙做,完成這項工作還要多少天？甲在做3天完成余下的

四分之一

即3天完成總工程的(1/4)*(3/4)=3/16

甲一天完成1/16甲先做3天,乙在做2天,完全工程的四分之一

圖形題

1.填空

(1)以A1?A7七個點中的任意兩個點為端點共可組成多少條線段？

勺與A&A,與

A]A6

共組成()條線段

(2)下圖中小于180°的角各有多少個？

⑷下面圖形中有多少個三角形？

有()個

⑸下列圖中分別有多少個正方形？

有（）個有（）個

2.在下面點子圖上，以這些點為頂點的正方形可畫幾個？

3.把下圖各分成四個大小相等，形狀相同的圖形。

4.用下面的6個圖形拼成一個5X6的長方形。（用粗線條在5X6的格子圖上框出拼的

方法）

ff?BHE匚二

5.用四條直線分別畫出交點數(shù)是1、3、5個的圖形。（下圖是交點數(shù)為4個的圖形）。4

條直線最多能有幾個交點？

6.如果把下圖沿格子線分成形狀相同、大小相等的兩部分，那么共有兒種分法?

7.把一張正方形的紙剪成8個正方形。（在下面正方形圖上畫出剪的方法）

8.畫一個三角形，使它的面積與下面的五邊形面積相等。

9.下面圖形中各有多少個梯形？

10.下面圖形中各有多少個三角形?

11.下圖中正四棱錐的底面和正方體的面是同樣大小的正方形，將這兩個面對齊粘合后,

這多面體有多少個面？多少條棱？多少個頂點？

12.一個正方形把平面分成兩部分（如下圖中的A、B兩部分），那么兩個正方形最多能

把平面分成幾部分？

答案A卷

1.(1)6X7+2=21〔條)

(2)4X54-2=101個)

(3)5X64-2=151個)

(4)5X64-2=15

15X4=60(個)

(5)左圖:42+32+22+12=30(個)

右圖：6X4+5X3+4X2+3X1=50(個)

2.6個

3.

1個交點3個交點5個交點

6.運用中心對稱的原理，可以得到九種分法

7.可分成下圖所示的8個正方形

8.運用等底等高的兩個三角形面積相等的知識，把圖形變換如下。

10.27個，180個

11.9個面，16條棱，9個頂點12.分成10部分

應(yīng)用題

1、電影票原價每張若干元,現(xiàn)在每張降低3元出售,觀眾增加一半，收入增加五分

之一，一張電影票原價多少元？

2、甲乙在銀行存款共9600元，如果兩人分別取出自己存款的40%,再從甲存款

中提120元給乙。這時兩人錢相等，求乙的存款

3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10顆奶糖后，巧克力糖占總數(shù)的

60%。再增加30顆巧克力糖后，巧克力糖占總數(shù)的75%,那么原混合糖中有奶糖

多少顆？巧克力糖多少顆？

4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明說：“你有球的個數(shù)比我少1/4!”小亮

說：“你要是能給我你的1/6,我就比你多2個了?！毙∶髟胁Ａ蚨嗌賯€？

5、搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，內(nèi)需要15小時.有

同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲

搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多

少時間？

6、一件工作,若由甲單獨做72天完成，現(xiàn)在甲做1天后，乙加入一起工作,合作2

天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又過了8天,完

成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙單獨完成,還需要兒天？

7、股票交易中，每買進或賣出一種股票都必須按成交易額的1%和2%分別交納

印花稅和傭金（通常所說的手續(xù)費）。老王10月8日以股票10.65元的價格買進

一種科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的價格將這些股票全部賣出，

老王賣出這種股票一共賺了多少錢？

8、某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書，第一次購書用100元，按該書定

價2.8元出售，很快售完。第二次購書時，每本的批發(fā)價比第一次增多了0.5

元，用去150元，所購數(shù)量比第一次多10本，當這批書售出4/5時出現(xiàn)滯銷，

便以定價的5折售完剩余圖書。試問該老板第二次售書是賠錢還是賺錢，若賠,

賠多少，若賺，賺多少？

9、一件工程原計劃40人做，15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人?

10、倉庫有一批貨物，運走的貨物與剩下的貨物的質(zhì)量比為2：7.如果又運走6

4噸，那么剩下的貨物只有倉庫原有貨物的五分之三。倉庫原有貨物多少噸？

11＞育才小學原來體育達標人數(shù)與未達標人數(shù)比是3：5,后來又有60名同學達

標，這時達標人數(shù)是未達標人數(shù)的9/11,育才小學共有學生多少人？

12、小王，小李，小張三人做數(shù)學練習題，小王做的題數(shù)的一半等于小李的1/3,

等于小張的1/8,而且八張比小王多做了72道，小王，小張，小李各做多少道？

13、甲乙二人共同完成242個機器零件。甲做一個零件要6分鐘，乙做一個零件

要5分鐘。完成這批零件時，兩人各做了多少個零件？

14、某工會男女會員的人數(shù)之比是3：2,分為甲乙丙三組，已知甲乙丙三組人

數(shù)之比是10:8:7,甲組中男女比是3：1,乙組中男女比是5：30求丙組男女人

數(shù)之比。

15、甲乙丙三個村合修一條水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面積比是8：7：5

原來三個村計劃按可灌溉的面積比派出勞力，后來因為兩村抽不出勞力，經(jīng)協(xié)商,

丙村應(yīng)抽出的勞力由甲乙兩村分擔，丙村付給甲乙兩村工錢1350元，結(jié)果，甲

村共派出60人，乙村共派出40人，問甲乙兩村各應(yīng)分得工錢多少元？

16、李明的爸爸經(jīng)營已個水果店，按開始的定價，每買出1千克水果，可獲利

0.2元。后來李明建議爸爸降價銷售，結(jié)果降價后每天的銷量增加了1倍，每天

獲利比原來增加了50機間：每千克水果降價多少元？

17、?哈利.波特參加數(shù)學競賽，他一共得了68分。評分的標準是：每做對一道

得20分，每做錯一道倒扣6分。已知他做對題的數(shù)量是做錯題的兩倍，并且所

有的題他都做了，請問這套試卷共有多少道題？

18、爸爸媽媽和奶奶乘飛機去旅行，三人所帶行李的質(zhì)量都超過了可免費攜帶行

李的質(zhì)量，要另付行李費，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果這

些行李讓一個人帶，那么除了免費部分，應(yīng)另付行李費8元，求每人可免費攜帶

行李的質(zhì)量。

19一隊少先隊員乘船過河，如果每船坐15人，還剩9人，如果每船坐18人,

剛好剩余1只船，求有多少只船？

20、建筑工地有兩堆沙子,第一堆比第二堆多85噸，兩堆沙子各用去30噸后,第

一堆剩的是第二堆的2倍,兩堆沙子原來各有多少噸？

答案

1、解：設(shè)一張電影票價X元

(x-3)X(1+1/2)=(l-l/5)x

(l+l/5)x這一步是什么意思，為什么這么做

(x-3)｛現(xiàn)在電影票的單價｝X(1+1/2)｛假如原來觀眾總數(shù)為整體1,則現(xiàn)在的

觀眾人數(shù)為(1+2/1)｝

左邊算式求出了總收入

(1+1/5)x｛其實這個算式應(yīng)該是：lx*(1+5/1)把原觀眾人數(shù)看成整體1,則

原來應(yīng)收入lx元，而現(xiàn)在增加了原來的五分之一，就應(yīng)該再*(1+5/1),減縮

后得到(l+l/5x)｝

如此計算后得到總收入，使方程左右相等

2、取40%后，存款有

9600X(1-40%)=5760(元)

這時，乙有：57604-2+120=3000(元)

乙原來有：30004-(1-40%)=5000(元)

3、加10顆奶糖,巧克力占總數(shù)的60%,說明此時奶糖占40%,

巧克力是奶糖的60/40=1。5倍

再增加30顆巧克力，巧克力占75%,奶糖占25%,巧克力是奶糖的3倍

增加了3-1.5=1.5倍,說明30顆占1.5倍

奶糖二30/1.5=20顆

巧克力:1.5*20二30顆

奶糖=20-10二10顆

4、小明說：“你有球的個數(shù)比我少1/4!”，則想成小明的球的個數(shù)為4份，

則小亮的球的個數(shù)為3份

4*1/6=2/3(小明要給小亮2/3份玻璃球)