2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3講圓錐曲線性質(zhì)的探討第2課時(shí)平面與圓錐面的截線課后提能訓(xùn)練新人教A版選修4-1

PAGE1-第2課時(shí)平面與圓錐面的截線素養(yǎng)訓(xùn)練1．在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐均相切，若平面π與雙球的切點(diǎn)不重合，則平面π與圓錐面的截線是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】B2．設(shè)截面和圓錐的軸的夾角為β，圓錐的母線和軸所成角為α，當(dāng)截面是橢圓時(shí)，其離心率等于()A．eq\f(sinβ,sinα) B．eq\f(sinα,sinβ)C．eq\f(cosβ,cosα) D．eq\f(cosα,cosβ)【答案】C【解析】由定理2知，橢圓的離心率為e＝eq\f(cosβ,cosα).故選C．3．(2024年濱州期末)雙曲線的實(shí)軸為2a，虛軸為2b，焦距為2c，則a，b，c的關(guān)系是()A．a(chǎn)2＝c2－b2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．b2＝a2＋c2 D．c2＝a2－b2【答案】A【解析】由雙曲線的定義知，a，b，c的關(guān)系是a2＝c2－b2.故選A．4．如圖所示，已知橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)且PF1＋PF2＝3，MN為過點(diǎn)F1的橢圓的弦，則△MNF2的周長(zhǎng)是________．【答案】6【解析】由橢圓的定義知，PF1＋PF2＝2a＝3，所以a＝eq\f(3,2).所以△MNF2的周長(zhǎng)＝MN＋MF2＋NF2＝(MF1＋MF2)＋(NF1＋NF2)＝2a＋2a＝4a＝6.5．已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面π與軸夾角為45°，則平面π與圓錐交線的離心率是________，該曲線的形態(tài)是________．【答案】eq\r(2)雙曲線【解析】依題意，得e＝eq\f(cosβ,cosα)＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2).∵e>1，∴曲線為雙曲線．6．設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點(diǎn)為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)V的平面π與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面π所成的角為β，則：(1)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為圓；(2)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為橢圓；(3)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為雙曲線；(4)當(dāng)________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為拋物線．【答案】(1)β＝90°(2)α<β<90°(3)β<α(4)β＝α【解析】依據(jù)定理2，知：(1)當(dāng)β＝90°時(shí)，平面π與圓錐面的交線為圓；(2)當(dāng)α<β<90°時(shí)，平面π與圓錐面的交線為橢圓；(3)當(dāng)β<α?xí)r，平面π與圓錐面的交線為雙曲線；(4)當(dāng)β＝α?xí)r，平面π與圓錐面的交線為拋物線．7．求與圓(x＋2)2＋y2＝2外切，并且過定點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．【解析】圓(x＋2)2＋y2＝2的圓心為A(－2,0)，半徑為eq\r(2).設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|MA|＝r＋\r(2)，,|MB|＝r))?|MA|－|MB|＝eq\r(2).所以點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，如圖所示．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，則a＝eq\f(\r(2),2)，c＝2，所以b2＝eq\f(7,2).所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(7,2))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(\r(2),2))).8．設(shè)正圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角)為120°，當(dāng)正圓錐的截面與軸成45°角時(shí)，求截得的二次曲線的形態(tài)及離心率．【解析】由題意知，α＝60°，β＝45°，滿意β<α，這時(shí)截面截圓錐所得的交線是雙曲線，其離心率e＝eq\f(cosβ,cosα)＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2).實(shí)力提升9．我們已經(jīng)知道方程C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，如圖所示，試依據(jù)方程的特征，探求橢圓的一些幾何性質(zhì)．【解析】橢圓的一些幾何性質(zhì)如下：(1)范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸是x軸和y軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O；(3)頂點(diǎn)：橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為：A1(－a,0)，A2(a，0)，B1(0，