2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例練習(xí)含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-3.4生活中的優(yōu)化問題舉例[學(xué)生用書P137(單獨(dú)成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況漸漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是()A．6時 B．7時C．8時 D．9時解析：選C.y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，則當(dāng)6≤t<8時，y′>0，當(dāng)8<t≤9時，y′<0，所以當(dāng)t＝8時，通過該路段所用的時間最多．2．把一段長為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：選D.設(shè)一段為x，則另一段為12－x(0<x<12)，則S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，所以S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，當(dāng)x∈(0，6)時，S′(x)<0，當(dāng)x∈(6，12)時，S′(x)>0，所以當(dāng)x＝6時，S(x)最?。許＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位的成本為C(x)＝5x＋200(元)，所得收益為R(x)＝10x－0.01x2(元)，則生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品才能使總利潤L最大()A．200 B．250C．300 D．260解析：選B.總利潤L＝R(x)－C(x)＝5x－0.01x2－200，L′＝5－0.02x，令L′＝0，得x＝250.易知x＝250是唯一的極大值點．因此，生產(chǎn)250單位的產(chǎn)品才能使總利潤最大．4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150 B．200C．250 D．300解析：選D.由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)．P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.當(dāng)0≤x<300時，P′(x)>0；當(dāng)300<x≤390時，P′(x)<0，所以當(dāng)x＝300時，P(x)最大．故選D.5．某工廠要建立一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，假如箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2的造價為12元，那么箱子的最低總造價為()A．900元 B．840元C．818元 D．816元解析：選D.設(shè)箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，依據(jù)題意得箱底面積為eq\f(48,3)＝16(m2)，則長為xm的一邊的鄰邊長度為eq\f(16,x)m，則l＝16×15＋(2×3x＋2×3×eq\f(16,x))×12＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．當(dāng)0<x<4時，l′<0；當(dāng)x>4時，l′>0.故當(dāng)x＝4時，l有最小值816.因此，當(dāng)箱底是邊長為4m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價是816元．6．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時改變率的最小值是________．解析：原油溫度的瞬時改變率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時，原油溫度的瞬時改變率取得最小值－1.答案：－17．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為________．解析：設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h(huán)2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4R,3)時，V′>0；當(dāng)eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．答案：eq\f(4,3)R8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，當(dāng)總利潤最大時，則產(chǎn)量應(yīng)定為________件．解析：設(shè)產(chǎn)品單價為a元，產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題知k＝250000，則a2x＝250000，所以a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.由y′＝0，得x＝25，當(dāng)x∈(0，25)時，y′>0；當(dāng)x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值．答案：259.如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個占地面積為2400m2的矩形休閑廣場，依據(jù)設(shè)計要求，休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之間是道路(圖中陰影部分)，道路的寬度均為2m．怎樣設(shè)計矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出最大面積．解：設(shè)休閑廣場的長為xm，則寬為eq\f(2400,x)m，綠化區(qū)域的總面積為S(x)m2.則S(x)＝(x－6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2400,x)－4))＝2424－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋6×\f(2400,x)))＝2424－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))，x∈(6，600)．所以S′(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3600,x2)))＝eq\f(－4（x＋60）（x－60）,x2).令S′(x)>0，得6<x<60；令S′(x)<0，得60<x<600.所以S(x)在(6，60)上是增函數(shù)，在(60，600)上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝60時，S(x)取得極大值，也是最大值，所以S(x)max＝S(60)＝1944.所以當(dāng)休閑廣場的長為60m，寬為40m時，綠化區(qū)域的總面積最大，最大面積為1944m2.10．某產(chǎn)品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．假如降低價格，銷售量將會增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)若商品降低x元，則一個星期多賣的商品為kx2件．由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0，21]．(2)對(1)中函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－18(x－2)(x－12)且f′(x)的改變狀況如下表：x0(0，2)2(2，12)12(12，21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值極大值0所以當(dāng)x＝12時，f(x)取得極大值．因為f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定價為30－12＝18(元)，能使一個星期的商品銷售利潤最大．[B實力提升]11．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．eq\f(1,2)πr2解析：選A.設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－req\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－req\o\al(2,1)).所以S＝4πeq\r(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此時S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))\s\up12(2))＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.12．某銀行打算新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行汲取的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0，0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A．0.0162 B．0.0324C．0.0243 D．0.0486解析：選B.依題意，存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，貸款的收益是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.0324時，y′>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時，y′<0.所以當(dāng)x＝0.0324時，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益．13.如圖，已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的長和寬．解：設(shè)AD＝2x(0<x<2)，則A(x，0)，AB＝y(tǒng)＝4－x2，所以矩形面積為S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x＝eq\f(2,\r(3))或x＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(2,\r(3))時，S′>0；當(dāng)eq\f(2,\r(3))<x<2時，S′<0，所以，當(dāng)x＝eq\f(2,\r(3))時，S取得最大值，此時S最大值＝eq\f(32\r(3),9).即矩形的長和寬分別為eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3)時，矩形的面積最大．14．(選做題)為了解決老百姓“看病貴”的問題，國家多次下調(diào)藥品價格，各大藥廠也在主動行動，通過技術(shù)改造來提高生產(chǎn)實力，降低能耗從而降低藥品生產(chǎn)的成本．某藥廠有一條價值a萬元的藥品生產(chǎn)線，經(jīng)過預(yù)料和計算，得到生產(chǎn)成本降低y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿意：①y與(a－x)和x2的乘積成正比；②當(dāng)x＝eq\f(a,2)時，y＝a3，并且技術(shù)改造投入比率為eq\f(x,2（a－x）)∈(0，t]，t為常數(shù)且t∈(0，2]．(1)求y＝f(x)的解析式及定義域；(2)為了有更大的降價空間，要盡可能地降低藥品的生產(chǎn)成本，求y的最大值及相應(yīng)的x值．解：(1)設(shè)y＝f(x)＝k(a－x)x2，當(dāng)x＝eq\f(a,2)時，y＝a3，即a3＝k·eq\f(a,2)·eq\f(a2,4)，解得k＝8.所以f(x)＝8(a－x)x2.因為0＜eq\f(x,2（a－x）)≤t，所以函數(shù)的定義域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2at,2t＋1))).(2)因為f(x)＝8(a－x)x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(2at,2t＋1)))，所以f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，則x＝0(舍去)或x＝eq\f(2a,3).當(dāng)0＜x＜eq\f(2a,3)時，f′(x)＞0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上是增函數(shù)；當(dāng)x＞eq\f(2a,3)時，f′(x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，＋∞))上是減函數(shù)．所以x＝eq\f(2a,3)為函數(shù)f(x)＝8(a－x)x2的極大值點．當(dāng)eq\f(2at,2t＋1)≥e