北師大版七年級下冊數(shù)學（全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習）（基礎(chǔ)版）（家教、補習、復(fù)習用）

北師大版七年級下冊數(shù)學

全冊知識點梳理及重點題型鞏固練習

塞的運算（基礎(chǔ)）

【學習目標】

1.掌握正整數(shù)基的乘法運算性質(zhì)（同底數(shù)塞的乘法、塞的乘方、積的乘方）；

2.能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算.

【要點梳理】

要點一、同底數(shù)募的乘法性質(zhì)

。'"?優(yōu)=4'"+"（其中私〃都是正整數(shù)）.即同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

要點詮釋：（1）同底數(shù)累是指底數(shù)相同的累，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、

多項式.

（2）三個或三個以上同底數(shù)累相乘時，也具有這一性質(zhì)，

即am-a"-ap=am+n+p（機，小夕都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個累分解成兩個或多個同底數(shù)幕的積，其中它們的底數(shù)

與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的募的指數(shù)。即

am+n=am-優(yōu)（孫〃都是正整數(shù)）.

要點二、哥的乘方法則

（其中“，〃都是正整數(shù)）.即嘉的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（（a"'）"）P=a"s均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：a"'"=（""）"=（4）'",根據(jù)題目的需要常常逆用基的乘

方運算能將某些基變形，從而解決問題.

要點三、積的乘方法則

（ab）n=an-b"（其中〃是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，

再把所得的基相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（〃為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其

是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：（g）x2">=（；x2）=1.

要點四、注意事項

（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

（2）同底數(shù)幕的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1,計算時不要

遺漏.

(3)幕的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)基的乘法中是指數(shù)相加.

(4)積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.

(5)靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.

(6)帶有負號的事的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.

【典型例題】

類型一、同底數(shù)塞的乘法性質(zhì)

1、計算：

(1)42X43X44；(2)2a3-a4+a5-a2-2a6-a；

⑶(x+y)".(x+y)"M.(x+y)"i+(x+y)2"M.(x+y嚴.

【答案與解析】

解：⑴原式=42+3+4=4、

(2)原式=2。3+4+/+2-2。6+1=2。7+"—2"=".

(3)原式=(X+y)"+"M+"T+(x+y)2"M+,"T=(x+y)2"+,”+"+y)2"+,"=十,2"+”,

【總結(jié)升華】(2)(3)小題都是混合運算，計算時要注意運算順序，還要正確地運用相應(yīng)的

運算法則，并要注意區(qū)別同底數(shù)累的乘法與整式的加減法的運算法則.在第(2)小題中。的

指數(shù)是1.在第(3)小題中把x+y看成一個整體.

舉一反三：

【變式】計算：

(1)35-(-3)3-(-3)2；

(2)N?(-%產(chǎn)\-x)2p+l(p為正整數(shù))；

(3)32x(-2)2n-(-2)(〃為正整數(shù)).

【答案】

2532

解：(1)原式=3、?(-3)3-3=-3-3-3=—35+3+2=_3'o.

⑵原式=X0?.(_0+1)=_/+2。+20+1=一/叫

(3)原式=25?22n.(-2)=-25+2,,+1=-26+2n.

^^2、已知2A2=20,求2,的值.

【思路點撥】同底數(shù)累乘法的逆用：2*=2、.22

【答案與解析】

解：由2-2=20得2*?2z=20.

2、=5.

【總結(jié)升華】(1)本題逆用了同底數(shù)募的乘法法則，培養(yǎng)了逆向思維能力.(2)同底數(shù)寨的

乘法法則的逆運用：am+n=a'"'an.

類型二、幕的乘方法則

◎計算

J、tl-W*?

(1)(優(yōu)')2；(2)[(-w)3]4；(3)(尸)2.

【思路點撥】此題是塞的乘方運算，(1)題中的底數(shù)是a,(2)題中的底數(shù)是一加，(3)題

中的底數(shù)。的指數(shù)是3-〃z,乘方以后的指數(shù)應(yīng)是2(3-〃。=6—2根.

【答案與解析】

解：⑴3")2=#.

(2)[(—?7)3]4=(―m)12=m12.

(3)(""'")2=。2(3-皿)=。6-2，”.

【總結(jié)升華】運用基的乘方法則進行計算時要注意符號的計算及處理，一定不要將哥的乘方

與同底數(shù)辱的乘法混淆.幕的乘方法則中的底數(shù)仍可以為單個數(shù)字、字母，也可以是單項式

或多項式.

?^4、(2016春?湘潭期末)已知aX=3,ay=2,求a*'2y的值.

【思路點撥】直接利用同底數(shù)基的乘法運算法則將原式變形進而將已知代入求出答案.

【答案與解析】

解：,；a*=3,ay=2,

ax+2y=axXa2y=3X22=12.

【總結(jié)升華】本題考查同底數(shù)幕的乘法，基的乘方，解題時記準法則是關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】已知x"=2,xb=3.求丁-26的值.

【答案】

解：^a+2b^x3aP'b=(xfl)3(/)2=23x32=8x9=72.

【變式2】已知8"'=4,8"=5,求83nl+2"的值.

【答案】

解：因為8，"'=(8)3=43=64,82,,=(8M)2=52=25.

所以83"'+2"=83mX82"=64X25=1600.

類型三、積的乘方法則

?'s、指出下列各題計算是否正確，指出錯誤并說明原因：

326

（1）（曲r=aZA（2）（4而r=64//；（3）（-3x）=-9x.

【答案與解析】

解：（1）錯，這是積的乘方，應(yīng)為：（ab）2=a2b2.

（2）對.

（3）錯，系數(shù)應(yīng)為9,應(yīng)為：（―3/）2=9?.

【總結(jié)升華】（1）應(yīng)用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有兒個因式，每個因式都分別乘方.

（2）注意系數(shù)及系數(shù)符號，對系數(shù)一1不可忽略.

舉一反三：

【變式】（2015春?銅山縣校級月考）（-8）57X0.12555.

【答案】解:（-8）57X0.12555=（-8）2x[（-8）55x（1）55]=-64.

8

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重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

【鞏固練習】

一.選擇題

1.（2015?杭州模擬）計算的x3xx2結(jié)果是（）

A.x6B.6xC.x5D.5x

2.?！?屋+2的值是（）.

A.a"+3B.a"[,,+2)C.a2n+2D./

3.(2016?淮安)下列運算正確的是（)

AA.a2?a3=a6B.(ab)2=a2b2C.(a)=aD.a2+a2=a4

4.下列各題中，計算結(jié)果寫成10的幕的形式，其中正確的是（).

A.100X1O2=1O3B.1000X1O'°=1O30

C.100X103=105D.100X1000=1(/

5.下列計算正確的是（）.

A.(孫丫=xy3B.(一5孫”=一5X，4

2243

C.(-3x)=-9xD.(-2孫2丫=-8%/

6.若(2〃"夕丫=8。％”成立，則().

A.m=6,n=12B.m=3,n=12

C.7n=3,n=5D.m=6,n=5

二.填空題

7.(2016?大慶)若a'n=2,a、8,則a'"7.

8.若(a3j'.a=qi9,則％=.

9.已知/"=5,那么。6"=.

10.若/.""=/,則加=.若33*+1=81,則％=.

]1?[(-2)[=------；[(-〃)[=------；(_32)=------.

12.若n是正整數(shù)，且〃"=10,則(/")2一8(—片)2"=.

三.解答題

13.(2015春?萊蕪校級期中)計算：(-x)W^'+x2"*(-x)2.

14.(1)x-(-x3)8-(-x4)3；(2)(-^a2b3)3+(-a3b2)2；

(3)-10X(-0.3X103)X(0.4X105)；(4)(b-2af(2a-b)5；

(5)(一5。6)2+(-3/丫.。3；

15.(1)若X"-/"+3=X35,求〃的值.

(2)若(屋?。匕。了=/。”，求加、〃的值

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C；

【解析】解：原式=x3+2=x5,故選C.

2.【答案】C；

【解析】an-an+2=an+n+2=a2n+2.

3.【答案】B；

【解析】解：A、a2*a3=a23=a5,故本選項錯誤;

B、(ab)~=a2b\故本選項正確：

C、(a2)3=a2x3=a6,故本選項錯誤；

D、a2+a2=2a2,故本選項錯誤.故選B.

4.【答案】C；

【解析】100X1()2=]0:]000x[0lO=[0l3；io0x]OO0=105

5.【答案】D；

【解析】(孫)3=/洛(-5肛2)2=25%2”(_3*2丫=9/.

6.【答案】C；

【解析】解得相=3,〃=5.

二.填空題

7.【答案】16；

【解析】Vam=2,an=8,.*.am+n=am?an=16,故答案為：16.

8.【答案】6；

【解析】/*+|="9,3X+I=19,X=6.

9.【答案】25；

【解析】?=("")2=52=25

10.【答案】5；1；

【解析】tz3,a'"-ai+m-as,3+m-S,m—53""=81=3，,3x+l=4,x=1.

11.【答案】64；—〃9；—310；

12.【答案】200；

【解析】(?3n)2-8(-?2)2z,=(a2,,)3-8(a2,j2=1000-800=200.

三.解答題

13?【解析】

解：(-x)3?x2n1+x2n*(-x)2

2n+2,2n+2

=-X+x

=0.

14.【解析】

解：(1)x-(-x3)8-(-x4)3=-x-x24-x12=-??7；

(2)(一；/川)3+(_“/2)2=_±^9+a6h4；

(3)-10X(-0.3X103)X(0.4X105)=0.3X0.4X10X103X105=1.2X108；

(4)(Z?-2tz)3{2a-by~-(2a-b^(2a-b^=-^2a-b'f；

3329312

(5)(—5/J+(—3/).a=25a'-27a-a=-2a.

15?【解析】

解：(1)???X〃?X3〃+3=X35

?14"+3_丫35

???4〃+3=35

n=8

(2)m=4,n=3

解：功了=

:.a3nb3",-^=a3n-b3m+3=cfb'5

.?.3〃=9且3相+3=15

/.〃=3且〃？=4

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重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

同底數(shù)塞的除法

【學習目標】

1.會用同底數(shù)幕的除法性質(zhì)進行計算.

2.掌握零指數(shù)基和負整數(shù)指數(shù)基的意義.

3.掌握科學記數(shù)法.

【要點梳理】

要點一、同底數(shù)幕的除法法則

同底數(shù)霉相除,底數(shù)不變，指數(shù)相減，即a"'+a"=a"f(a#0,“、〃都是正整數(shù),

并且加＞〃)

要點詮釋：(1)同底數(shù)基乘法與同底數(shù)基的除法是互逆運算.

(2)被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.

(3)當三個或三個以上同底數(shù)累相除時，也具有這一性質(zhì).

(4)底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.

要點二、零指數(shù)幕

任何不等于0的數(shù)的0次幕都等于1.即a°=1(aWO)

要點詮釋：底數(shù)。不能為0,0"無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.

因此常數(shù)項也叫0次單項式.

要點三、負整數(shù)指數(shù)幕

任何不等于零的數(shù)的一〃（〃為正整數(shù)）次幕，等于這個數(shù)的n次第的倒數(shù)，即an=，

（a#0,〃是正整數(shù)）.

引進了零指數(shù)基和負整數(shù)指數(shù)基后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學的

累的運算性質(zhì)仍然成立.

a"'a"=a'n+nCm,〃為整數(shù)，a#O)；

（帥）'"=。*"'（m為整數(shù)，。工0,b力0）

（相、〃為整數(shù)，?^0）.

要點詮釋：。一”（。關(guān)0）是廢的倒數(shù)，a可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代

數(shù)式.例如（2盯尸=」一（xy^O）,（a+b）-s=——-~-（a+Z?H。）.

2孫（。+。）一

要點四、科學記數(shù)法的一般形式

（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成axlO"的形式，其中〃是正整數(shù)，10a|<10

（2）利用10的負整數(shù)次幕表示一些絕對值較小的數(shù)，即axl（T"的形式，其中〃是

正整數(shù)，l<|a|<10.

用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學記數(shù)法.

【典型例題】

類型一、同底數(shù)幕的除法

1,計算：

(1)f+x，；(2)(—a)，+a；(3)Qjjy)'；(4)

【思路點撥】利用同底數(shù)基相除的法則計算.（2）、（4）兩小題要注意符號.

【答案與解析】

解：(1)f+V=》8-3=父.

(2)(—a)3-i-ci——a?i=一(i~.

(3)(2xy)54-(2xy)2=(2xy)5-2=(2xy)3=Sx3y3.

【總結(jié)升華】（1）運用法則進行計算的關(guān)鍵是看底數(shù)是否相同.（2）運算中單項式的系數(shù)包

括它前面的符號.

、計算下列各題:

(1)(x-y)5^x-y)(2)(5a-2。產(chǎn)+(2。-5a)s

(3)(3X106)4-J-(3X106)2(4)3H(2y—x)2「

【思路點撥】(1)若被除式、除式的底數(shù)互為相反數(shù)時，先將底數(shù)變?yōu)橄嗤讛?shù)再計算，盡

可能地去變偶次幕的底數(shù)，如(5a—2"產(chǎn)=(2b—5。產(chǎn).(2)注意指數(shù)為1的多項式.如x-y

的指數(shù)為1,而不是0.

【答案與解析】

解：(1)(x-y)s+(x-y)=(x-y)“i=(x-y)4.

(2)(5a-2b)'2(2b-5a)5=(,2b-5a)'2(,2b-5a)5=(2b-5a)1

(3)(3xl06)4-(3xl06)2=(3xl06)4-2=(3xl06)2=9xl012.

(4)[(x-2y只F引(2y-ip『=(x_2?+(%-2yp=(x-2y產(chǎn)=x-2y.

【總結(jié)升華】底數(shù)都是單項式或多項式，把底數(shù)作一個整體利用同底數(shù)基的除法法則進行計

算.

C^3、己知3"'=2,3"=4,求9'2的值.

【答案與解析】

22x329

當：r=2,3〃=4時，原式=上一-二2

4464

【總結(jié)升華】逆用同底數(shù)除法公式，設(shè)法把所求式轉(zhuǎn)化成只含3'",3"的式子，再代入求值.本

題是把除式寫成了分數(shù)的形式，為了便于觀察和計算，我們可以把它再寫成除式的形式.

舉一反三：

【變式】(2015春?蘇州)已知以""=2,an=4,4=32.則企的值為.

【答案】解：aim=23=8,""=42=16,

a3m+2"~k=a3m?L4-a"=8X16+32=4,

故答案為：4.

類型二、負整數(shù)次哥的運算

^^4、計算：⑴-2；(2)a2b-3(q-%)3+("尸

k3)

(2)02b3g'少+(aby'=02b3a~3b3ah=ci)b=b.

【總結(jié)升華】要正確理解負整數(shù)指數(shù)基的意義.

舉一反三：

【變式】計算：2-5++2-改2-3乂2+(萬一3.14)°.

【答案】

x2-3x2+(萬-3.14)'

;乙)

1c411cl—+16+-xlx2+l

—+2H—x——x2+1=■

T22’3228

=-+-+16+1=17—

32832

獷5、B^3ffl=—,f-T=16,則”

的值=________.

27l2j

【答案與解析】

帛：':3"'=—=-^-=33,；.=一:

3.

2733

(1丫,

-=2-"，16=24,2f=2%〃=-4.

mn=(-3)7=—.

(-3)481

【總結(jié)升華】先將‘-變形為底數(shù)為3的累，C\

-=2一"，16=2。然后確定機、〃的值,

27

最后代值求〃2〃.

舉一反三:

【變式】計算：（1）（。一77%-3）2；（2）

b2c-3x-b-2c3

7

【答案】

A4

解：（1）原式

a2c6

原式=b2C-3X=8戶c-12=維

(2)

c

類型三、科學記數(shù)法

、（2014秋?福州）觀察下列計算過程:

33

(1)334-35,33"=33-5=3-23-2

33X3232

22172-7-5-51

97Jaa,2.

(2)當aWO時，Va^a=———r=-T,aa-a=a,a,

aaxaaa

由此可歸納出規(guī)律是：ap=-^-（aWO,P為正整數(shù)）

a1

請運用上述規(guī)律解決下列問題：

259

(1)填空:3ToXxx-J-X

（2）用科學記數(shù)法：3X10-.（寫成小數(shù)形式）

（3）把0.00000002寫成如（2）的科學記數(shù)法ax10"的形式是:

【答案與解析】

1

解:(1)3-10=-

10，

3

X2xx5-x9=x2+5-9=x-2=^；

X

(2)3X10"*=0.0003,

(3)0.00000002=2X1O-8.

【總結(jié)升華】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO",其中l(wèi)W|a|<10,

n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

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重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

【鞏固練習】

一.選擇題

1.(2015?桂林)下列計算正確的是(

A.(打=建B./+無4=尤4C.2a2+3a2-6a41）.b3,b3~2b3

2.下列計算中正確的是().

A.=/B.（孫y+（孫J'=Yy2

C.產(chǎn)+15-2)=/D.①千0）戶=戶+2

3.近似數(shù)0.33萬表示為()

A.3.3X10-B.3.3000X103C.3.3X1031）.0.33X104

4.（乃—1）°+（0.125產(chǎn)2*82°12的結(jié)果是（）

A.百B.V3-2C.2D.0

5.?將己尸,(-2)°,(-3尸這三個數(shù)按從小到大的順序排列為()

6

A.(-2)0<(^)-'<(-3)2B.(1)-'<(-2)0<(-3)2

C.(―3)2<(-2)°<(>T1).(-2)°<(一3尸<(I)-1

6.下列各式中正確的有()

-

①(；尸=9;②2<=—4；③a°=l；?(-1)'=1;⑤(-3『=36.

A.2個B.3個C.4個D.1個

二.填空題

7.g)~+(—兀)°=,-1+(3.14)°+2-'=

8.(-?2/+5=920^2710T=32+[J.

9.(3<7%-2)3=,(一/。)2=.

10.一種細菌的半徑為0.0004m,用科學記數(shù)法表示為.m.

11.“神威一號”計算機運算速度為每秒384000000000次，其運算速度用科學記數(shù)法表示,

為次/秒.

12(2015春?江西)若a”=-2,則/吁3"=

2

三.解答題

13.(2015春?吉州)己知2*=3,2v=5.求：

(1)2中的值：

(2)23*的值;

(3)22>>T的值.

14.用小數(shù)表示下列各數(shù)：

(1)8.5X10-3(2)2.25X10-8(3)9.O3X1O-5

/1\~23.

15.先化簡，后求值：一L//(_口2/),其中a=2,b=-3.

、2J

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】A；

【解析】A、（"『="0,正確；B、X164-X4=X12,錯誤;

C、2a2+3a2-5a2,錯誤;D、by'b3=bbb,b-b\錯誤；故選A.

2.【答案】C；

【解析】X0+2-Xa+'=X；（孫）6+（砂）3=.

3.【答案】C；

【解析】0.33萬=3300=3.3X1()3

4.【答案】C；

門丫。12

^ll

【解析】(?1)°+(0.125嚴2x8=+x8=1+1=2.

5.【答案】A；

【解析】（》-|=6,（-2）°=1,（-3尸=9,所以（一2）°＜，尸＜（—3）2.

6.【答案】D；

I.

【解析】只有①正確；2-2=7；40=1（"。0）；（-1）=-1；（-3）-=9.

二.填空題

7.【答案】3；-；

2

【解析】一1+(3.14)°+2T=—l+l+；=g.

8.【答案】?7;27;10；

［解析】920-27I0-S-37=340-330-e-37=33=27.

27a6g4

9.【答案】?。挥?/p>

【解析】(3八-2丫=27(^=邛；(-?-^)~2=小=.

10.【答案】4x10^；

11.【答案】3.84x10”；

12.【答案】-32；

【解析】解：產(chǎn)="y=4,/"="丫=_1,=4+(一)=-32.

三.解答題

13?【解析】

解：⑴2.=2*?2,=3X5=15；

(2)23A=(2V)3=33=27；

(3)22X+?-1=(2v『?2,+2=32X5+2卷.

14.【解析】

解：(1)8.5XIOf=00085

(2)2.25X10-8=0.0000000225

(3)9.03X10-5=0.0000903

15?【解析】

解：原式=-Aa^b-8a6h-3=一4。-2力-3=一_4

a~b

41

當a=2,Z?=—3時，原式=--------=—.

2?(—3)327

北師大版七年級下冊數(shù)學

重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

整式的乘法(基礎(chǔ))

【學習目標】

1.會進行單項式的乘法,單項式與多項式的乘法，多項式的乘法計算.

2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算.

【要點梳理】

要點一、單項式的乘法法則

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有

的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.

要點詮釋：(1)單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法法則的綜合

應(yīng)用.

(2)單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系

數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相

同字母相乘，是同底數(shù)嘉的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計

算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的

一個因式.

(3)運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.

要點二、單項式與多項式相乘的運算法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

即m(a+b+c)=ma+mb+me.

要點詮釋：(1)單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為

多個單項式乘單項式的問題.

(2)單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

(3)計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，

同時還要注意單項式的符號.

(4)對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到

最簡的結(jié)果.

要點三、多項式與多項式相乘的運算法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加.即=am+cm+bm+hn.

要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于

兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的

二項式相乘：(x+<2)(x+Z?)=+(^a+b^x+ab.

【典型例題】

類型一、單項式與單項式相乘

1、計算：

(1)3abi?-，a%]?2abe；

I3J

(2)

(3)-6m2n-(x-y)3-(y-x)2.

【思路點撥】前兩個題只要按單項式乘法法則運算即可，第(3)題應(yīng)把x-y與y-x分別

看作一個整體，那么此題也屬于單項式乘法，可以按單項式乘法法則計算.

【答案與解析】

解：(1)3ab2-\--a2b-2abc

I3)

=3義(一：x2{a-er-a)(b2-b-b)c

=—2a4b4c.

(2)(—(—3孫)[—#z)

=(-2)X(-3)x(-(x"+]-x-x2)(yn-y)z

=-3x"+4y"+iz.

(3)一6機2〃?(x-y)3?:加〃2?(>-X)2

=-6nrn-(x-y)3?^mn2?(%-y)2

=(-6)x1^|(m2-m)(n-n2)[(x-y)3-(%-y)2]

=-2加“3(x—y)’.

【總結(jié)升華】凡是在單項式里出現(xiàn)過的字母，在其結(jié)果里也應(yīng)全都有，不能漏掉.

舉一反三：

【變式】(2014?甘肅模擬)計算:2m2*(-2mn)?(--lm2n3).

2

【答案】解：2m2*(-2mn)?(-in2n3)

2

=[2X(-2)X(-A)](m2XmnXinn)

2

=2m5n4.

類型二、單項式與多項式相乘

^^2、計算：

(1)\--abyi—ab1-2ab+-b；

l2八33；

⑵(-g盯+京2-，(-

6xy2)；

(3)(|/+"-0.6。2(一

3)

【答案與解析】

解：(1)f—-2ab+加

(1八2R(1八,ri八4

ab(-2。/7)+——ab?一b

I2J3I27\2J3

=--a2b}+a2h2--ab2

33

⑵(_g盯+^y2_*2卜

6孫2)

=(一:孫卜6孫2)+gy

(-6xy2)+(-x2)(-6xy2)

=2X2y3—9xy4+6x3y2.

(3)f|?2+aZ?-O.6/72Y--a2h2]J-a2+ab--h2^--a2b2

3)U5人3

32(4人\#吁(_河卜#片)

=-a"-——a~b~+。。?

2I3)

423324

=-2ab--ab+-ab.

35

【總結(jié)升華】計算時，符號的確定是關(guān)鍵，可把單項式前和多項式前的“+”或“一”號看

作性質(zhì)符號，把單項式乘以多項式的結(jié)果用“+”號連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和.

舉一反三：

【變式1】2機2〃（6-/*〃）+卜;加〃

【答案】

原式=12/??〃一2m+3x2

解:mrr

]7

=i2m2n-2fn6n2+—=\2m2n——m6/72.

44

【變式2】若〃為自然數(shù)，試說明整式〃(2〃+l)—2〃(〃—1)的值一定是3的倍數(shù).

【答案】

解：—2〃(〃-1)=2rr+n-2n2+2力=3〃

因為3〃能被3整除，所以整式〃(2〃+1)—2〃(〃一1)的值一定是3的倍數(shù).

類型三、多項式與多項式相乘

^^3、計算：

(1)(3a+2b)(4〃—5h)；

(2)(尤一l)(x+1)(12+1)；

(3)(a+b)(a—2h)-(a+2h)(a—h)；

(4)5x(%2+2x+1)-(2x+3)(x-5).

【答案與解析】

解：(1)(3。+2。)(4。-5勿=12。2-15?！?8"-10/=12。2-7"-10〃2

(2)(X—1)(x4-l)(x2+1)=(x24-x—x—l)(x2+1)=x4-1.

(3)(a+b)(a-2b)-(a+2b\a-b)=(cr-ah-lb2)-^+ah-2h2)

:2—ah—2h2—cT—ah+2b2=-2ab.

(4)5Mf+2x+l)-(2x+3)(x-5)

=(5X3+10X2+5X)-(2X2-7X-15)

—5丁+1Ox?+5x—2x?+7x+15

-Sx3+8x2+12x+15.

【總結(jié)升華】多項式乘以多項式時須把一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，

剛開始時要嚴格按法則寫出全部過程，以熟悉解題步驟，計算時要注意的是：(1)每一項的

符號不能弄錯；(2)不能漏乘任何一項.

4、(2016春?長春校級期末)若(x+a)(x+2)=x2-5x+b,則a+b的值是多少？

【思路點撥】根據(jù)多項式與多項式相乘的法則把等式的左邊展開，根據(jù)題意列出算式，求出

a、b的值，計算即可.

【答案與解析】

解：(x+a)(x+2)=x2+(a+2)x+2a,

則a+2=-5,2a=b,

解得，a=-7,b=-14,

則a+b=-21.

【總結(jié)升華】本題考查的是多項式乘多項式，多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式

相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

舉一反三：

【變式】求出使(3x+2)(3%-4)>9(x-2)(x+3)成立的非負整數(shù)解.

【答案】不等式兩邊分別相乘后，再移項、合并、求解.

解：9x?—12x+6x—8>9(x^+x—6),

9X2-6X-8>9X2+9X-54,

9X2-6X-9X2-9X>8-54,

—15x>~46,

46

x<—.

15

:.x取非負整數(shù)為0,1,2,3.

北師大版七年級下冊數(shù)學

重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

【鞏固練習】

一.選擇題

1.下列算式中正確的是().

A.3a3-2a2=6a6B.2x3?4x'=8x8

C.3x-3d=9x4D.5v.5y7=lOj；14

2.(2016?畢節(jié)市)下列運算正確的是()

A.-2(a+b)=-2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=Xa3D.3a2?2a3=6a5

4

3.(2014秋?白云區(qū)期末)下列計算正確的是()

A.x(x'-x-1)=x'-x-1B.ab(a+b)=a'+b'

C.3x(x2-2x-1)=3x，-6x2-3xD.-2x(x~-x-l)=-2x3-2x、2x

4.已知(2x+l)(x-3)=2f一”比一3,那么加的值為().

A.-2B.2C.—5D.5

5.要使尤(x+a)+3x—2Z?=%2+5x+4成立，則〃，b的值分別是().

A.a=-2,b=—2B.a=2,b=2

C.。=2,h=—2D.a=—2,h=2

6.設(shè)M=(x—3)(x-7),N=(x-2)(x-8),則M與N的關(guān)系為().

A.M<NB.M>NC.M=ND.不能確定

二.填空題

7.已知三角形的底邊為(6。一如)，高是(―2〃+6。)，則三角形的面積是

8.計算：①(x+2)(x+3)=______；②(x+3)(x+7)=______；

@(x+7)(x—10)=______；?(x-5)(x-6)=______.

9.(2016?瑤海區(qū)一模)計算：—x2y(2x+4y)=.

2

10.x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)=.

11.(2015?江都市模擬)若化簡(ax+3y)(x-y)的結(jié)果中不含xy項，則a的值為

12.若孫=2,x+y=3,則(x+l)(y+l)=.

三.解答題

13.(2015春?邳州市期末)當我們利用2種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到

一個等式.例如,由圖1,可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

(1)由圖2,可得等式：.

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：

已知a+b+c=lLab+bc+ac=38,求a'+tZ+c?的值；

(3)利用圖3中的紙片(足夠多)，畫出一種拼圖，使該拼圖可用來驗證等式：2a2+5ab+2b2：

(2a+b)(a+2b)；

(4)小明用2張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長

方形紙片重新拼出一個長方形，那么該長方形較長的一條邊長為.

ba

b

4b

圖3

14.解下列各方程.

(1)2y(y+l)-y(3y_2)+2y2=,2—2

(2)5(x?+x—3)—4x(6+x)+x(—x+4)—0

15.化簡求值：

⑴(9+罪”4＞其中X=4

(2)3x?(2x——x+1)—x(3x,—4x2+2x)，其中x=-1.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】B；

【解析】3/-2儲=6^；3X-3X4=9X5；5y7-57=25y14.

2.【答案】D；

【解析】A、原式=-2a-2b,錯誤；B、原式=a6,錯誤；

C、原式不能合并，錯誤；D、原式=6a'，正確.

3.【答案】C；

【解析】解：A、x(x2-x-1)=x3-x2-x,故此選項錯誤；

B、ab(a+b)=a2b+ab2,故此選項錯誤;

C、3x(x2-2x-1)=3x3-6x~-3x,故此選項正確；

D、-2x(x2-x-1)=-2X3+2X2+2X,故此選項錯誤；

故選：C.

4.【答案】I)；

【解析】(2尤+1)(%—3)=2*2—5%—3=2X2—儂一3,所以機=5.

5.【答案】C；

【解析】由題意。+3=5,-28=4,所以a=2,b=-2.

6.【答案】B；

【解析】M=f_i0x+21,N-X2-10X+16,所以M>N.

二.填空題

7.【答案】—12必+18/+2/；

8.【答案】+5x+6;+10x+21jx^—3x—70—llx+30.

9.【答案】x3y+2x2y2；

10.【答案】0；

【解析】原式=孫一%2-肛+yz+xz-yz=O.

11.【答案】3；

【解析】解:(ax+3y)(x-y)=ax2+(3-a)xy-3y2,

含xy的項系數(shù)是3-a,

:展開式中不含xy的項，

.*.3-a=0,

解得a=3.

故答案為：3.

12.【答案】6；

【解析】原式=孫+工+丁+1=2+3+1=6.

三.解答題

13.【解析】

解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)Va+b+c=ll,ab+bc+ac=38,

.,.a'b'+cJ(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=121-76=45；

(3)如圖所示：

(4)根據(jù)題意得：2a?+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b),

則較長的一邊為2a+3b.

14?【解析】

解：(1)2y?+2y—3y-+2y+2y?=y——2.

4y=-2,

(2)5%2+5x—15—24x—4x2—x24-4x=0.

-15%=15,

x=-1.

15?【解析】

初,，、由—111111