專題17 最值模型之將軍飲馬模型（原卷版）

專題17最值模型之將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個動點(diǎn)，求AP+BP的最小。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：輔助線：過點(diǎn)A作關(guān)于定直線m的對稱點(diǎn)A’，連接A’B交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為A’B.圖1圖2例1．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）小梧要在一塊矩形場地上晾曬傳統(tǒng)工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場地北側(cè)安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側(cè)的兩角分別固定了高度相同的木桿，，，，，．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側(cè)的兩條木桿，和北側(cè)的一條木桿上連出一個三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔(dān)心手中繩子的總長度不夠，那么他在北側(cè)木桿中應(yīng)優(yōu)先選擇（

）A． B． C． D．例2．（2023·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為_____．例3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_________．例4．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動點(diǎn)，則的最小值是________．例5.（2023·重慶·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為E，M為DE上任意一點(diǎn)，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（）A．7 B．6 C．9 D．10例6．（2023·湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點(diǎn)A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點(diǎn)A作關(guān)于定直線m、n的對稱點(diǎn)A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2023·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．例2．（2022·上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點(diǎn)，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長的最小值．模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點(diǎn)都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個點(diǎn)在外側(cè)：輔助線：過點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2023·和平區(qū)·八年級期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r，的大小=___（度）．例2．（2023·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2023·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m上分別找兩點(diǎn)P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2023·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動點(diǎn)，且，則的最大值是________．例2．（2023.山東八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB＝12，△BMC的周長是20，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（） A.12 B.8 C.6 D.2例3．（2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．例4．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點(diǎn)，，過作交直線于，過作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，則________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動點(diǎn)，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023·山東臨沂市·八年級期末）如圖，中，，，，于點(diǎn)，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個最小值為（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．53．（2023·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2023·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)M，，的周長是，若點(diǎn)在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南商丘·八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時，∠MBN的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°6．（2023·重慶八中七年級期末）如圖，，且，D，E分別為射線和射線上兩動點(diǎn)，且，當(dāng)有最小值時，則的面積為________．7．（2023·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P是它內(nèi)部一點(diǎn)，OP=2，如果點(diǎn)Q、點(diǎn)R分別是OA、OB上的兩個動點(diǎn)，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．8．（2022·重慶·八年級期末）如圖，在中，以BC為底邊在外作等腰，作的平分線分別交AB，BC于點(diǎn)F，E．若，，的周長為30，點(diǎn)M是直線PF上的一個動點(diǎn)，則周長的最小值為______．9．（2023·山東八年級期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點(diǎn)，則的周長的最小值為_________．10．（2023·陜西安康·八年級期末）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為____________．11．（2023·廣東·七年級期中）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是______．12．（2023·和平區(qū)·八年級期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r，的大小=_____（度）．13．（2023·清遠(yuǎn)市八年級期中）如圖，點(diǎn)D是銳角內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段的一個動點(diǎn)，點(diǎn)G是射線的一個動點(diǎn)，連接、、，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，與的數(shù)量關(guān)系式是________．14．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．15．（2023·安徽·合肥市八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為___．16．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，