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第第頁答案第=page11頁,共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《解直角三角形》專項檢測卷(附答案)學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________1.今年春節(jié),從除夕到正月十五,重慶作為春晚分會場天天都有無人機光影秀表演.露露和西西相約前往長嘉匯觀看表演,兩人從點O出發(fā)前往觀看點D,由于西西要中途去拿照相機,所以他們分別沿不同的路線前往.露露從點O向正東方向走150米到點A,再從點A向北偏東方向走到點B,最后從點B向正東方向走300米到點D.西西的路程較遠,所以他騎自行車從點O向東南方向行駛1200米到點C處取相機,取相機的時間約2分鐘,然后從點C繼續(xù)騎自行車向正北方向行駛到觀看點D處.(參考數(shù)據(jù):,,)(1)求C,D之間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù));(2)若露露走路的速度為,西西騎自行車的速度為,請問他們誰先到達觀看點D?請通過計算說明.2.如圖①,是兩座垂直于同一水平地面且高度不同的鐵塔.小明和小麗為了測量兩座鐵塔的高度,從地面上的點處測得鐵塔頂端的仰角為,鐵塔頂端的仰角為,沿著向前走20米到達點處,測得鐵塔頂端的仰角為.已知,點構(gòu)成的中,.(1)圖②是圖①中的一部分,求鐵塔的高度;(2)小明說,在點處只要再測量,通過計算即可求出鐵塔的高度,若記為,則鐵塔的高度是.(用含的式子表示)(參考數(shù)據(jù):,,,)3.如圖,某校教學樓后面緊鄰著一個山坡,山坡面是一塊平地,,,斜坡長米,斜坡的坡比為.本學期初三學生開展數(shù)學學科“綜合與實踐”活動,主題是測量高度.小瑄選擇測量教學樓高度,他的做法是:在教學樓B處安置測傾器,測得此時點的仰角,點的俯角,然后就可以算出教學樓的高度.請借助已知數(shù)據(jù)和小瑄提供的數(shù)據(jù)計算教學樓的高度.(參考數(shù)據(jù):,,,,).4.如圖1是一個有蓋的垃圾桶,圖2是垃圾桶抽象出的幾何圖形,垃圾桶蓋打開時最大張角,已知垃圾桶高,桶蓋直徑,當垃圾桶蓋完全打開時,求桶蓋的最高點到地面的距離.(精確到)(參考數(shù)據(jù):,,)5.我校數(shù)學興趣小組的同學要測量建筑物的高度,如圖,建筑物前有一段坡度為的斜坡,小明同學站在斜坡上的B點處,用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為,接著小明又向下走了米,剛好到達坡底E處,這時測到建筑物屋頂C的仰角為,A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi).若測角儀的高度米,求建筑物的高度(精確到米,參考數(shù)據(jù):,,).6.如圖1,數(shù)學小組利用所學的銳角三角函數(shù)的知識測量一條河的寬度.他們在點處將無人機垂直升騰至點處,在點處測得,兩點的俯角分別為和,如圖2,已知點,,在同一水平直線上.(1)試求這條河的寬度;(結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù):,,,)(2)經(jīng)資料顯示,河的實際寬度與計算結(jié)果稍有差異,請?zhí)岢鲆粭l減少誤差的方法.7.圖1是某型號的挖掘機,該挖掘機是由基座、主臂、伸展臂和鉆頭組成.圖2是挖掘機在某種工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖,為水平地面,鉆頭D點和基座A點在同一水平線,連接,基座高,主臂長,鉆頭長,用測角儀測得,,.(參考數(shù)據(jù):,,,,,)(1)求點B和點C到地面的距離.(2)求伸展臂的長度.(結(jié)果保留一位小數(shù))8.圖是開封市龍亭大殿,龍亭大殿是公園內(nèi)整個清代建筑群中的主體大殿坐北朝南,殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道某數(shù)學活動小組到龍亭景區(qū)測量龍亭大殿的高度,如圖,他們選取的測量點與大殿底部在同一水平線上,級蹬道平臺高度為米,在處測得平臺的仰角為,頂部的仰角為.(1)根據(jù)以上測量數(shù)據(jù),請幫助該數(shù)學活動小組求出龍亭大殿的高度;(結(jié)果精確到米;參考數(shù)據(jù):,,,)(2)在實際測量過程中,請你寫出一條減少誤差的措施.9.某天,小明在位于點處的家中購買了位于點處某商家的外賣食品,外賣騎手收到商家派單后,立即趕往點處取餐,然后進行配送.根據(jù)導航顯示,點位于的正東方向,點位于的正東方向,點位于點的西南方向1200米處,點位于點的南偏西方向,點位于景點的北偏東方向.(參考數(shù)據(jù):,,,,,)(1)求小明家點到商家點的距離.(結(jié)果保留根號)(2)騎手在收到派單后立即趕往點處取餐并開始配送,由于道路正在維修,騎手有兩條送餐路線可選擇:①;②.請通過計算說明,在速度相同的情況下,騎手選擇哪條送餐路線才能更快地將外賣送到小明家?(結(jié)果精確到個位)10.如圖1是我們衡陽市的地標建筑——“首峰之眼”摩天輪.圖2是它的簡化示意圖,點O是摩天輪的圓心,MN是摩天輪垂直地面的直徑,小穎想利用數(shù)學知識實地測量該摩天輪的高度,她在A處測得摩天輪頂端M的仰角為,接著沿水平方向向左行走90米到達點B,再沿著坡度的斜坡走了20米到達點C,最后再沿水平方向向左行走31米到達摩天輪最低點N處(A,B,C,M,N均在同一平面內(nèi)).(1)求點C到AB的距離;(2)求摩天輪的高度.(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):,,)11.風電項目對于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式具有重要意義.電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風力發(fā)電機,如圖,某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發(fā)電機的塔桿高度進行了測量,并畫了測量示意圖.已知,風力發(fā)電機垂直于地平面,斜坡長16米,在地面點處測得風力發(fā)電機塔桿頂端點的仰角為,利用無人機在點的正上方53米的點處測得點的俯角為.(1)填空:______度;(2)求點到地面的距離;(3)求該風力發(fā)電機塔桿的高度.(參考數(shù)據(jù):,,)12.如圖,遮陽傘的截面示意圖為軸對稱圖形,支撐桿垂直于地面,通過調(diào)節(jié)點的高度控制遮陽傘的開合,已知于點.(參考數(shù)據(jù):)(1)若,求遮陽寬度;(2)若將由減到,求點下降的高度.13.如圖,一艘貨船從港口出發(fā),需要運至其正北方向海里處的港口,由于航道條件限制,貨船有兩種可能的航行路線:①由港口出發(fā),經(jīng)港口,休整,最后駛向港口;②由港口出發(fā),經(jīng)港口休整,最后駛向港口(休整時間忽略不計).經(jīng)勘測,港口在港口東北方向,港口在港口正北方向海里處,港口在港口東南方向,港口在港口南偏西方向,港口在港口北偏西方向.(1)求港口和港口之間的距離.(結(jié)果保留根號)(2)考慮到航行時間和成本,貨船需要選擇路程更短的路線,請通過計算說明是選擇路線①還是路線②.(結(jié)果精確到個位)14.如圖是某款籃球架抽象后的示意圖.已知于點,底座的長為米,斜拉支架米,臂展支架米,籃板高米,點在支架上,籃板底部支架,于點,支架與所成的角.(1)求豎直支架的長度;(2)求籃板底部點到地面的距離(結(jié)果保留位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):,,)15.一個長方體木箱沿著斜面下滑,當木箱滑至如圖所示位置時,,已知木箱高,斜面坡角為.(參考數(shù)據(jù):,,)(1)過點B作于點E,求的長(精確到);(2)求木箱端點A距地面的高度(精確到).參考答案1.(1),之間的距離(2)西西先到達觀看點【分析】本題考查了方位角視角下的解直角三角形,構(gòu)造直角三角形,熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵.(1)延長點交于,過點作,在,中,解直角三角形求得,,,即可求解;(2)在中,解直角三角形求得,再根據(jù)時間路程時間,再比較大小即可.【詳解】(1)解:延長點交于,過點作,由題意可知,,,,,,,∴,四邊形是矩形,∴,,在中,,,∴,在中,,∴.即:,之間的距離;(2)在中,,露露走路的路程為:,∴露露到達的時間為,西西騎自行車的路程為:,∴西西到達的時間為,∴西西先到達觀看點.2.(1)鐵塔的高度約為米(2)米【分析】本題考查了解直角三角形的應用,熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵.(1)設鐵塔的高度為米,在中,解直角三角形可得的長,在中,解直角三角形可得的長,再根據(jù)建立方程,解方程即可得;(2)先求出的長,再在中,解直角三角形可得的長,然后在中,解直角三角形即可得.【詳解】(1)解:設鐵塔的高度為米,由題意得:,,米,∵,∴在中,米,在中,米,∵,∴,解得(米),答:鐵塔的高度約為米.(2)解:由題意得:,,由(1)可知,米,∵,∴在中,米,∵,∴在中,(米),故答案為:米.3.教學樓的高度約為米.【分析】過作交于,根據(jù)坡比求出,,設,根據(jù)角得到,即可得到,再根據(jù)的正切值求解即可得到答案;【詳解】解:過作交于,,∵米,斜坡的坡比為,∴,,解得:(米),(米),設(米),∵,∴,∴,,∵,∴,解得:,∴教學樓的高度約為米.4.垃圾桶蓋完全打開時,桶蓋的最高點C到地面的距離約為【分析】此題主要考查了解直角三角形的應用.解決問題的關鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形,熟練掌握矩形的判定和性質(zhì),解直角三角形.過點作分別交AB,DE于點F,H,根據(jù)矩形性質(zhì)得到,根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到,根據(jù)求出值即可.【詳解】解:如圖,過點作分別交,于點F,H,,在中,,,,,,.即垃圾桶蓋完全打開時,桶蓋的最高點C到地面的距離約為.5.建筑物的高度約為米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用,正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解題的關鍵.如圖:作,垂足分別為G、K,延長交于H,則.運用勾股定理以及坡度為可得、.設,則.在和中解直角三角形分別得到、,最后根據(jù)列方程求解即可.【詳解】解:如圖:作,垂足分別為G、K,延長交于H,則.∵斜坡的坡度為,,∴設,∵,∴,解得:(舍棄負值),,.設,則.在中,,.在中,,.又,,解得,答:建筑物的高度約為米.6.(1)(2)多次測量取平均值(答案不唯一)【分析】本題考查了解直角三角形的應用,解題的關鍵是:(1)在、中,根據(jù)正切的定義求出、,即可求解;(2)提出能減少誤差的方法即可.【詳解】(1)解:由題意,得,,在中,,∴,在中,,∴,即這條河的寬度為;(2)解:多次測量取平均值(答案不唯一)7.(1),(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用.(1)過點B作于點E,過點C作于點F,利用銳角三角函數(shù)的定義得出,,進而得,,再根據(jù)題意代入求值,再將、分別加上底座的高,即可得出結(jié)論;(2)過點C作,先證明是矩形,即可得,,得出,再求出,再根據(jù)得,代入計算即可得解.【詳解】(1)解:過點B作于點E,過點C作于點F,∴,,∴,,∵,,,,∴,,∵,∴,,即點B和點C到地面的距離分別為,;(2)解:如圖,過點C作,∴,∵,,∴,∴四邊形是矩形,∴,,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∵,∴即伸展臂的長度約為.8.(1)龍亭大殿的高度約為米;(2)可多次測量,取測量數(shù)據(jù)的平均值(答案不唯一,合理即可)【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.(1)根據(jù)題意可得:米,,,然后在,利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長,再在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長,即可解答;(2)根據(jù)多次測量求平均值,即可解答.【詳解】(1)解:由題意得:米,,,在中,,(米),在中,,(米).答:龍亭大殿的高度約為米;(2)解:可多次測量,取測量數(shù)據(jù)的平均值.(答案不唯一,合理即可).9.(1)小明家點到商家點的距離為米;(2)騎手選擇送餐路線①才能更快地將外賣送到小明家.【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用,矩形的性質(zhì),(1)作,作,先求出,,再根據(jù)可得答案;(2)由(1)可得,,再根據(jù)求出可得,接下來求出,然后可得,再根據(jù),可得,最后求出路線①:,路線②,比較得出答案.【詳解】(1)解:過作于,過作于,如圖所示:由題意得:,,,,在中,,.在中,,,,.答:小明家點到商家點的距離為米;(2)解:由(1)知:四邊形為矩形,,.在中,,,,,,在中,,,,,,,路線①,路線②,,騎手選擇送餐路線①才能更快地將外賣送到小明家.10.(1)12米(2)88米【分析】此題考查了解直角三角形的應用.(1)過點作,垂足為.在中,,設,得到,解得,則米.米;(2)延長交于點,證明四邊形是矩形.則米,米.得到米,在中,由得到,即可求出摩天輪的高度.【詳解】(1)解:過點作,垂足為.在中,設解得則米.米.答:點到的距離是12米.(2)延長交于點,∵,由題意知,四邊形是矩形.米,米.(米)在中,∵,(米).(米).11.(1);(2)點到地面的距離為米;(3)該風力發(fā)電機塔桿的高度約為米.【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,坡度坡角問題,含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.(1)過點作垂足為,根據(jù)題意可得,從而可得,然后利用角的和差關系進行計算,即可解答;(2)延長交于點,根據(jù)題意可得,然后在中,利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長,即可解答;(3)根據(jù)題意可得米,,然后設米,分別在和中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長,從而列出關于的方程,進行計算即可解答.【詳解】(1)解:如圖:過點作,垂足為,由題意得:,故答案為:;(2)解:如圖,延長交于點,由題意得:,在中,米,(米),∴點到地面的距離為米;(3)解:由題意得:米,,設米,在中,,∴(米),在中,,(米),解得:米,米,(米),∴該風力發(fā)電機塔桿的高度約為米.12.(1)遮陽寬度為(2)點下降的高度為【分析】本題考查的是解直角三角形的應用,熟記三角函數(shù)的定義是解本題的關鍵;(1)利用可得答案;(2)利用求解兩種情況下的即可得到答案.【詳解】(1)解:在中,,因為,遮陽寬度為.(2)解:在Rt中,,當時,,當時,,點下降的高度為.13.(1)海里(2)路線①【分析】()由題意可得,,即得,再解直角三角形即可求解;()分別過點作垂直,垂足分別為點,解直角三角形求出,求出路線①和②的路程,比較即可判斷求解;本題考查了解直角三角形的應用方向角問題
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