第6講-導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用省公開課金獎(jiǎng)全國賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

主講教師：張麗清第6講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上應(yīng)用1/44函數(shù)性質(zhì)（已學(xué)）函數(shù)單調(diào)性函數(shù)奇偶性函數(shù)周期性函數(shù)有界性2/44提要函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值與最值函數(shù)凹凸性函數(shù)漸近線函數(shù)單調(diào)性3/444.3函數(shù)極值與最值4.3.1

函數(shù)單調(diào)性4.3.2

函數(shù)極值4.3.3

函數(shù)最值及應(yīng)用4.3.4函數(shù)凹凸與拐點(diǎn)4.3.5曲線漸近線4/44定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若在(a,b)內(nèi)(2)若在(a,b)內(nèi)4.3.1

單調(diào)性判定則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)增加.則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)降低.倘若f(x)在端點(diǎn)處不連續(xù)，則只需把結(jié)論[a,b]改為（a,b）即可.5/44在[x1,x2]上用拉格朗日中值定理得：最少存在依據(jù)遞增定義f(x)在[a,b]

單調(diào)遞增.abab6/44例2

確定函數(shù)單調(diào)性.解:該函數(shù)定義域是R,7/44說明:單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn).比如,2)駐點(diǎn)不一定是函數(shù)單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn).比如,8/44求函數(shù)單調(diào)區(qū)間步驟：(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)，并求出駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)；(3)列表（依據(jù)分界點(diǎn)把定義域分成對(duì)應(yīng)區(qū)間；判斷一階導(dǎo)符號(hào)）(4)下結(jié)論。9/44例3

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間.解:令得故單調(diào)增加區(qū)間為單調(diào)降低區(qū)間為該函數(shù)定義域是R,10/44提要函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值與最值函數(shù)凹凸性函數(shù)漸近線函數(shù)極值與最值11/444.3.2

極值定義設(shè)函數(shù)y=f(x)

在x0

一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于

x0

x恒有(1)f(x0)>f(x)，則稱f(x0)

為函數(shù)f(x)

極大值，x0稱為f(x)

極大值點(diǎn)；(2)f(x0)<f(x)，則稱f(x0)

為函數(shù)f(x)

極小值，x0稱為f(x)

極小值點(diǎn)；函數(shù)極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).12/44顯然，在圖中，x1，x4為f(x)極大值點(diǎn)，

x2，x5為f(x)極小值點(diǎn).y=f(x)yxOx1x2x3x4x5從圖形上能夠看出:(1)極大值不一定大于每一個(gè)極小值；極小值也不一定小于每個(gè)極大值.(2)極值點(diǎn)若可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)必定是0.13/44定理

2(極值必要條件)若f

(x)

在x0處可導(dǎo)，且x0為極值點(diǎn)，則f

(x0)=0.簡單地說，可導(dǎo)極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn).或者不可導(dǎo)點(diǎn).極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)反之則未必成立.14/44也就是說，駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)未必就是極值點(diǎn).15/44且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),x0駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,定理3(極值第一充分條件)P97(3)“左右同號(hào)”,16/44例1

求函數(shù)極值.解:(1)該函數(shù)定義域?yàn)镽.(2)令得駐點(diǎn)另外，(3)列表判別17/44定理4(極值第二充分條件)P98則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.則需要用第一充分條件判別.18/44例2

求函數(shù)極值.解

(1)求導(dǎo)數(shù)(2)求駐點(diǎn):令得駐點(diǎn)(3)判別:因故為極小值;又故需用第一判別法判別.19/444.3.3

最大值與最小值問題

對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x),由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值．值和最小值只能在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處到達(dá)．

顯然，函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上最大20/44求函數(shù)最值方法:(1)求在內(nèi)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(2)

求這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值（3）比較大小，得函數(shù)在[a,b]上最值.函數(shù)f(x)最值只會(huì)在端點(diǎn)以及內(nèi)部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處產(chǎn)生.以及端點(diǎn)函數(shù)值：21/44例3

試求函數(shù)f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在區(qū)間[0,3]上最大值和最小值.解

f

(x)=12x3-48x2+60x–24

令f

(x)=0，得駐點(diǎn)x=1，x=2，又因?yàn)?12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，將它們加以比較可知在區(qū)間[0,3]上f(x)最大值最小值為f(2)=-4.為f(3)=13，22/44尤其:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)(小)

若求在開區(qū)間（a,b）內(nèi)值域，則端點(diǎn)處函數(shù)值用極限代替.23/44

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處到達(dá).

對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可依據(jù)實(shí)際意義判別求出可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).24/44例4

鐵路上AB段距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)怎樣選取?20物從B運(yùn)到工廠C運(yùn)費(fèi)最省,問Km,公路,解

設(shè)則總運(yùn)費(fèi)為y,鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為3k,25/44令得又所以為唯一極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省。從而為最小點(diǎn),26/44例5

欲做一個(gè)底為正方形，容積為a立方米長方體開口容器，當(dāng)?shù)缀透叻謩e是多少時(shí)用料最省。解設(shè)底邊邊長為x，高為h，表面積為y，則由得（唯一）由實(shí)際情況可知當(dāng)?shù)诪楦邽闀r(shí)用料最省。27/44小結(jié)

2537x8y00.5928/44提要函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值與最值函數(shù)凹凸性函數(shù)漸近線函數(shù)凹凸性29/444.3.4

曲線凹凸性4.3函數(shù)極值與最值4.3.5

曲線漸近線30/44OyABCDx4.3.4

曲線凹凸性與拐點(diǎn)xyOABDC(a)(b)定義1

若在某區(qū)間（a,b）內(nèi)(1)若曲線段總位于其上任一點(diǎn)處切線下方，則稱該曲線段（a,b）內(nèi)是凸，并稱（a,b）為函數(shù)凸區(qū)間.(2)曲線段總位于其上任意一點(diǎn)處切線上方，則稱曲線段在（a,b）內(nèi)是凹，并稱（a,b）為函數(shù)凹區(qū)間；31/44

定理

1

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

I

內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)

f

(x)>0，則曲線

y=f(x)在區(qū)間

I

內(nèi)是凹；若

f

(x)<0，則在此區(qū)間

I內(nèi)曲線

y=f(x)是凸.xyOABDCx1x3x4x232/44定義2

曲線y=f(x)凹凸分界點(diǎn)叫做曲線拐點(diǎn).所以，拐點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)（x0,f(x0)），而不是一個(gè)值x=x0.且在x0處有二階導(dǎo)，那么必定有點(diǎn)（x0,f(x0)是曲線y=f(x)拐點(diǎn)假如(x0,y0)是拐點(diǎn)，33/44(2)求(3)列表格，用上述各點(diǎn)按照從小到大依次將分成小區(qū)間,再在每個(gè)小區(qū)間上考查符號(hào).(1)確定函數(shù)y=f(x)定義域；綜合上面分析，求凹凸區(qū)間（或凹凸性）和拐點(diǎn)能夠按照以下步驟進(jìn)行：不存在點(diǎn)；找出在定義域內(nèi)使點(diǎn)和(4)下結(jié)論.34/44例

1

討論曲線f(x)=x3-6x2

+9x+1凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．解定義域?yàn)?,

).因?yàn)閒

(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令

f(x)=0，可得x=2.x(,2)2(2,+

)f(x)

0+f(x)拐點(diǎn)(2,3)所以

(2,3)是該曲線拐點(diǎn).35/44例

2討論曲線

y=ln(1+

x2)凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解定義域?yàn)?,).因?yàn)榱顈

=0得x=-1，x=1.所以曲線凸區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞）,凹區(qū)間是（-1，1）；點(diǎn)(-1,ln2)

和(1,ln2)為拐點(diǎn).36/44提要函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值與最值函數(shù)凹凸性函數(shù)漸近線函數(shù)漸近線37/444.3.5

曲線漸近線

定義3

若曲線

y=f(x)上動(dòng)點(diǎn)

M(x,y)沿著曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，它與某直線l

距離趨則稱

l為該曲lM(x,y)y=f(x)yxO向于零，線漸近線.38/44(1)

垂直漸近線

則稱直線x=c為曲線y=f(x)垂直漸近線.比如，∴直線x=0為y=lnx曲線垂直漸近線.yxOy=lnx對(duì)于曲線y=lnx

來說，39/441yxO40/44比如，對(duì)于曲線來說，(2)

水平漸近線則稱直線y=