浙江省寧波市2024年高一《數(shù)學(xué)》一月月考試卷與參考答案

6/20浙江省寧波市2024年高一《數(shù)學(xué)》上冊一月月考試題與參考答案一、單選題1.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】依題意，解得且，所以的定義域為.故選：B2.已知集合，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【分析】解方程化簡集合，然后利用元素和集合、集合和集合的關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】集合，所以，，，.故選：AC.3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】判斷函數(shù)的定義域是否相同，再在定義域基礎(chǔ)上，化解解析式是否一致即可.【詳解】對于A，，定義域和對應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；對于B，，定義域不同，故不為同一函數(shù)；對于C，，定義域和對應(yīng)法則均相同，故為同一函數(shù)：對于D，，定義域不同，故不為同一函數(shù)．故選：C．4.已知，，則“且”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】D【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時，，由，取，此時，所以“且”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.已知無理數(shù)，若，，，則它們的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因為函數(shù)為增函數(shù)，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.故選：A6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可判斷錯誤，根據(jù)，可排除.【詳解】依題可知：函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，故錯誤；又當(dāng)時，，故錯誤，故選：.7.已知實數(shù)為常數(shù)，且，函數(shù)，甲同學(xué)：的解集為：乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：存在最小值.在這三個同學(xué)中，只有一個同學(xué)的論述是錯誤的，則a的范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別分析甲乙丙三位同學(xué)的論述，從而得解.【詳解】若甲正確，則且，即，則；若乙正確，則且，即，則；若丙正確，則二次函數(shù)開口向上即；因為只有一個同學(xué)的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故.故選：C8.已知函數(shù)定義域為，且對任意正實數(shù)x，y都成立，則下列結(jié)論一定成立的是（）A B.C. D.【答案】B【分析】對于ACD：舉反例分析判斷；對于B：利用反證法，假設(shè)存在，使得，令，結(jié)合題意分析證明.【詳解】對于選項A：例如函數(shù)符合題意，則，故A錯誤；對于選項CD：例如符合題意，則，故C錯誤；令，則，可知，故D錯誤；對于選項B：反證：假設(shè)存在，使得，令，則，可得，這與假設(shè)相矛盾，故假設(shè)不成立，所以對任意，，故B正確；故選：B.二、多選題9.集合，集合則集合可表示為（）A. B. C. D.【答案】ABC【分析】化簡集合，結(jié)合集合的運算判斷各選項的對錯.【詳解】不等式的解集為或，所以或，因為，所以或，B正確，，則或，A正確，，又或，C正確，，，故D錯誤.故選：ABC10.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)并且值域為的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即函數(shù)的值域，逐項判斷即可.【詳解】對于函數(shù)，定義域為，且值域，故錯誤；對于函數(shù)，定義域為,且，故為偶函數(shù)，且值域為，故正確；對于函數(shù)，定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的值域為，故正確；對于函數(shù)，令得，或者或者，故函數(shù)的定義域或或，關(guān)于原點對稱，，故函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的值域為，故正確，故選：11.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（）A.且B.在10℃的保鮮時間是60小時C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時間將超過150小時【答案】AB【分析】本題首先可根據(jù)題意得出是減函數(shù)，且，可判斷出正確；根據(jù)及，可得，則可求得的值，判斷出正確；解不等式得，則錯誤；當(dāng)時，可求得，則錯誤.【詳解】因為該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，易得是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結(jié)合，不等式化為，即，又，所以，故錯誤；當(dāng)時，，故錯誤；故選：12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若的圖象與直線有三個交點，則實數(shù)B.若有三個不同實數(shù)根，則C.不等式的解集是D.若對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【分析】對于AB，作出函數(shù)的圖象即可判斷；對于C，先根據(jù)圖象求出的范圍，再分情況討論即可；對于D，根據(jù)圖象結(jié)合圖象平移分析運算即可判斷.【詳解】對于A，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，若的圖象與直線有三個交點，則實數(shù)，故A正確；對于B，如圖，作出函數(shù)的圖象，由題意得兩函數(shù)交點得橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)，則關(guān)于對稱，故，由圖可知，所以，故B正確；

對于C，由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，，則由，可得，則或，解得或，所以不等式的解集是，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，顯然不成立，故舍去，當(dāng)時，可以通過向左平移個單位得到，如圖2，顯然不成立，舍去，當(dāng)時，可以通過向右平移個單位得到，如圖3，以射線與相切為臨界，即，則，所以，解得，所以，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.三、選擇題13.實數(shù)且，則函數(shù)的圖象恒過定點______．【答案】【分析】令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，所以函數(shù)的圖象恒過定點.故答案為：.14.化簡求值：______．【答案】3【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算公式計算.【詳解】原式=.故答案為：3.15.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)，則______．①定義域為，值域為②在定義域內(nèi)是偶函數(shù)③的圖象與x軸有三個公共點【答案】（答案不唯一）【分析】由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可取，再證明即可.【詳解】根據(jù)題意可取，函數(shù)的定義域為，值域為，故①符合，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故②符合，令，解得或，所以的圖象與x軸有三個公共點，故③符合，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.16.若正數(shù)a，b滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】引入待定系數(shù)，結(jié)合基本不等式求出答案.【詳解】正數(shù)a，b滿足，引入待定系數(shù)，得到，令，解得，解得，負(fù)值舍去，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故答案為：四、解答題17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．請從條件①，條件②，這兩個條件中選一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．【答案】（1）;（2）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)集合的并運算，直接求解即可；（2）選擇不同的條件，根據(jù)集合之間的關(guān)系，分別討論參數(shù)的范圍即可.【小問1詳解】∵當(dāng)時，集合，∴．【小問2詳解】選擇①若，∴，∴當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是．選擇②若，∵或，∴時，，解得；當(dāng)時，，解得滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是．18.已知命題p：“，”是真命題，（1）求實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合A；（2）在（1）的條件下，設(shè)不等式的解集為B，若是的必要條件，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意方程無解，利用判別式法求解即可；（2）先求出集合B，由題意，分類討論，列不等式組求解即可【小問1詳解】因為命題p：“，”是真命題，所以方程無解，所以，解得，所以實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合.【小問2詳解】因為，所以，解得，所以，又是的必要條件，所以，當(dāng)時，即，滿足題意；當(dāng)時，，解得；綜上，.19.已知冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點.（1）求的解析式；（2）設(shè)，（i）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；（ii）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】19.20.（i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的圖象所過點，列出方程求解即可.（2）（i）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明即可；（ii）利用在上單調(diào)性可得，即可得解.【小問1詳解】因為冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，則，所以，故；【小問2詳解】，（i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，所以，因為，所以，所以，所以，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ii）因在上恒成立，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時，.（1）求；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，再令，即可得解；（2）設(shè)求出，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性及單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.小問1詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，令，則，所以；【小問2詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，且時，，設(shè)，則，則，又，所以，即當(dāng)時，；【小問3詳解】解：由（1）（2）可得，所以函數(shù)圖象如下所示：即在，上單調(diào)遞增，則不等式等價于，所以或或，解得或或，所以實數(shù)的取值范圍為.21.某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.【答案】（1）40元（2）10.2萬件，30元【分析】（1）設(shè)每件定價為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；（2）列出不等關(guān)系，分離參數(shù)得，從而利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)每件定價為元，得，整理得，解得.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.【小問2詳解】依題意知當(dāng)時，不等式有解，等價于時，有解，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域，并指出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）：