初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料初三

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(45)

一元二次方程的根

甲內(nèi)容提要

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的實(shí)數(shù)根，是由它的系數(shù)a,b,c的值確定的.

根公式是：xJ土國-4ac—《心。)

2a

2.根的判別式

①實(shí)系數(shù)方程ax，bx+c=O(aWO)有實(shí)數(shù)根的充分必要條件是：

b2—4ac^0.

②有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aW0)有有理數(shù)根的判定是：

b2-4ac是完全平方式O方程有有理數(shù)根.

③整系數(shù)方程x，px+q=O有兩個(gè)整數(shù)根Op?—4q是整數(shù)的平方數(shù).

3.設(shè)Xi,X2是ax，bx+c=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么

①axi2+bxi+c=0(aWO,b2—4ac^0),ax22+bx2+c=0(aWO,b2—4ac^0)；

-b-\-^b2-4ac

②xi=---------------

la

2

③韋達(dá)定理：Xi+X2=——,xiX2=—(aWO,b—4ac^0).

aa

4.方程整數(shù)根的其他條件

整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aWO)有一個(gè)整數(shù)根X1的必要條件是：勺是c的因數(shù).

特殊的例子有：

C=0Ox—,a+b+c=OOxi=l，a-b+c=O<^>Xi=-1.

乙例題

例1.已知：a,b,c是實(shí)數(shù)，且a=b+c+l.

求證：兩個(gè)方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

證明(用反證法)

設(shè)兩個(gè)方程都沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

那么△WO和△zWO.

1—46<0①

即Va2-4c<0②

a=6+c+l③

23代入③，得

由①得bb+1

44

a—c=b+l^—,4cW4a—5④

4

②+④：a?—4a+5W0,

即(a-2)2+1^0,這是不能成立的.

既然△1或()和△zWO不能成立的，那么必有一個(gè)是大于0.

.,.方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

本題也可用直接證法：當(dāng)△1+42>0時(shí)，則和中至少有一個(gè)是正數(shù).

例2.已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)方程：

(a—1)X2—(a2+2)x+(a2+2a)=0^0(b—1］一面+2汝+面+21))=0(其中a,b為正整數(shù))

有一個(gè)公共根.求a,b的值.

(1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

解：用因式分解法求得：

方程①的兩個(gè)根是a和—；方程②兩根是b和"2.

a-1b-1

由已知a>l,b>l且aWb.

?八口b+2-〃+2

..公共根是a=-------或b=-------.

b-1a-1

兩個(gè)等式去分母后的結(jié)果是一樣的.

即ab—a=b+2,ab—a-b+l=3,(a-l)(b-1)=3.

a-1=1tz—l=3

???a,b都是正整數(shù),或

Z-1=3<b-l=l

a=2a=4

解得<或<

b=4b=2

又解：設(shè)公共根為XO那么

(a—1)%；—(。之+2)x+(a?+2a)=0CD

°。先消去二次項(xiàng)：

—(Z?2+2)x+(〃+2b)=0②

①X(b-1)—②義(a-1)得

2222

[一(a+2)(b-l)+(b+2)(a-l)]x0+(a+2a)(b-1)-(b+2b)(a-1)=0.

整理得(a—b)(ab—a—b—2)(xo—1)=0.

.,.x()=l；或(ab—a—b—2)=0.

當(dāng)x()=l時(shí)，由方程①得a=l,

.'.a-1=0,

.?.方程①不是二次方程.

.?.xo不是公共根.

當(dāng)91?一2—13—2)=0時(shí)，得(a—l)(b—l)=3.......解法同上.

例3.已知：m,n是不相等的實(shí)數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根

差相等.

求：m+n的值.(1986年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

解：方程①兩根差是

H_電|=_刀2)2=J(X]+%2)2—4%1%2=飛府—4n

同理方程②兩根差是

耕_%|=J"-4m

依題意，得dm2-4n=y/n2—4m.

兩邊平方得：m2—4n=n2—4m.

/.(m—n)(m+n+4)=0

Vm^n,

m+n+4=0,m+n=-4.

例4.若a,b,c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有有理數(shù)根.

證明：設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根一(m,n是互質(zhì)的整數(shù)).

n

為B么a(——)2+b(——)+c=0,即an2+bmn+cm2=0.

nn

把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，

???m,n互質(zhì)，，不可能同為偶數(shù).

①當(dāng)m,n同為奇數(shù)時(shí)，則an2+bmn+cm2是奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)W0；

②當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，anZ+bmn+cn?是偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)W0；

③當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，ai?+bmn+cn?是奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)W0.

綜上所述

不論m,n取什么整數(shù)，方程a(—K+b(—)+c=0都不成立.

nn

即假設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根是不成立的.

...當(dāng)a,b,c都是奇數(shù)時(shí)，方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有有理數(shù)根.

例5.求證：對于任意一個(gè)矩形A,總存在一個(gè)矩形B,使得矩形B與矩形A的周長比和

面積比都等于k(k2l).(1983年福建省初中數(shù)學(xué)競賽題)

證明：設(shè)矩形A的長為a,寬為b,矩形B的長為c,寬為d.

根據(jù)題意，得￡±@=a=左.

a+bab

c+d=(a+b)k,cd=abk.

由韋達(dá)定理的逆定理，得

c,d是方程z?—(a+b)kz+abk=O的兩個(gè)根.

△=[一(a+b)k]2—4abk

=(a2+2ab+b2)k2—4abk

=k[(a2+2ab+b2)k-4ab]

Vk^l,a2+b2^2ab,

a2+2ab+b2^4ab,(a2+2ab+b2)k^4ab.

AA^O.

一定有c,d值滿足題設(shè)的條件.

即總存在一個(gè)矩形B,使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(kNl).

例6.k取什么整數(shù)值時(shí)，下列方程有兩個(gè)整數(shù)解？

①(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；②10?+(1?-2以一(1<+2)=0.

解：①用因式分解法求得兩個(gè)根是：x—,x=—.

1=女+12k~l

由xi是整數(shù)，得k+l=±l,±2,±3,±4,±6,±12.

由X2是整數(shù)，得k—1=±1,±2,±3,±6.

它們的公共解是：得k=0,2,-2,3,-5.

答：當(dāng)k=0,2,-2,3,—5時(shí)，方程①有兩個(gè)整數(shù)解.

②根據(jù)韋達(dá)定理

左2—2,2

%]+尤2-------------------=一憶—

kk

k+272

=----——k—

kk

：X1,X2,k都是整數(shù)，

.-.k=±l,±2.(這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進(jìn)行檢驗(yàn).)

把k=l,—1,2,—2,分別代入原方程檢驗(yàn)，只有當(dāng)k=2和k=-2時(shí)適合.

答：當(dāng)k取2和一2時(shí)，方程②有兩個(gè)整數(shù)解.

丙練習(xí)45

1.寫出下列方程的整數(shù)解：

①5x2-V3x=0的一個(gè)整數(shù)根是.

②3x2+(V2-3)x一a=0的一個(gè)整數(shù)根是.

③*2+(岔+1)*+括=0的一個(gè)整數(shù)根是.

2.方程(1—m)x2—x—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么整數(shù)m的最大值是.

3.已知方程x2—(2m—l)x—4m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于5,則m=.

4.若xWy,且滿足等式x?+2x—5=0和y?+2y—5=0.

那么4+°=.(提示：x,y是方程z?+5z—5=0的兩個(gè)根.)

%y

5.如果方程x?+px+q=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么p,q應(yīng)滿足的關(guān)系

是：.(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

6,若方程ax?+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么兩實(shí)數(shù)根的符號必是.

(1987年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

7.如果方程mx?—2(m+2)x+m+5=0沒有實(shí)數(shù)根，那么方程(m—5)x?—2mx+m=0實(shí)數(shù)根

的個(gè)數(shù)是().

(A)2(B)1(C)0(D)不能確定(1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

8.當(dāng)a,b為何值時(shí)，方程x2+2(l+a)x+(3a?+4ab+4b?+2)=0有實(shí)數(shù)根？

(1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

9.兩個(gè)方程x?+kx—1=0和x?-x—k=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)根是()

(A)2(B)-2(C)1(D)-1(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

10.已知：方程x?+ax+b=0與x?+bx+a=0僅有一個(gè)公共根，那么a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是：

11.已知：方程x?+bx+l=0與x?—x—b=0有一個(gè)公共根為m,求：m,b的值.

12.已知：方程x?+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根各加上1,就是方程x2—a?x+ab=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

試求a,b的值或取值范圍.(1997年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

13.已知：方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根和等于si，兩根的平方和等于s2,兩根的立方和等

于S3.

求證：as3+bs2+csi=0.

14.求證：方程x?—2(m+l)x+2(m—1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不能同時(shí)為負(fù).

(可用反證法)

15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；c,d是方程x2+nx+q=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

求證：(a—c)(b—c)(a—d)(b—d)=(p—q)2.

16.如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于5,兩實(shí)數(shù)根的積是2,那么這個(gè)方程是：

.(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

17.如果方程(x—1)(X?—2x+m)=0的三個(gè)根，可作為一個(gè)三角形的三邊長，那么實(shí)數(shù)m

的取值范圍是()

333

(A)OWmWl(B)mN—(C)—<m(l(D)—WmWl

444

(1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

18.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,B且0<a<l,

1<3<2,那么k的取值范圍是()

(A)3<k<4(B)-2<k<-l(C)3<k<4或(D)無解

(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料為(46)

完全平方數(shù)和完全平方式

甲內(nèi)容提要

一定義

i.如果一個(gè)數(shù)恰好是某個(gè)有理數(shù)的平方，那么這個(gè)數(shù)叫做完全平方數(shù).

4

例如0,1,0.36,—,121都是完全平方數(shù).

25

在整數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.

2.如果一個(gè)整式是另一個(gè)整式的平方，那么這個(gè)整式叫做完全平方式.

如果沒有特別說明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.

例如：

在有理數(shù)范圍m2,(a+b-2)2,4x2-12x+9,144都是完全平方式.

在實(shí)數(shù)范圍(a+V3)2,X2+2V2X+2,3也都是完全平方式.

二.整數(shù)集合里，完全平方數(shù)的性質(zhì)和判定

1.整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位數(shù)字為2,3,7,8

的整數(shù)必不是平方數(shù).

2.若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除，則它也能被p2整除..

若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除，則m不是完全平方數(shù).

例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).

又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).

三.完全平方式的性質(zhì)和判定

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

如果ax?+bx+c(aWO)是完全平方式，貝I]b2—4ac=0且a>0；

如果b2-4ac=0且a>0；則ax2+bx+c(a=0)是完全平方式.

在有理數(shù)范圍內(nèi)

當(dāng)b2-4ac=0且a是有理數(shù)的平方時(shí)，ax，bx+c是完全平方式.

四.完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系

1.完全平方式(ax+b)2中

當(dāng)a,b都是有理數(shù)時(shí),x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；

當(dāng)a,b中有一個(gè)無理數(shù)時(shí)，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).

2.某些代數(shù)式雖不是完全平方式，但當(dāng)字母取特殊值時(shí)，其值可能是完全平方數(shù).

例如：n2+9,當(dāng)n=4時(shí)，其值是完全平方數(shù).

所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.

五.完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的關(guān)系

1.在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aW0)中

①若b?-4ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根；

②若方程有有理數(shù)根，則b2—4ac是完全平方數(shù).

2.在整系數(shù)方程x2+px+q=0中

①若p?-4q是整數(shù)的平方，則方程有兩個(gè)整數(shù)根；

②若方程有兩個(gè)整數(shù)根，則p2—4q是整數(shù)的平方.

乙例題

例1.求證：五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).

證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為m—2,m—l,m,m+l,m+2.其平方和為S.

那么S=(m—2)2+(m—1)2+m2+(m+1)2+(m+2)2

=5(m2+2).

Tn?的個(gè)位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9

???m，2的個(gè)位數(shù)只能是2,3,6,7,8,1

.??m2+2不能被5整除.

而5(m2+2)能被5整除，

即S能被5整除，但不能被25整除.

???五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).

例2m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，(m—l)x2+2mx+3m—2是完全平方式？

解：根據(jù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得

[△=0

當(dāng)且僅當(dāng)《時(shí)，(m—l)x29+2mx+3m—2是元全A平方式

m—1>0

△=0,即(2m)2—4(m—l)(3m—2)=0.

解這個(gè)方程，得mi=0.5,m2=2.

解不等式m—1>0,得m>l.

m=0.5或m=2

即《

m>1

它們的公共解是m=2.

答：當(dāng)m=2時(shí)，(m—l)x2+2mx+3m—2是完全平方式.

例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.

求證：a=b=c.

證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得

原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc

??,它是完全平方式，

即4(a+b+c)2—12(ab+ac+bc)=0.

2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ca=0,

(a—b)2+(b-c)2+(c—a)2=0.

要使等式成立，必須且只需：

a-b=0

<b-c=0

c-a=0

解這個(gè)方程組，得a=b=c.

例4.已知方程x?—5x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解，求k的非負(fù)整數(shù)解.

解：根據(jù)整系數(shù)簡化的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，△是完全平方數(shù).

可設(shè)△=m2(m為整數(shù)),

即(-5)2—4k=m2(m為整數(shù))，

“日i25-m

斛得，k=.

4

???k是非負(fù)整數(shù)，

.^25-m2>0

“25-加2是4的倍數(shù)

由25—n?》。，得忸45,即一5WmW5；

由25—n?是4的倍數(shù)，得m=±l,±3,±5.

25-m2

以m的公共解士1,±3,±5,分別代入卜=-------.

4

求得k=6,4,0.

答：當(dāng)k=6,4,0時(shí)，方程x?—5x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解

例5.求證：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+l)=0沒有有理數(shù)根.

證明：(用反證法)設(shè)方程有有理數(shù)根，那么△是整數(shù)的平方.

：△=(8k)2-16(k2+l)=16(3k2-l).

設(shè)3k2—1=n?(m是整數(shù)).

由3k2—m2=l,可知女和!11是一奇一偶，

下面按奇偶性討論3k2=m2+l能否成立.

當(dāng)k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，

左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；

右邊m"除以4余1,m?+1除以4余2.

等式不能成立.；當(dāng)k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時(shí)，

左邊k2除以4余1,3k2除以4余3

右邊n?是4的倍數(shù)，n^+l除以4余1

.??等式也不能成立.

綜上所述，不論k,m取何整數(shù)，3k2=m2+l都不能成立.

；.3k2—1不是整數(shù)的平方，16(3k2-1)也不是整數(shù)的平方.

/.當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+l)=0沒有有理數(shù)根

丙練習(xí)46

1.如果m是整數(shù)，那么m2+l的個(gè)位數(shù)只能是.

2.如果n是奇數(shù)，那么d—1除以4余數(shù)是—,「+2除以8余數(shù)是,3n2除以4

的余數(shù)是—.

3.如果k不是3的倍數(shù)，那么k?—1除以3余數(shù)是.

4.一個(gè)整數(shù)其中三個(gè)數(shù)字是1,其余的都是0,問這個(gè)數(shù)是平方數(shù)嗎？為什么？

5.一串連續(xù)正整數(shù)的平方儼，22,32,.............,1234567892的和的個(gè)位數(shù)是.

(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

6.m取什么值時(shí)，代數(shù)式X?—2m(x—4)—15是完全平方式？

7.m取什么正整數(shù)時(shí)，方程x2—7x+m=0的兩個(gè)根都是整數(shù)？

8.a,b,c滿足什么條件時(shí),代數(shù)式(c—b)x?+2(b—a)x+a—b是一個(gè)完全平方式？

9.判斷下列計(jì)算的結(jié)果，是不是一個(gè)完全平方數(shù)：

①四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積；②兩個(gè)奇數(shù)的平方和.

10.一個(gè)四位數(shù)加上38或減去138都是平方數(shù)，試求這個(gè)四位數(shù).

11.已知四位數(shù)是平方數(shù)，試求a,b.

12.已知：n是自然數(shù)且n>l.求證：211—1不是完全平方數(shù).

13.已知：整系數(shù)的多項(xiàng)式4x4+ax3+13x2+bx+l是完全平方數(shù)，求整數(shù)a和b的值.

14.已知：a,b是自然數(shù)且互質(zhì)，試求方程X?—abx+,(a+b)=0的自然數(shù)解.

2

(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

15.恰有35個(gè)連續(xù)自然數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分相同，那么這個(gè)整數(shù)是()

(A)17(B)18(C)35(D)36

(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(47)

配方法

甲內(nèi)容提要

1.配方：這里指的是在代數(shù)式恒等變形中，把二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2寫成完全平方式

(a±b)2.有時(shí)需要在代數(shù)式中添項(xiàng)、折項(xiàng)、分組才能寫成完全平方式.

常用的有以下三種：

①由a?+b2配上2ab,②由2ab配上a2+b2,③由a2±2ab配上b?.

2.運(yùn)用配方法解題，初中階段主要有：

①用完全平方式來因式分解

例如：把x4+4因式分解.

原式=x4+4+4x2—4X2=(X2+2)2—4x2...........

這是由a?+b2配上2ab.

②二次根式化簡常用公式：=|?|,這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.

例如：化簡,5-2日

我們把5—2痣寫成2—2及g+3

=(V2)2-2V2A/3+(73)2

=(V2-V3)2.

這是由2ab配上a2+b2.

③求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運(yùn)用實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，零就是最小值.

即：a?》。，.?.當(dāng)a=0時(shí)，a?的值為0是最小值.

例如：求代數(shù)式a?+2a—2的最值.

*.*a2+2a—2=a2+2a+1—3=(a+1)2—3

當(dāng)a=-l時(shí)，a2+2a-2有最小值一3.

這是由a2±2ab配上b?

④有一類方程的解是運(yùn)用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都是零，有時(shí)就需

要配方.

例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.

解：方程x?+y2+2x-4y+1+4=0.

配方的可化為(x+1)2+(y—2)2=0.

x+1=0

要使等式成立，必須且只需1

y-2=0

x=-1

解得

b=2

此外在解二次方程中應(yīng)用根的判別式，或在證明等式、不等式時(shí)，也常要有配方的知識(shí)

和技巧.

乙例題

例1.因式分解：a2b2—a2+4ab—b2+1.

解：a2b2-a2+4ab-b2+l=a2b2+2ab+l+(-a2+2ab-b2)(折項(xiàng)，分組)

=(ab+1)2—(a—b)2(配方)

=(ab+l+a-b)(ab+1-a+b)(用平方差公式分解)

本題的關(guān)金建是用折項(xiàng)，分組，樹立配方的思想.

例2.化簡下列二次根式：

①TT+ZTT；②A/2-V3；③710-473+27?.

解：化簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配方

①，7+4百="+2x2有+3=7(2+V3)2

=〔2+Vs|=2+V3.

③J10-4J3+2拒=^10-47(72+1)2

=710-4(72+1)

=^6-472="-2x2行+2=7(2-V2)2

例3.求下列代數(shù)式的最大或最小值:

①X2+5X+1；②一2x?—6x+l.

5225

解：①x?+5x+1—X2+2X—x+-——+1

、24

…"4

24

V(X+-)220,其中0是最小值.

2

S21

即當(dāng)x二一時(shí)，X2+5X+1有最小值一一

24

②—2x2—6x+l_(23X--)

=2X+2

23991

=-2(X2+2X-X+----------)

2442

3

—2(x+—)2?0,其中0是最大值，

2

311

???當(dāng)x=——時(shí)，—2x2—6x+l有最大值一.

22

例4.解下列方程：

①X4—x2+2xy+y2+1=0；(g)x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.

解：①(X4—2X2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折項(xiàng)，分組)

(X2—l)2+(x+y)2=0.(酉己方)

根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都應(yīng)等于零”.

%2-1=0

得

%+y=0

%—1,x=-l

或

b=l

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2—2y+l=0.(折項(xiàng)，分組)

(x+y)，6(x+y)+9+y2—2y+l=0.

(x+y+3)，(y—1)2=0.(配方)

.1x+y+3=0.[x=-4

y-1=0[y=l

例5.已知：a,b,c,d都是整數(shù)且m=a2+b2,n=c2+d2,則mn也可以表示為兩個(gè)整

數(shù)的平方和，試寫出其形式.(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2

=a2c?+b2d?+2abcd+a2d2+b2c2—2abcd(分組，添項(xiàng))

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6.求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整數(shù)解

22

解：x-4x+16+y+10y+25=25(添項(xiàng))

(X—4)2+(y+5)2=25(配方)

：25折成兩個(gè)整數(shù)的平方和，只能是0和25；9和16.

(x-4)2=0-[(x—4)2=25—f(x—4產(chǎn)=9+(x-4)2=16

。或〈.或〈.或〈.

0+5)2=251(y+5)2=01(y+5)2=16(y+5)2=9

x-4=0x=4

由《得＜

、y+5=5j=0

,x=4x—9x——1

同理，共有12個(gè)解1\\

y=_10[y=-5[y=-5

丙練習(xí)47

1.因式分解：

@x4+x2y2+y4；@x2-2xy+y2-6x+6y+9；@x4+x2-2ax-a2+1.

2.化簡下列二次根式：

____________________ar

①+12x+9+-\/4x2-20X+25(――<x<—)；

22

——3x+2

(l<x<2)；

x+2

⑦(14+6A/^)4-(3+y/~5)；⑧(J3-%)2+y[x~~—8x+16.

3求下列代數(shù)式的最大或最小值：

①2X2+10X+1；②一，x2+x-l.

2

4.已知：a2+b2-4a-2b+5.求：，+°的值.

V3-2V2

5.已知：a2+b2+c2=lll,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.

6.已知：實(shí)數(shù)a,b,c滿足等式a+b+c=O,abc=8.

試判斷代數(shù)式工+-+-值的正負(fù).（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

abc

7.已知：x=J19-.

Iv—6%3—2%2+16%+23/一人V—?g、

求：--------、------------------------.(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

x2-8x+15

8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0.求證：a=b=c.

9.解方程：

@x2-4xy+5y2-6y+9；@x2y2+x2+4xy+y2+1=0；

(3)5x2+6xy+2y2-l4x-8y+10=0.

10.求下列方程的整數(shù)解：

①(2x-y—2)2+(x+y+2)2=5；

@x2-6xy+y2+10y+25=0.

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(48)

非負(fù)數(shù)

甲內(nèi)容提要

i,非負(fù)數(shù)的意義：在實(shí)數(shù)集合里，正數(shù)和零稱為非負(fù)數(shù).

a是非負(fù)數(shù)，可記作a20,讀作a大于或等于零，即a不小于零.

2.初中學(xué)過的幾種非負(fù)數(shù)：

⑴實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù).若a是實(shí)數(shù)，則時(shí)20.

⑵實(shí)數(shù)的偶數(shù)次哥是非負(fù)數(shù).若a是實(shí)數(shù)，則a??！?。(n是正整數(shù)).

⑶算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，且被開方數(shù)也是非負(fù)數(shù).

若布是二次根式，則、后20,aNO.

⑷一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式是非負(fù)數(shù)，反過來也成立.

若二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則b2—4ac20.

若b2—4ac20(aWO),則二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑸數(shù)軸上，原點(diǎn)和它的右邊所表示的數(shù)是非負(fù)數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、

體積的量數(shù)也都是非負(fù)數(shù).

3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：

⑴非負(fù)數(shù)集合里，有一個(gè)最小值，它就是零.

例如：a?有最小值0(當(dāng)a=0時(shí))，卜+1|也有最小值0(當(dāng)x=—1時(shí)).

⑵如果一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)都是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是零.

若a20且一a三0,則a=0；

如果a-b》0且b—a》0,那么a—b=0.

⑶有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和或積仍是非負(fù)數(shù).

例如：若a,b,x都是實(shí)數(shù)數(shù)，貝Ua2+b220,時(shí)X帆NO,a?JI20.

⑷若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)也都只能是零.

例如若,一1|+(b+3)2+V2c+l=0

二0a—1=0Cl=1

那么＜(6+3)2=0BP</?+3=0?b=-3

J2c+1=02c+l=0c=-0.5

乙例題

例1.求證：方程x4+3x?+2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根

證明：把方程左邊分組配方，得

(X4+2X2+1)+(X2+2X+1)+4=0

即(x2+l)2+(x+l)2=—4

(x2+l)2>0,(x+l)220,

（x2+l）2+（x+l）2^0.

但右邊是一4.

不論x取什么實(shí)數(shù)值，等式都不能成立.

方程X4+3X2+2X+6=0沒有實(shí)數(shù)根.

例2.a取什么值時(shí)，本艮式—2）（同一1）+—2）（1—同）有意義?

解：：二次根式的被開方數(shù)（a-2）（同一1）與（a—2）（1一同）都是非負(fù)數(shù),

且（a-2）（時(shí)—1）與（a—2）（1一同）是互為相反數(shù)，

（a—2）（時(shí)—1）=0.（非負(fù)數(shù)性質(zhì)2）

.,.a—2=0；或|<7|-1=0.

.*.ai=2,a2=l,a3=-1.

答：當(dāng)a=2或a=l或a=-1時(shí)，原二次根式有意義.

例3.要使等式（2—Lx）2+，-+16—8x=o成立,*的值是_________.

3x-4

（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）

解：要使原等式成立：（2—Lx）22o,...1廠+16-8%wo

3x-4

yjx2+16-8%

--11=-1,(X-47^0)

x-4x-4

(2—一X)2=1,且x-4<0.

3

x=3或x=9

即《解得《

x<4

x-4<0

.'.x=3.

答：x的值是3.

例4.當(dāng)a,b取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2+2(l+a)x+(3a?+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根？

(1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

解：..?當(dāng)△、()時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

解如下不等式：

[2(1+a)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)^0

—8a?—16ab—16b?+8a—4三0,

2a?+4ab+4b2—2a+lW0,

(a+2b)2+(a-l)2^0①

V(a+2b)2>0且(a—琰》0,

得(a+2b)2+(a-l)2^0②

只有當(dāng)(a+2b)2=0且(a—1)2=0不等式①和②才能同時(shí)成立.

答：當(dāng)a=l且b=--時(shí)，方程X2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根.

2

丙練習(xí)48

1.已知在實(shí)數(shù)集合里+有意義，則x=—.

2.要使不等式(a+1)2或0成立，實(shí)數(shù)a=.

3.已知Ja—1+2Z?+1=0,貝I]a=,b=,a100b101=

4.把根號外因式移到根號里：

5.如果a〈b,那么(%+(x+b)等于()

(A)(x+a)J—(x+〃)(x+Z?).(B)(x+a)J(x+〃)(x+>).

(C)—(x+a)個(gè)—(x+a)(x+b).(D)—(x+a)J(x+〃)(％+4).

(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

6.已知a是實(shí)數(shù)且使a=Vx,貝ijx=.

(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

7.已知a,b是實(shí)數(shù)且aVJE+J匚石+工.

2

化簡74a2-4ab+l-yla2b-2ab+l后的值是.

(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

8.當(dāng)x=時(shí)，一(x+A/2)有最大值____.

(1986年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)

9.已知：|1—a|+J-=L且|1—4，都是整數(shù).求a,c的值.

(1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的實(shí)數(shù)解.

11.求適合不等式2x2+4xy+4y2—4x+4W0的未知數(shù)x的值.

12.求證：不論k取什么實(shí)數(shù)值，方程x?+(2k+l)x—1?+1<=0都有不相等的實(shí)數(shù)解.

13.比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小.

x+y+z=2

14.已知方程組<%>+丁2+冗2=1-。的解乂,丫2都是非負(fù)數(shù).求a的值.

xy+z=1-a

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(49)

對稱式

甲內(nèi)容提要

一.定義

1.在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f(x,y,z)中，如果變量x,y,z任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值

不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為絕對對稱式，簡稱對稱式.

例如：代數(shù)式x+y,xy,x3+y3+z3—3xyz,x5+y5+xy,—H——，

%y

x+y+y+z+z+x

都是對稱式.

xyzxyzxyz

其中x+y和xy叫做含兩個(gè)變量的基本對稱式.

2.在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f(x,y,z)中，如果變量x,y,z循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變,

則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對稱式，簡稱輪換式.

例如：代數(shù)式a2(b-c)+b2(c_a)+c2(a_b),2x2y+2y2z+2z2x,—I-----1-------------，

abcabc

/、,111、111

(xy+yz+zx)(—+—+-),—~~------f+------j------2+~------2-

xyza+b—cb+c—ac+a—b

都是輪換式.

顯然，對稱式一定是輪換式，而輪換式不一定是對稱式.

二.性質(zhì)

1.含兩個(gè)變量x和y的對稱式，一定可用相同變量的基本對稱式來表示.這將在下一講介紹.

2.對稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由兩個(gè)變量交換后的一切同型式,

且系數(shù)相等.

例如：在含x,y,z的齊二次對稱多項(xiàng)式中，

如果含有X?項(xiàng)，則必同時(shí)有y2,z?兩項(xiàng)；如含有xy項(xiàng)，則必同時(shí)有yz,zx兩項(xiàng)，

且它們的系數(shù)，都分別相等.故可以表示為：

m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常數(shù).

3.輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的

一切同型式，且系數(shù)相等.

例如：輪換式alb—c)+b[c—a)+<?(a—b)中，有因式a—b一項(xiàng)，必有同型式b—c和

c—a兩項(xiàng).

4.兩個(gè)對稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對稱式(輪換式).

例如：x+y,xy都是對稱式，

.'.x+y+xy,(x+y)xy,三1口等也都是對稱式.

孫

'/xy+yz+zx和—I-----1—都是輪換式,

-xyz

—I-----1—+xy+yz+z,(—I------1—)(xy+yz+z).也者B是輪換式..

xyzxyz

乙例題

口,、111、111、

例1.計(jì)算：(xy+yz+zx)(—+—+一)—xyz(—+—+—).

xyzxyz

分析：：（xy+yz+zx）（▲+4+工）是關(guān)于x,y,z的輪換式，由性質(zhì)2,在乘法展開時(shí)，只