2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3章 因式分解3.3 公式法第1課時(shí) 用平方差公式因式分解教學(xué)設(shè)計(jì) （新版）湘教版

2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第3章因式分解3.3公式法第1課時(shí)用平方差公式因式分解教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）湘教版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)意圖嗨，親愛的同學(xué)們！今天我們要一起探索數(shù)學(xué)的奧秘，開啟因式分解的新篇章。這節(jié)課，我們將用平方差公式來因式分解，讓復(fù)雜的式子變得簡(jiǎn)單有趣。讓我們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界，感受數(shù)學(xué)的樂趣吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過程中有針對(duì)性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。

-理解并掌握平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。

-能夠正確識(shí)別和應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

-通過實(shí)例練習(xí)，熟練運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-識(shí)別并指出本節(jié)課的難點(diǎn)內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

-難點(diǎn)一：理解平方差公式中\(zhòng)(a^2\)和\(b^2\)的含義，以及如何正確識(shí)別它們。

-例如，在式子\(x^2-9\)中，學(xué)生需要理解\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方。

-難點(diǎn)二：將復(fù)雜的多項(xiàng)式分解時(shí)，如何正確地應(yīng)用平方差公式。

-例如，在式子\(x^4-16\)中，學(xué)生需要先識(shí)別出\(x^4\)和\(16\)都是平方項(xiàng)，然后正確分解。

-難點(diǎn)三：解決實(shí)際問題時(shí)，如何將問題轉(zhuǎn)化為適合應(yīng)用平方差公式的形式。

-例如，在解決“一個(gè)數(shù)的平方減去另一個(gè)數(shù)的平方等于多少？”這類問題時(shí)，學(xué)生需要學(xué)會(huì)如何構(gòu)建平方差的形式。教學(xué)資源-軟硬件資源：黑板、粉筆、直尺、三角板

-課程平臺(tái)：湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)課程教材

-信息化資源：PPT課件、在線互動(dòng)平臺(tái)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)軟件

-教學(xué)手段：實(shí)物演示、小組討論、課堂練習(xí)、多媒體教學(xué)教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

-詳細(xì)內(nèi)容：首先，我會(huì)以一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)謎題來吸引學(xué)生的注意力：“我有兩個(gè)平方，相加或相減，結(jié)果總相等。請(qǐng)問我是誰？”讓學(xué)生在思考中引入平方差的概念。接著，我會(huì)展示幾個(gè)平方差的具體例子，如\(4-9\)和\(25-16\)，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的特征，并引入平方差公式。這個(gè)過程大約需要5分鐘。

2.新課講授

-內(nèi)容一：首先，我會(huì)解釋平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)的含義，并通過圖形和文字結(jié)合的方式展示公式的來源。例如，用兩個(gè)相等的正方形來表示\(a^2\)和\(b^2\)，然后展示它們相減的過程，從而引出公式。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容二：接著，我會(huì)通過幾個(gè)具體的例子來演示如何應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。例如，展示如何將\(x^2-4\)分解為\((x+2)(x-2)\)，并引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的\(a\)和\(b\)是如何確定的。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容三：最后，我會(huì)讓學(xué)生嘗試自己應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解，選擇一些簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式，如\(x^2-1\)和\(x^2-16\)，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固對(duì)公式的理解。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

3.實(shí)踐活動(dòng)

-內(nèi)容一：我會(huì)提供一些練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，這些題目包括直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解的題目，以及一些需要學(xué)生先識(shí)別平方差形式再進(jìn)行因式分解的題目。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容二：接著，我會(huì)讓學(xué)生通過小組合作，解決一些更復(fù)雜的因式分解問題，如\(x^4-81\)，鼓勵(lì)他們?cè)谟懻撝谢ハ鄮椭?，共同完成。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

-內(nèi)容三：最后，我會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，如“一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是\(25\times36\)平方厘米，如果它的長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬?！边@個(gè)問題要求學(xué)生不僅應(yīng)用平方差公式，還需要一些基本的代數(shù)運(yùn)算。這個(gè)過程大約需要10分鐘。

4.學(xué)生小組討論

-方面一：如何識(shí)別平方差的形式？

-舉例回答：學(xué)生可能會(huì)回答，當(dāng)看到形如\(a^2-b^2\)的式子時(shí)，就意識(shí)到它可能是平方差的形式。

-方面二：在因式分解時(shí)，如何正確應(yīng)用平方差公式？

-舉例回答：學(xué)生可能會(huì)討論，在因式分解時(shí)，需要確保正確地將\(a^2\)和\(b^2\)代入公式，并正確地寫出\(a+b\)和\(a-b\)。

-方面三：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為適合應(yīng)用平方差公式的形式？

-舉例回答：學(xué)生可能會(huì)討論，在解決實(shí)際問題時(shí)，需要先理解問題的背景，找出其中的平方項(xiàng)，并確定它們的關(guān)系。

5.總結(jié)回顧

-內(nèi)容：在課堂的最后，我會(huì)讓學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)到的內(nèi)容，包括平方差公式、公式的應(yīng)用以及解決實(shí)際問題的方法。我會(huì)提問一些問題，如“什么是平方差公式？”和“如何使用平方差公式進(jìn)行因式分解？”來檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。同時(shí)，我會(huì)強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點(diǎn)，如正確識(shí)別平方差的形式和應(yīng)用公式。這個(gè)過程大約需要5分鐘。

總用時(shí)：45分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-介紹與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的內(nèi)容，如平方差公式在代數(shù)中的廣泛應(yīng)用，包括在解方程、求多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)、以及解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-引入平方差在幾何學(xué)中的應(yīng)用，例如在解析幾何中，平方差公式可以用來求解拋物線的方程，或者在計(jì)算多邊形面積時(shí)，通過分割和重組來簡(jiǎn)化計(jì)算。

-探討平方差公式與二項(xiàng)式定理的關(guān)系，解釋為什么二項(xiàng)式定理的展開形式中會(huì)出現(xiàn)平方差的形式。

2.拓展建議：

-為學(xué)生提供具體的拓展學(xué)習(xí)建議，以下是一些具體的活動(dòng)和建議：

-設(shè)計(jì)一個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證平方差公式，例如使用正方體來表示\(a^2-b^2\)，并展示如何通過拼接得到\(a+b\)和\(a-b\)的形狀。

-提供一些歷史背景資料，讓學(xué)生了解平方差公式的歷史起源和發(fā)展，以及它在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要性。

-鼓勵(lì)學(xué)生探索平方差在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的題目，通過解決這些題目來提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧。

-引導(dǎo)學(xué)生研究平方差公式在物理學(xué)中的應(yīng)用，例如在物理公式中出現(xiàn)的平方差形式，以及它們?nèi)绾螏椭鉀Q實(shí)際問題。

-建議學(xué)生閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)科普文章或書籍，以加深對(duì)平方差公式及其應(yīng)用的理解。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，讓他們選擇一個(gè)與平方差公式相關(guān)的主題，進(jìn)行深入的研究和報(bào)告，以增強(qiáng)他們的研究能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。

-設(shè)計(jì)一個(gè)項(xiàng)目，讓學(xué)生嘗試將平方差公式應(yīng)用到日常生活中，比如在烹飪、建筑或其他領(lǐng)域，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。教學(xué)反思教學(xué)結(jié)束后，我總是習(xí)慣性地進(jìn)行一番教學(xué)反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，找出不足，以便在今后的教學(xué)中不斷提升。以下是我對(duì)本次“平方差公式因式分解”教學(xué)的反思：

首先，我注意到學(xué)生在理解平方差公式時(shí)存在一定的困難。在課堂中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)公式中的\(a^2\)和\(b^2\)的理解不夠深入，容易將它們與\(a\)和\(b\)混淆。為了解決這個(gè)問題，我在教學(xué)中采用了圖形輔助法，通過展示正方形來直觀地展示\(a^2\)和\(b^2\)的概念，幫助學(xué)生建立起對(duì)平方差公式的直觀認(rèn)識(shí)。

其次，我在新課講授環(huán)節(jié)采用了多個(gè)實(shí)例來引導(dǎo)學(xué)生掌握平方差公式。這些實(shí)例包括直接應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解的題目，以及需要學(xué)生先識(shí)別平方差形式再進(jìn)行因式分解的題目。通過這些實(shí)例，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解程度有了明顯的提高。然而，我也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解決較復(fù)雜的因式分解問題時(shí)，仍然存在困難。為了解決這個(gè)問題，我決定在今后的教學(xué)中，增加一些具有挑戰(zhàn)性的題目，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)中不斷進(jìn)步。

在教學(xué)實(shí)踐中，我還注意到小組討論環(huán)節(jié)對(duì)于學(xué)生的幫助很大。在小組討論中，學(xué)生可以互相啟發(fā)，共同解決難題。例如，在解決一個(gè)復(fù)雜的因式分解問題時(shí)，一個(gè)學(xué)生可能會(huì)提出一個(gè)獨(dú)特的解題思路，而這個(gè)思路正好是另一個(gè)學(xué)生的困惑所在。通過這種互相交流，學(xué)生的思維得到了拓展，解決問題的能力也得到了提高。

此外，我在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了多個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中應(yīng)用平方差公式。這一環(huán)節(jié)得到了學(xué)生的積極響應(yīng)，他們不僅能夠熟練地運(yùn)用公式，還能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活。這讓我深刻地認(rèn)識(shí)到，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)踐相結(jié)合是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和解決問題能力的重要途徑。

在教學(xué)過程中，我還發(fā)現(xiàn)了一些值得改進(jìn)的地方。例如，在導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)，我可以用更生動(dòng)有趣的方式吸引學(xué)生的注意力，如通過數(shù)學(xué)故事或者有趣的數(shù)學(xué)游戲來引入平方差的概念。在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我可以設(shè)計(jì)更多具有創(chuàng)新性的題目，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的樂趣。典型例題講解例題1：

題目：分解因式\(9x^2-81\)。

解答：首先識(shí)別出\(9x^2\)和\(81\)都是平方項(xiàng)，其中\(zhòng)(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)。根據(jù)平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，我們可以將原式分解為：

\[9x^2-81=(3x)^2-9^2=(3x+9)(3x-9)\]

進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到：

\[9x^2-81=3(3x+3)(x-3)\]

例題2：

題目：分解因式\(x^2-4y^2\)。

解答：這里\(x^2\)和\(4y^2\)都是平方項(xiàng)，其中\(zhòng)(4y^2=(2y)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)\]

例題3：

題目：分解因式\(16a^2-25b^2\)。

解答：這里\(16a^2\)和\(25b^2\)都是平方項(xiàng)，其中\(zhòng)(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[16a^2-25b^2=(4a)^2-(5b)^2=(4a+5b)(4a-5b)\]

例題4：

題目：分解因式\(x^4-81\)。

解答：首先，我們可以將\(x^4\)看作\((x^2)^2\)，\(81\)看作\(9^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2+9)(x^2-9)\]

然后，我們?cè)俅螒?yīng)用平方差公式分解\(x^2-9\)：

\[x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)\]

例題5：

題目：分解因式\(a^2-4b^2c^2\)。

解答：這里\(a^2\)是平方項(xiàng)，而\(4b^2c^2\)可以看作\((2bc)^2\)。應(yīng)用平方差公式，我們得到：

\[a^2-4b^2c^2=a^2-(2bc)^2=(a+2bc)(a-2bc)\]板書設(shè)計(jì)①平方差公式

-\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

-公式中\(zhòng)(a\)和\(b\)代表任意數(shù)

-\(a^2\)和\(b^2\)分別表示\(a\)和\(b\)的平方

②因式分解步驟

-識(shí)別平方差形式

-確定公式中的\(a\)和\(b\)

-應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解

③應(yīng)用實(shí)例

-\(9x^2-81\)：\(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)

-\(x^2-4y^2\)：\(4y^2=(2y)^2\)

-\(16a^2-25b^2\)：\(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)

-\(x^4-81\)：\(x^4=(x^2)^2\)，\(81=9^2\)

-\(a^2-4b^2c^2\)：\(4b^2c^2=(2bc)^2\)作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

為了幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提高他們的因式分解能力，以下是一份作業(yè)布置：

1.完成課本練習(xí)題中的第1題至第5題，這些題目涉及直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

2.選擇課本中的兩個(gè)例題，嘗試自己寫出解題步驟，并解釋每一步的思考過程。

3.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問題，如“一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是\(25\times36\)平方厘米，如果它的長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬?！辈L試用平方差公式來解決這個(gè)問題。

4.閱讀課本中關(guān)于平方差公式在幾何學(xué)中的應(yīng)用部分，選擇一個(gè)你感興趣的例子，寫下你的理解和學(xué)習(xí)心得。

5.在線平臺(tái)上的數(shù)學(xué)論壇或班級(jí)群內(nèi)，分享你今天學(xué)到的平方差公式，并邀請(qǐng)同學(xué)們一起討論如何應(yīng)用這個(gè)公式解決實(shí)際問題。

作業(yè)反饋：

1.批改作業(yè)時(shí)，我會(huì)仔細(xì)檢查每個(gè)學(xué)生是否正確應(yīng)用了平方差公式進(jìn)行因式分解。

2.對(duì)于正確完成作業(yè)的學(xué)生，我會(huì)給予積極的反饋，如“很好，你能夠熟練地應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解?！?/p>

3.對(duì)于在應(yīng)用公式時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生，我會(huì)指出具體錯(cuò)誤，并提供正確的解題步驟。例如，“注意，這里你應(yīng)該將\(4y^2\)視為\((2y)^2\)，而不是直接寫成\(2y\)的平方?！?/p>

4.我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生在