吉林省長春市九臺區(qū)2025屆九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2024-2025學(xué)年吉林省長春市九臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8道題，每題3分，共24分）1．（3分）若有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣12．（3分）盒子里有10個球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個，黃球有3個，黑球有1個．小軍從中任意摸一個球，下面說法正確的是（）A．一定是紅球 B．摸出紅球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黃球的可能性最小3．（3分）已知∠A是銳角，，則cosA的值為（）A． B． C． D．4．（3分）下面計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D，使△ACD∽△CBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，下列正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過的東西就會被遺忘．假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%7．（3分）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，分別延長線段BG、CG，交邊AC、AB于點(diǎn)E，D．若BE＝15，則BG的長是（）A．5 B．7.5 C．9 D．108．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝BD＝5，AB⊥x軸，垂足為A．反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB'于點(diǎn)D，若tanB，則k的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48二、填空題（本大題共6道題，每題3分，共18分）9．（3分）如果一個行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，則他升高了米．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝（k﹣1）x2+2x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則k的取值范圍是．11．（3分）如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得AB的長為4.8km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為km．12．（3分）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F為BE延長線與AD延長線的交點(diǎn)，若DE＝1，則DF的長為．13．（3分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中有△OAB，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心將△OAB進(jìn)行放縮，若放縮后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為．14．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，對稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是．（只填序號）三、解答題（本大題共78分）15．（6分）計(jì)算：．16．（6分）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長．17．（6分）閱讀下面的例題：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：①當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍去）；②當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，解得x1＝1（不合題意，舍去），x2＝﹣2．綜上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．請參照例題解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．18．（7分）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝53°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）19．（7分）班級開展迎新年聯(lián)歡晚會時，在教室懸掛了如圖所示的四個福袋A，B，C，D．在抽獎時，每次隨機(jī)取下一個福袋，且取A之前需先取下B，取C之前需先取下D，直到4個福袋都被取下．（1）第一個取下的是D福袋的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求第二個取下的是A福袋的概率．20．（7分）圖①、圖②、圖③都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，按下列要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以AB為邊畫一個鈍角三角形ABC，使tan∠CAB；（2）在圖②中以AB為邊畫一個Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；（3）在圖②中以AB為邊畫一個△ABE，使tan∠AEB．21．（8分）如圖，一位籃球運(yùn)動員在距離籃圈中心水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運(yùn)動，當(dāng)球運(yùn)動的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，試解答下列問題：（1）建立圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（2）這次跳投時，球出手處離地面多高？22．（9分）【感知】如圖①，以△ABC的邊AB、AC為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，連接BE、CD，易知△ADC≌△ABE．（不要求證明）【探究】如圖②，已知∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝2，AC＝AE，求BE的長．【應(yīng)用】如圖③，AB＝4，BD＝8，∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ACD＝30°，則BC＝ ．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，BD平分∠ABC，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BD以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)Q、點(diǎn)P同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，△BPQ與△ABC重疊部分面積為S．（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)Q到AB的距離是；（2）求點(diǎn)D到BC的距離；（3）當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時，求S的值；（4）當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合時，作點(diǎn)Q關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)Q′，當(dāng)直線PQ'經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時，直接寫出t的值．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，3）和（3，0）點(diǎn)A，B均在這條拋物線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4﹣2m．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱時，連結(jié)AB，求線段AB的長；（3）當(dāng)﹣1＜x≤2時，求y的取值范圍；（4）將此拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分（包含A，B兩點(diǎn)）記為圖象G，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2m，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣2m），以O(shè)M，ON為邊構(gòu)造正方形OMPN，當(dāng)圖象G在正方形OMPN內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為3時，直接寫出m的取值范圍．

2024-2025學(xué)年吉林省長春市九臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678答案ABBBCCDC一、選擇題（本大題共8道題，每題3分，共24分）1．解析：解：∵二次根式有意義，∴x+1≥0，解得x≥﹣1．故選：A．2．解析：解：由題意可得，摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率為：，摸出黑球的概率為：，故選：B．3．解析：解：如圖所示：∵，設(shè)BC＝3a，AB＝5a，則，∴cosA．故選：B．4．解析：解：A.3不是同類項(xiàng)無法進(jìn)行運(yùn)算，故A選項(xiàng)錯誤；B.3，故B選項(xiàng)正確；C.，故C選項(xiàng)錯誤；D．∵2，故D選項(xiàng)錯誤；故選：B．5．解析：解：當(dāng)CD是AB的垂線時，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根據(jù)作圖痕跡可知，A選項(xiàng)中，CD是∠ACB的角平分線，CD不一定與AB垂直，不符合題意；B選項(xiàng)中，CD是△ABC的中線，CD不一定與AB垂直，不符合題意；C選項(xiàng)中，CD是AB的垂線，符合題意；D選項(xiàng)中，CD不與AB垂直，不符合題意．故選：C．6．解析：解：設(shè)每天“遺忘”的百分比為x，（1﹣x），解得x1，x（不合題意，舍去），∵0.293，∴每天“遺忘”的百分比約為29.3%．故選：C．7．解析：解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴BG＝2GE，∵BE＝BG+GE＝15，∴BG＝10，故選：D．8．解析：解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥OA于F，則CF＝AE，∵AC＝BC，∴BE＝AE，∵tanB，∴，由勾股定理可知，，，∵AC＝BC＝BD＝5，∴CE＝3，BE＝4，∴AB＝2BE＝8，∴AD＝8﹣5＝3，設(shè)點(diǎn)C（m，4），則D（m+3，3），∵反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，∴k＝4m＝3（m+3），∴m＝9，∴k＝4m＝36．故選：C．二、填空題（本大題共6道題，每題3分，共18分）9．解析：解：∵斜坡為1：2.4，∴坡度為1：2.4，設(shè)升高的高度為x米，則水平距離為2.4x米，則在坡面上走的距離為：2.6x，令2.6x＝130，解得x＝50，即一個行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，他升高的高度為50米，故答案為：50．10．解析：解：由題意，∵二次函數(shù)y＝（k﹣1）x2+2x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，∴k﹣1≠0，且Δ＝4﹣4（k﹣1）＞0．∴k≠1且k＜2．∴k＜2且k≠1．故答案為：k＜2且k≠1．11．解析：解：公路AC、BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，AB＝4.8km，則CMAB＝2.4km，故答案為：2.4．12．解析：解：∵邊長為3的菱形ABCD，∴AD∥BC，BC＝CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝3﹣1＝2，∵AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴，即，解得：DF，故答案為：．13．解析：解：∵將△OAB進(jìn)行放縮，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），放縮后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），∴將△OAB在第一象限放大2倍，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），故答案為：（6，2）．14．解析：解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，則abc＜0，故①正確；∵1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正確；∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（﹣1，0）之間，故④正確；∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③錯誤；故答案為：①②④．三、解答題（本大題共78分）15．解析：解：原式11+2．16．解析：（1）證明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴，∴，∴BD＝3．17．解析：解：①當(dāng)x≥3時，原方程可化為x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，解得x1＝0（不符合題意，舍去），x2＝1（不符合題意，舍去）；②當(dāng)x＜3時，原方程可化為x2+x﹣3﹣3＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2．綜上所述，原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．18．解析：解：∵∠A＝37°，∠B＝53°，又∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，∵∠BAC＝37°，AC＝80米，∴（米）．答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為100米．19．解析：解：（1）∵第一次摘只能先從B和D中選擇任意一個，∴第一個摘下D燈籠的概率是．故答案為：；（2）由題意，畫樹狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果，其中第二個取下的是A福袋的結(jié)果數(shù)有1種，∴第二個摘下A燈籠的概率為．20．解析：解：（1）答案不唯一，以下答案供參考．（2）答案不唯一，以下答案供參考．（3）如圖所示：21．解析：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2+3.5．∵籃圈中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入上式，得3.05＝a×1.52+3.5，∴a，∴yx2+3.5．（2）設(shè)這次跳投時，球出手處離地面hm，因?yàn)椋?）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，∴當(dāng)x＝﹣2.5時，h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．∴這次跳投時，球出手處離地面2.25m．22．解析：解：【探究】如圖②，過點(diǎn)A作AH⊥AB，且AH＝AB＝2，連接CH，BH，∵AB＝AH＝2，AH⊥AB，∴BH＝2，∠ABH＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠HBC＝90°，∴HC2，∵∠EAC＝90°＝∠BAH，∴∠BAE＝∠CAH，又∵AC＝AE，AB＝AH，∴△ABE≌△AHC（SAS），∴BE＝CH＝2；【應(yīng)用】如圖③，過點(diǎn)B作BN⊥BC，過點(diǎn)A作AN⊥AB，交BN于點(diǎn)N，連接CN，∴∠BAN＝∠CAD＝∠CBN＝90°，∴∠BAD＝∠CAN，∵∠ABC＝∠ACD＝30°，∴ACAD，∠ABN＝60°，∴∠ANB＝30°，∴BN＝2AB＝8，ANAB，∴，∴△BAD∽△NAC，∴，∴NC＝8，∴BC8，故答案為：8．23．解析：解：（1）如圖1中，過點(diǎn)Q作QJ⊥AB于點(diǎn)J．∵∠QBJ＝45°，∠QJB＝90°，∴∠JBQ＝∠JQB＝45°，∴QJ＝BJ，∵BQ＝t，∴QJ＝t，∴點(diǎn)Q到AB的距離為t；故答案為：t；（2）如圖1中，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴DM∥AB，∴△CMD∽△CBA，∴，∵∠DMB＝∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠MBD＝∠MDB＝45°，∴DM＝BM，∵AB＝4，BC＝3，設(shè)DM＝BM＝x，∴，解得，∴；（3）如圖2中，當(dāng)PQ∥AC時，則有，∴，∴t，此時S．如圖3中，當(dāng)PQ∥BC時，PQ⊥AB，此時PQ＝BP＝t，AP＝t，∴2t＝4，∴t＝2，此時S，綜上所述，滿足條件的S的值為或；（4）由（3）可知，當(dāng)t＝2時，PQ′垂直平分線段AB，此時直線PQ′經(jīng)過AB，AC的中點(diǎn)．如圖4中，當(dāng)直線PA′經(jīng)過AC的中點(diǎn)H時，過點(diǎn)Q作QJ⊥AB于點(diǎn)J．∵AP＝B