矩陣的等價(jià)-相似-合同的關(guān)系及應(yīng)用

矩陣的等價(jià)-相似-合同的關(guān)系及應(yīng)用?摘要：本文詳細(xì)探討了矩陣的等價(jià)、相似與合同這三種重要關(guān)系。首先闡述了它們各自的定義，接著深入分析了三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，包括相互推導(dǎo)的條件等。通過(guò)具體的例子展示了這些關(guān)系在矩陣運(yùn)算、線性變換等方面的應(yīng)用，為更好地理解和運(yùn)用矩陣知識(shí)提供了全面的指導(dǎo)。一、引言矩陣是線性代數(shù)中的核心內(nèi)容，而矩陣的等價(jià)、相似與合同關(guān)系在矩陣?yán)碚撝芯哂信e足輕重的地位。它們不僅反映了矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，還在眾多領(lǐng)域如物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等有著廣泛的應(yīng)用。深入研究這三種關(guān)系，有助于我們更深入地理解矩陣的性質(zhì)，解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。二、矩陣的等價(jià)（一）定義設(shè)\(A\)，\(B\)是兩個(gè)\(m\timesn\)矩陣，如果存在可逆矩陣\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ=B\)，則稱矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)，記作\(A\congB\)。（二）等價(jià)矩陣的性質(zhì)1.反身性：\(A\congA\)，因?yàn)閈(IAI=A\)（其中\(zhòng)(I\)為單位矩陣）。2.對(duì)稱性：若\(A\congB\)，則\(B\congA\)，由\(PAQ=B\)可得\(P^{1}BQ^{1}=A\)。3.傳遞性：若\(A\congB\)，\(B\congC\)，則\(A\congC\)。設(shè)\(PAQ=B\)，\(RBS=C\)，則\((RP)A(QS)=C\)。（三）等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于任意一個(gè)\(m\timesn\)矩陣\(A\)，總可以通過(guò)有限次初等行變換和初等列變換化為如下形式的矩陣：\[\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\]其中\(zhòng)(I_r\)是\(r\)階單位矩陣，\(r\)等于矩陣\(A\)的秩\(rank(A)\)，這個(gè)矩陣稱為矩陣\(A\)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。（四）等價(jià)關(guān)系在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用1.求矩陣的秩：通過(guò)初等變換將矩陣化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形中單位矩陣的階數(shù)就是原矩陣的秩。例如，對(duì)于矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，對(duì)其進(jìn)行初等行變換：\[\begin{align*}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}&\xrightarrow{R_22R_1,R_33R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}\]可得\(rank(A)=1\)。2.解線性方程組：將線性方程組的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為等價(jià)矩陣，從而求解方程組。設(shè)線性方程組\(Ax=b\)，其中\(zhòng)(A\)為系數(shù)矩陣，\(x\)為未知數(shù)向量，\(b\)為常數(shù)向量。對(duì)增廣矩陣\((A|b)\)進(jìn)行初等行變換，若化為\((\widetilde{A}|\widetilde)\)，則\((\widetilde{A}|\widetilde)\)與\((A|b)\)等價(jià)，且同解。三、矩陣的相似（一）定義設(shè)\(A\)，\(B\)是\(n\)階方陣，如果存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{1}AP=B\)，則稱矩陣\(A\)與\(B\)相似，記作\(A\simB\)。（二）相似矩陣的性質(zhì)1.反身性：\(A\simA\)，因?yàn)閈(I^{1}AI=A\)。2.對(duì)稱性：若\(A\simB\)，則\(B\simA\)，由\(P^{1}AP=B\)可得\(PBP^{1}=A\)。3.傳遞性：若\(A\simB\)，\(B\simC\)，則\(A\simC\)。設(shè)\(P^{1}AP=B\)，\(Q^{1}BQ=C\)，則\((PQ)^{1}A(PQ)=C\)。4.特征值相同：若\(A\simB\)，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。證明：因?yàn)閈(P^{1}AP=B\)，則\(\vert\lambdaIB\vert=\vert\lambdaIP^{1}AP\vert=\vertP^{1}(\lambdaIA)P\vert=\vert\lambdaIA\vert\)。5.行列式相等：若\(A\simB\)，則\(\vertA\vert=\vertB\vert\)。由\(\vertB\vert=\vertP^{1}AP\vert=\vertP^{1}\vert\vertA\vert\vertP\vert=\vertA\vert\)可得。6.秩相等：若\(A\simB\)，則\(rank(A)=rank(B)\)。因?yàn)橄嗨凭仃嚳山?jīng)過(guò)相似變換相互轉(zhuǎn)化，而相似變換不改變矩陣的秩。（三）相似對(duì)角化1.定義：如果一個(gè)\(n\)階方陣\(A\)相似于一個(gè)對(duì)角矩陣\(\Lambda\)，即\(P^{1}AP=\Lambda\)，其中\(zhòng)(\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\)，則稱矩陣\(A\)可相似對(duì)角化。2.可相似對(duì)角化的條件：\(n\)階方陣\(A\)可相似對(duì)角化的充分必要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。若\(A\)的\(n\)個(gè)特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)互不相同，則\(A\)可相似對(duì)角化。對(duì)于\(A\)的每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，其幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)時(shí)，\(A\)可相似對(duì)角化。例如，對(duì)于矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求其特征值：\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&0&0\\0&\lambda3&1\\0&0&\lambda3\end{vmatrix}=(\lambda2)(\lambda3)^2\)特征值為\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=3\)。對(duì)于\(\lambda=3\)，求其線性無(wú)關(guān)的特征向量：\((3IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)可得特征向量\(\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，再求\(\lambda=2\)對(duì)應(yīng)的特征向量\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)。由于\(A\)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以\(A\)可相似對(duì)角化，令\(P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，則\(P^{1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)。（四）相似關(guān)系在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用1.計(jì)算矩陣的冪：若\(A\sim\Lambda\)，即\(P^{1}AP=\Lambda\)，則\(A=P\LambdaP^{1}\)，\(A^k=P\Lambda^kP^{1}\)，而\(\Lambda^k\)是對(duì)角矩陣，其冪次計(jì)算簡(jiǎn)單。例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\)，求\(A^n\)。先求\(A\)的特征值，\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda1&2\\0&\lambda3\end{vmatrix}=(\lambda1)(\lambda3)\)，特征值\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)。求特征向量，對(duì)于\(\lambda=1\)，\((IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}0&2\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)；對(duì)于\(\lambda=3\)，\((3IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)。令\(P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(P^{1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\)。\(A^n=P\Lambda^nP^{1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n&0\\0&3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3^n1\\0&3^n\end{pmatrix}\)。2.判斷矩陣是否可對(duì)角化：根據(jù)可相似對(duì)角化的條件，通過(guò)求矩陣的特征值和特征向量來(lái)判斷。四、矩陣的合同（一）定義設(shè)\(A\)，\(B\)是\(n\)階方陣，如果存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，則稱矩陣\(A\)與\(B\)合同，記作\(A\simeqB\)。（二）合同矩陣的性質(zhì)1.反身性：\(A\simeqA\)，因?yàn)閈(I^TAI=A\)。2.對(duì)稱性：若\(A\simeqB\)，則\(B\simeqA\)，由\(C^TAC=B\)可得\((C^T)^{1}BC^{1}=A\)，即\((C^{1})^TBC^{1}=A\)。3.傳遞性：若\(A\simeqB\)，\(B\simeqC\)，則\(A\simeqC\)。設(shè)\(C_1^TAC_1=B\)，\(C_2^TBC_2=C\)，則\((C_1C_2)^TA(C_1C_2)=C\)。4.秩相等：若\(A\simeqB\)，則\(rank(A)=rank(B)\)。因?yàn)楹贤儞Q不改變矩陣的秩，由\(C^TAC=B\)，\(rank(B)=rank(C^TAC)\leqrank(A)\)，且\(A=(C^T)^{1}BC^{1}\)，\(rank(A)\leqrank(B)\)，所以\(rank(A)=rank(B)\)。5.正負(fù)慣性指數(shù)相同：二次型\(f(x)=x^TAx\)與\(g(x)=x^TBx\)合同，則它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。（三）合同關(guān)系在二次型中的應(yīng)用1.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：通過(guò)合同變換將二次型對(duì)應(yīng)的矩陣化為對(duì)角矩陣，從而得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3\)，其矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\)。求可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC\)為對(duì)角矩陣。對(duì)\(A\)進(jìn)行合同變換：\[\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{R_2R_1,R_3R_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{R_3R_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{C_2C_1,C_3C_1}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{C_3C_2}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}\]通過(guò)一系列初等行變換和相應(yīng)的初等列變換得到可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形\(f(y_1,y