高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)案例

高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)案例?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。2.過程與方法目標(biāo)通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和抽象概括的能力。在證明函數(shù)單調(diào)性的過程中，讓學(xué)生體會(huì)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高推理論證能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2.教學(xué)難點(diǎn)對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解，特別是對(duì)"任意"的理解。用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，如何通過作差變形來判斷符號(hào)。三、教學(xué)方法1.講授法：講解函數(shù)單調(diào)性的概念、定義和證明方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.討論法：組織學(xué)生討論函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。3.探究法：通過引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)單調(diào)性的定義，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，提高學(xué)生的探究能力。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課1.展示生活中一些與單調(diào)性有關(guān)的實(shí)例，如氣溫變化曲線、股票價(jià)格走勢(shì)圖等，引導(dǎo)學(xué)生觀察曲線的上升和下降趨勢(shì)，讓學(xué)生感受單調(diào)性在實(shí)際生活中的體現(xiàn)。2.提問學(xué)生：在數(shù)學(xué)中，如何描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)呢？從而引出本節(jié)課的主題函數(shù)的單調(diào)性。（二）探究新知1.函數(shù)單調(diào)性的概念給出幾個(gè)具體的函數(shù)，如\(y=2x+1\)，\(y=x^2\)，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生描述函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律。以函數(shù)\(y=2x+1\)為例，當(dāng)\(x\)的值逐漸增大時(shí)，\(y\)的值也逐漸增大；當(dāng)\(x\)的值逐漸減小時(shí)，\(y\)的值也逐漸減小。對(duì)于函數(shù)\(y=x^2\)，當(dāng)\(x\in(\infty,0)\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；當(dāng)\(x\in(0,+\infty)\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。引導(dǎo)學(xué)生歸納出函數(shù)單調(diào)性的概念：一般地，設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(I\)，如果對(duì)于定義域\(I\)內(nèi)的某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。強(qiáng)調(diào)概念中的"任意"兩個(gè)字，通過舉例說明如果不滿足"任意"，則函數(shù)不一定具有單調(diào)性。例如，對(duì)于函數(shù)\(f(x)=x^2\)，\(f(1)=1\)，\(f(2)=4\)，雖然\(1<2\)且\(f(1)<f(2)\)，但不能說\(f(x)=x^2\)在\(R\)上是增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)\(x_1=2\)，\(x_2=1\)時(shí)，\(2<1\)，但\(f(2)=4\)，\(f(1)=1\)，\(f(2)>f(1)\)。2.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法圖象法讓學(xué)生畫出一些常見函數(shù)的圖象，如\(y=x\)，\(y=x^2\)，\(y=\frac{1}{x}\)等，通過觀察圖象的上升和下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性。例如，函數(shù)\(y=x\)的圖象在\(R\)上是上升的，所以\(y=x\)在\(R\)上是增函數(shù)；函數(shù)\(y=x^2\)的圖象在\((\infty,0)\)上是下降的，在\((0,+\infty)\)上是上升的，所以\(y=x^2\)在\((\infty,0)\)上是減函數(shù)，在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。定義法給出函數(shù)\(f(x)=2x+1\)，讓學(xué)生用定義證明它在\(R\)上是增函數(shù)。證明步驟：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且\(x_1<x_2\)。計(jì)算\(f(x_1)f(x_2)\)：\(f(x_1)f(x_2)=(2x_1+1)(2x_2+1)=2(x_1x_2)\)。判斷\(f(x_1)f(x_2)\)的符號(hào)：因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，那么\(2(x_1x_2)<0\)，即\(f(x_1)f(x_2)<0\)，所以\(f(x_1)<f(x_2)\)。得出結(jié)論：由定義可知，函數(shù)\(f(x)=2x+1\)在\(R\)上是增函數(shù)?？偨Y(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)。作差：計(jì)算\(f(x_1)f(x_2)\)。變形：對(duì)\(f(x_1)f(x_2)\)進(jìn)行變形，使其能夠判斷符號(hào)。定號(hào)：根據(jù)已知條件，判斷\(f(x_1)f(x_2)\)的符號(hào)。結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。（三）例題講解例1.證明函數(shù)\(f(x)=x^2+2x\)在\((\infty,1]\)上是增函數(shù)。證明：取值：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\((\infty,1]\)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=(x_1^2+2x_1)(x_2^2+2x_2)=(x_2^2x_1^2)+2(x_1x_2)=(x_2x_1)(x_2+x_12)\)。變形：因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，又因?yàn)閈(x_1\)，\(x_2\in(\infty,1]\)，所以\(x_1+x_2<2\)，即\(x_2+x_12<0\)。定號(hào)：那么\((x_2x_1)(x_2+x_12)<0\)，即\(f(x_1)f(x_2)<0\)，所以\(f(x_1)<f(x_2)\)。結(jié)論：由定義可知，函數(shù)\(f(x)=x^2+2x\)在\((\infty,1]\)上是增函數(shù)。例2.判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上的單調(diào)性，并證明。證明：取值：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\((1,+\infty)\)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_11}\frac{1}{x_21}=\frac{x_21(x_11)}{(x_11)(x_21)}=\frac{x_2x_1}{(x_11)(x_21)}\)。變形：因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，又因?yàn)閈(x_1\)，\(x_2\in(1,+\infty)\)，所以\(x_11>0\)，\(x_21>0\)。定號(hào)：那么\(\frac{x_2x_1}{(x_11)(x_21)}>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，所以\(f(x_1)>f(x_2)\)。結(jié)論：由定義可知，函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上是減函數(shù)。通過這兩個(gè)例題，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，同時(shí)強(qiáng)調(diào)在證明過程中要注意的細(xì)節(jié)。（四）課堂練習(xí)1.證明函數(shù)\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函數(shù)。2.判斷函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(R\)上的單調(diào)性，并證明。3.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{2x+1}{x1}\)，判斷它在\((1,+\infty)\)上的單調(diào)性，并證明。讓學(xué)生在練習(xí)本上完成這些題目，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，然后請(qǐng)幾位學(xué)生上臺(tái)展示解答過程，師生共同點(diǎn)評(píng)。（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，包括函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（圖象法和定義法）以及用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓學(xué)生再次明確需要掌握的知識(shí)和技能。3.鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)思考函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題，加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解。（六）布置作業(yè)1.書面作業(yè)：教材第[X]頁練習(xí)第[X]題，習(xí)題第[X]題。2.思考作業(yè)：函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象有什么關(guān)系？除了本節(jié)課所學(xué)的方法，還有其他判斷函數(shù)單調(diào)性的方法嗎？通過布置作業(yè)，讓學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和自主學(xué)習(xí)能力。五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷方法有了一定的理解和掌握，能夠用定義證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性。在教學(xué)過程中，采用了多種教學(xué)方法，如講授法、討論法和探究法，讓學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中來，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，通過例題講解和課堂練習(xí)，及時(shí)鞏固了所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的推理論證能力。然而，在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處。例如，在講解函數(shù)單調(diào)性的概念時(shí)