點(diǎn)到直線的距離教案-公開課

點(diǎn)到直線的距離教案--公開課?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程，掌握點(diǎn)到直線的距離公式。能運(yùn)用公式熟練地求出點(diǎn)到直線的距離，并能解決一些簡單的相關(guān)問題。2.過程與方法目標(biāo)通過對點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力，體會從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維方法。在公式推導(dǎo)過程中，滲透多種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過主動(dòng)探究、合作交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。在解決問題的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)思路及應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)方法的選擇與理解。三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.展示一張城市地圖，地圖上有一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)建筑物的位置，一條直線代表一條道路。提問：如何測量這個(gè)建筑物到這條道路的最短距離呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，引出本節(jié)課的主題點(diǎn)到直線的距離。2.回顧直線方程的幾種形式，如點(diǎn)斜式、斜截式、一般式等，強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)研究直線方程為一般式\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)）時(shí)，點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)到直線的距離。（二）探究新知（25分鐘）1.提出問題已知點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)和直線\(l:Ax+By+C=0\)，如何求點(diǎn)\(P\)到直線\(l\)的距離？讓學(xué)生先獨(dú)立思考，嘗試自己尋找解決方法。2.引導(dǎo)學(xué)生思考特殊情況當(dāng)直線\(l\)平行于坐標(biāo)軸時(shí)，比如直線\(l\)平行于\(x\)軸，即\(B=0\)，直線方程為\(Ax+C=0\)，此時(shí)點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)到直線\(l\)的距離\(d=\vertAx_0+C\vert\div\vertA\vert\)。當(dāng)直線\(l\)平行于\(y\)軸，即\(A=0\)，直線方程為\(By+C=0\)，此時(shí)點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)到直線\(l\)的距離\(d=\vertBy_0+C\vert\div\vertB\vert\)。通過特殊情況的討論，讓學(xué)生對問題有初步的認(rèn)識和理解。3.對于一般情況的推導(dǎo)設(shè)\(A\neq0\)，\(B\neq0\)，過點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)作直線\(l\)的垂線，垂足為\(Q(x_1,y_1)\)。先求直線\(PQ\)的方程，因?yàn)橹本€\(PQ\)與直線\(l\)垂直，所以直線\(PQ\)的斜率為\(\frac{B}{A}\)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線\(PQ\)的方程為\(yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\)。聯(lián)立直線\(l\)與直線\(PQ\)的方程\(\begin{cases}Ax+By+C=0\\yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\end{cases}\)，求解出垂足\(Q\)的坐標(biāo)。通過求解方程組\(\begin{cases}Ax+By+C=0\\yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\end{cases}\)，由\(yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\)可得\(y=\frac{B}{A}(xx_0)+y_0\)，將其代入\(Ax+By+C=0\)中：\[\begin{align*}Ax+B(\frac{B}{A}(xx_0)+y_0)+C&=0\\Ax+\frac{B^2}{A}x\frac{B^2}{A}x_0+By_0+C&=0\\A^2x+B^2xB^2x_0+ABy_0+AC&=0\\(A^2+B^2)x&=B^2x_0ABy_0AC\\x&=\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2}\end{align*}\]再將\(x\)的值代入\(y=\frac{B}{A}(xx_0)+y_0\)求出\(y\)的值：\[\begin{align*}y&=\frac{B}{A}(\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2}x_0)+y_0\\&=\frac{B}{A}\times\frac{B^2x_0ABy_0ACA^2x_0(A^2+B^2)}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B}{A}\times\frac{B^2x_0ABy_0ACA^2x_0}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B(B^2x_0ABy_0ACA^2x_0)}{A(A^2+B^2)}+y_0\\&=\frac{B^3x_0AB^2y_0ABCA^2Bx_0+A(A^2+B^2)y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{B^3x_0AB^2y_0ABCA^2Bx_0+A^3y_0+AB^2y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{B^3x_0A^2Bx_0ABC+A^3y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{A(B^2x_0ABy_0AC)}{A(A^2+B^2)}+y_0\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC+A^2y_0(A^2+B^2)}{A^2+B^2}\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC+A^2y_0}{A^2+B^2}\end{align*}\]所以垂足\(Q\)的坐標(biāo)為\((\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2},\frac{A^2x_0+ABy_0BC}{A^2+B^2})\)。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，計(jì)算點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)到點(diǎn)\(Q(x_1,y_1)\)的距離，即點(diǎn)\(P\)到直線\(l\)的距離\(d\)。\[\begin{align*}d&=\sqrt{(x_0\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2})^2+(y_0\frac{A^2x_0+ABy_0BC}{A^2+B^2})^2}\\&=\sqrt{(\frac{A^2x_0+ABy_0+ACB^2x_0}{A^2+B^2})^2+(\frac{A^2x_0ABy_0+BC+A^2y_0}{A^2+B^2})^2}\\&=\sqrt{\frac{(A^2x_0+ABy_0+ACB^2x_0)^2+(A^2x_0ABy_0+BC+A^2y_0)^2}{(A^2+B^2)^2}}\\\end{align*}\]經(jīng)過化簡（詳細(xì)化簡過程略）可得\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。4.總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式點(diǎn)\(P(x_0,y_0)\)到直線\(l:Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的距離公式為\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。（三）公式講解與應(yīng)用（20分鐘）1.公式講解強(qiáng)調(diào)公式中各個(gè)參數(shù)的含義，\(A\)、\(B\)、\(C\)是直線方程\(Ax+By+C=0\)的系數(shù)，\((x_0,y_0)\)是已知點(diǎn)的坐標(biāo)。說明公式中絕對值符號的作用，保證距離是非負(fù)的。指出分母\(\sqrt{A^2+B^2}\)的意義，它是與直線的位置有關(guān)的一個(gè)常量。2.例題講解例1：求點(diǎn)\(P(2,1)\)到直線\(l:2x+y10=0\)的距離。解：直接將點(diǎn)\(P(2,1)\)和直線\(l:2x+y10=0\)的系數(shù)代入公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，可得\(d=\frac{\vert2\times2+1\times110\vert}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\vert4+110\vert}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)。例2：已知直線\(l:3x4y+12=0\)，求直線\(l\)與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離。解：先求直線\(l\)與\(x\)軸交點(diǎn)，令\(y=0\)，則\(3x+12=0\)，解得\(x=4\)，交點(diǎn)坐標(biāo)為\((4,0)\)。再求直線\(l\)與\(y\)軸交點(diǎn)，令\(x=0\)，則\(4y+12=0\)，解得\(y=3\)，交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,3)\)。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，可得這兩點(diǎn)間的距離為\(\sqrt{(40)^2+(03)^2}=\sqrt{16+9}=5\)。也可以把\((4,0)\)或\((0,3)\)看作點(diǎn)，直線方程看作\(3x4y+12=0\)，利用點(diǎn)到直線距離公式來計(jì)算，如把\((0,3)\)代入公式\(d=\frac{\vert3\times04\times3+12\vert}{\sqrt{3^2+(4)^2}}=\frac{\vert12+12\vert}{5}=0\)（這里計(jì)算\((0,3)\)到直線距離是為了說明可以用此公式計(jì)算直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間距離，實(shí)際這里距離就是原點(diǎn)到直線的距離為\(0\)，但不影響說明方法），把\((4,0)\)代入公式\(d=\frac{\vert3\times(4)4\times0+12\vert}{\sqrt{3^2+(4)^2}}=\frac{\vert12+12\vert}{5}=0\)（同樣這里計(jì)算\((4,0)\)到直線距離是為說明方法），然后再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算兩交點(diǎn)\((4,0)\)與\((0,3)\)間距離為\(\sqrt{(40)^2+(03)^2}=5\)。例3：已知點(diǎn)\(A(1,3)\)，\(B(3,1)\)，\(C(1,0)\)，求\(\triangleABC\)中\(zhòng)(AB\)邊上的高\(yùn)(h\)。解：先求直線\(AB\)的方程，根據(jù)兩點(diǎn)式可得直線\(AB\)的方程為\(\frac{y3}{13}=\frac{x1}{31}\)，即\(x+y4=0\)。則\(AB\)邊上的高\(yùn)(h\)就是點(diǎn)\(C\)到直線\(AB\)的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得\(h=\frac{\vert1+04\vert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)。3.課堂練習(xí)求點(diǎn)\(M(2,3)\)到直線\(l:3x+4y1=0\)的距離。已知直線\(l:2xy+3=0\)，求直線\(l\)與\(x\)軸交點(diǎn)到直線\(l\)的距離。已知\(\triangleABC\)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(2,1)\)，求\(BC\)邊上的高。（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程。點(diǎn)到直線距離公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。公式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如求點(diǎn)到直線的距離、直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離、三角形中某邊上的高。2.強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)知識和易錯(cuò)點(diǎn)重點(diǎn)知識是點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用。易錯(cuò)點(diǎn)是在代入公式計(jì)算時(shí)要注意各項(xiàng)系數(shù)的準(zhǔn)確性，以及絕對值符號的處理。（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)教材課后習(xí)題中相關(guān)題目，如求點(diǎn)到直線距離、根據(jù)點(diǎn)到直線距離求直線方程中的參數(shù)等。已知點(diǎn)\(P(3,2)\)，直線\(l:4x+y6=0\)，求點(diǎn)\(P\)關(guān)于直線\(l\)的對稱點(diǎn)\(P'\)的坐標(biāo)（提示：利用對稱點(diǎn)的性質(zhì)和點(diǎn)到直線