材料力學(xué)教學(xué)案

第一章緒論及基本概念

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)目標(biāo)：明確材料力學(xué)的任務(wù)，理解變形體的的基本假設(shè)，掌握桿件變形的基本形式。

教學(xué)內(nèi)容：

①材料力學(xué)的特點(diǎn)

②材料力學(xué)的任務(wù)

③材料力學(xué)的研究對象

④變形體的基本假設(shè)

⑤材料力學(xué)的基本變形形式

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念；桿件變形的基本形式、變形體的基本假

設(shè)。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。

四、建議學(xué)時(shí)

0.5學(xué)時(shí)

五、講課提綱

1、材料力學(xué)的任務(wù)

材料力學(xué)是研究構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的學(xué)科。

工程中各種機(jī)械和構(gòu)造都是由許多構(gòu)件和零件組成的。為了保證機(jī)械和構(gòu)造能安全正

常地工作，必須要求全部構(gòu)件和零件在外力作用時(shí)具有一定的承載能力，承載能力表現(xiàn)為

1.1強(qiáng)度是指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在外力作用下不被破壞，說明構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度。

L2剛度是指構(gòu)件抵抗變形的能力。構(gòu)件在外力作用下發(fā)生的變形不超過某一規(guī)定值，說明

構(gòu)件具有足夠的剛度。

1.3穩(wěn)定性是指構(gòu)件承受在外力作用下，保持原有平衡狀態(tài)的能力，構(gòu)件在外力作用下，能

保持原有的平衡形態(tài)，說明構(gòu)件具有足夠的穩(wěn)定性。

1.4材料力學(xué)的任務(wù)：以最經(jīng)濟(jì)為代價(jià)，保證構(gòu)件具有足夠的承載能力。通過研究構(gòu)件的強(qiáng)

度、剛度、穩(wěn)定性，為構(gòu)件選擇適宜的材料、確定合理的截面形狀和尺寸提供計(jì)算理論。

2、材料力學(xué)的研究對象：可變形固體

?均勻連續(xù)性假設(shè)：假設(shè)變形固體內(nèi)連續(xù)不斷地充滿著均勻的物質(zhì)，且體內(nèi)各點(diǎn)處的力學(xué)性

質(zhì)一樣。

?各向同性假設(shè)：假設(shè)變形固體在各個(gè)方向上具有一樣的力學(xué)性質(zhì)。

?小變形假設(shè)：假設(shè)變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形與構(gòu)件原有尺寸相比是很微小

的，稱“小變形"。在列平衡方程時(shí)，可以不考慮外力作用點(diǎn)處的微小位

移，而按變形前的位置和尺寸進(jìn)展計(jì)算。

3、桿件的幾何特征

3.1軸線：截面形心的連線

3.2橫截面：垂直于軸線的截面

3.3桿的分類：

4、桿件變形的基本形式

桿件在不同受力情況下，將產(chǎn)生各種不同的變形，但是，不管變形若何復(fù):雜，常常是四

種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲）或是它們的組合。

第二章軸向拉伸和壓縮

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

I、教學(xué)目標(biāo)

正確理解內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念，熟練掌握截面法。正確理解并熟練掌握軸向拉壓

正應(yīng)力公式、胡克定律、強(qiáng)度條件，掌握拉壓桿的強(qiáng)度L算方法。掌握拉壓時(shí)材料的力學(xué)性

能，弄清材料力學(xué)解決問題的思路和方法。

2、教學(xué)內(nèi)容

小截面法、內(nèi)力、應(yīng)力

a軸力、軸力圖

3正應(yīng)力、應(yīng)力集中的概念

4軸向拉（壓）時(shí)斜截面上的應(yīng)力

5拉壓桿的變形、胡克定律、泊松比

⑥拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算

⑦材料拉壓時(shí)的力學(xué)性能

⑧拉壓桿件系統(tǒng)的超靜定問題

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

1、內(nèi)力和截面法，軸力和軸力圖。

2、應(yīng)力的概念，軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力，軸向拉壓時(shí)的變形。

3、材料拉、壓時(shí)的力學(xué)性能。

4、軸向拉壓的強(qiáng)度計(jì)算。

5、應(yīng)力集中的概念，拉、壓靜不定問題。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題,

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

四、建議學(xué)時(shí)

7學(xué)時(shí)

五、講課提綱

2.1軸向拉伸（壓縮）的概念

受力特點(diǎn)：作用于桿件上外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。

變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿軸線方向的伸長或縮短。

2.2軸力、軸力圖

1、內(nèi)力、截面法

內(nèi)力的概念

內(nèi)力是構(gòu)件因受外力而變形，其內(nèi)部各局部之間因相對位移改變而引起的附加內(nèi)力。

截面法

截面法四部曲：截（切開）、?。ㄈe離體）、代（代替1、平（平衡）

2、軸力、軸力圖

軸向拉壓時(shí)的內(nèi)力——軸力

軸力的符號規(guī)則一軸力背離截面時(shí)為正，指向截面為負(fù)。

軸力圖

23應(yīng)力與圣維南原理

1、應(yīng)力的概念：

定義：內(nèi)力在截面上的分布集度。

數(shù)學(xué)表示:r"

應(yīng)力分量；

正應(yīng)力的代數(shù)符號規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

應(yīng)力的單位：Pa（N/m2）

2、軸向拉（壓）時(shí)橫截面上的正應(yīng)力：

應(yīng)力計(jì)算公式：

A

公式的適川范圍：

（I）外力作用線必須與桿軸線重合，否則橫截面上應(yīng)力將不是均勻分布；

（2）距外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)局部正確，外力作用點(diǎn)附近應(yīng)力分布復(fù)雜，由于加載

方式的不同，只會使作用點(diǎn)附近不大的范圍內(nèi)受到影響（圣維南原理）。因此，只要作

用于桿端合力作用線與桿軸線重合，除力作用處外，仍可用該公式計(jì)算。

（3）必須是等截面直桿，否則橫截面上應(yīng)力將不是均勻分布，當(dāng)截面變化較緩

慢時(shí)，可近似用該公式計(jì)算。

3、圣維南原理：外力作用在桿端的方式不同，只會使桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)應(yīng)

力分布受到影響。

4、軸向拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力

2.4變形、胡克定律、泊松比

1、縱向變形、胡克定律：

絕對變形

EA

E—彈性模量（Pa）E4—抗拉（壓）剛度，反映桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力

相對變形（線應(yīng)變i

￡=,拉伸￡為“+",壓縮￡為“，

在彈性范圍內(nèi)：b=七￡,CTWbp胡克定律-------

2、橫向變形及泊松比：

絕對變形

橫向尺寸0-4M-a

相對變形（橫向應(yīng)變）

/二/拉伸/為“一"，壓縮"為"+"

柏松比（橫向變形系數(shù)）

實(shí)驗(yàn)說明：在彈性范圍內(nèi)〃二2

￡

〃是反映材料性質(zhì)的常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，一般在-1?-0.5之間。

2.5材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能：

試件：

圓截面：/=1（k//=5c/

矩形截面：/=1L3JX/=5.65V

/一工作段長度（標(biāo)距）"一直徑人一橫截面積

低碳鋼拉伸時(shí)變形開展的四個(gè)階段：

（1）彈性階段（oa）

應(yīng)力特征值：比例極限%，一材料應(yīng)力應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力值〔服從虎克定律）

彈性極限?—材料只出現(xiàn)彈性變形的應(yīng)力極限值

成比

E=-=tga（比例系數(shù)）

￡

E為與材料有關(guān)的匕例常數(shù)，隨材料不同而異。當(dāng)￡=1時(shí)，b=E,由此說明說明

材料的剛性的大?。弧甓h。說明幾何意義。

⑵屈服階段（be）

當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限后，應(yīng)變增加很快，但應(yīng)力僅在一微小范圍波動，這種應(yīng)力基本

不變.應(yīng)變不斷增加,從而明顯地產(chǎn)牛塑性變形的現(xiàn)象稱為屈服（流動）c

現(xiàn)象：磨光試件外表出現(xiàn)與軸線成45。傾角條紋——滑移線，是由于材料晶格發(fā)生相對

滑移所造成。

材料產(chǎn)生顯著塑性變形，影響構(gòu)件正常使用，應(yīng)防止出現(xiàn)。

應(yīng)力特征值：屈服極限?一衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)

（3）強(qiáng)化階段（cd）

強(qiáng)化現(xiàn)象：材料恢復(fù)抵抗變形的能力，要使應(yīng)變增加，必須增大應(yīng)力值。曲線表

現(xiàn)為上升階段。

應(yīng)力特征性：強(qiáng)度極限——材料能承受的最大應(yīng)力值。

冷作硬化——材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段，使之發(fā)生塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)彈性

極限區(qū)，和屈服極限q提高、塑性降低的現(xiàn)象。

（4）頸縮階段（df）

在某一局部范圍內(nèi)，Al（急劇）、&句A計(jì)算的5試件被拉斷一

兩個(gè)塑性指標(biāo)：

延伸率（伸長率）3：3=占4100%材料分類［塑性材料65%

/［脆性材料$<5%

截面收縮率-：y/='xlOO%

2、其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能：

16Mn鋼也有明顯的四個(gè)階段；H62（黃銅）沒有明顯的屈服階段，另三階段較明顯;

T10A（高碳鋼）沒有屈服和頸縮階段，只有彈性和強(qiáng)化階段。鑄鐵拉伸時(shí)是?微彎曲線,

沒有明顯的直線局部，拉斯前無屈服現(xiàn)象，拉斷時(shí)變形很小是典型的脆性材料。

對于沒有明顯的屈服階段的材料，常以產(chǎn)生0.2%的塑性變形所

對應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服極限，稱條件屈服極限，用b0.2表示。

3、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能：

低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能：

壓縮時(shí)曲線，在屈服階段以前與拉伸時(shí)一樣，瓦巴

都與拉伸時(shí)一樣，當(dāng)。到達(dá)明后，試件出現(xiàn)顯著的塑性變形，越壓

越短，橫截面增大，試件端部由于與壓頭之間摩擦的影響，橫向變

形受到阻礙，被壓成鼓形。得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。因此，鋼材

的力學(xué)性質(zhì)主要時(shí)用拉伸試驗(yàn)來確定。

鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能：與塑性材料相反脆性材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)與拉伸時(shí)有較大

差異。

4、材料在拉伸與壓縮時(shí)力學(xué)性質(zhì)特點(diǎn)：

?當(dāng)應(yīng)力不超過一定限度（不同材料其限度

不同）時(shí)，。與￡成正比；

?塑性材料的抗拉強(qiáng)度極限比脆性材料高，

宜作受拉構(gòu)件；表示其強(qiáng)度特征的是b,

和而凡是桿件強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)；

?脆性材料的抗壓強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于其抗拉

強(qiáng)度極限，宜作受壓構(gòu)件；唯一表示強(qiáng)度

特征的是巧,，它也是桿件強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依

據(jù)。

2.6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件

1、極限應(yīng)力、安全系數(shù)、許用應(yīng)力：

二J%或外2塑性材料

極限應(yīng)力：材料破壞時(shí)的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。%二14脆性材料

安全系數(shù)、許用應(yīng)力口］=生

??

〃一安全系數(shù)（大于1的數(shù)）

構(gòu)件工作時(shí)允許到達(dá)的最大應(yīng)力值贊許用應(yīng)力。許用應(yīng)力應(yīng)低于極限應(yīng)力。

2、強(qiáng)度條件：

為了保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度，桿內(nèi)最大工作應(yīng)力不得超過材料在拉壓時(shí)的許用應(yīng)力［cr］,即

它可解決工程上的三類強(qiáng)度問題：

?強(qiáng)度校核

?設(shè)計(jì)截面

?確定許可載荷

27應(yīng)力中的概念

局部應(yīng)力——截面突變處某些局部小范圍內(nèi)的應(yīng)力。

應(yīng)力集中—在截面突變處出現(xiàn)局部應(yīng)力劇增現(xiàn)象。

應(yīng)力集中對于塑性、脆性材料的強(qiáng)度產(chǎn)生截然不同的影響，脆性材料對局部應(yīng)力的敏感

性很強(qiáng)，而局部應(yīng)力對塑性材料的強(qiáng)度影響很小。

2.8拉伸和壓縮靜不定問題

1、靜不定問題的解法：

基本思路：靜力學(xué)關(guān)系，變形幾何關(guān)系，物理關(guān)系。

解超靜定問題，除列出平衡方程外，還要通過研究變形和內(nèi)力的關(guān)系建設(shè)足夠數(shù)量的補(bǔ)充方

程，為此要找出變形的協(xié)調(diào)條件，即保持構(gòu)造連續(xù)所必須滿足的變形幾何條件，在通過變形

的物理?xiàng)l件（內(nèi)力與變形的關(guān)系）就可以列出所需要的補(bǔ)充方程。

2、裝配應(yīng)力：

桿件制成后，其尺寸有微小誤差是難免的，這種誤差使靜定構(gòu)造的幾何形狀發(fā)生微小

改變，而不會引起內(nèi)力。但對超靜定構(gòu)造，這種誤差就會使桿件在承受載荷前產(chǎn)生較大的

內(nèi)力。

由于加工誤差，強(qiáng)行裝配而引起的內(nèi)力稱為裝配內(nèi)力，與之相應(yīng)的應(yīng)力叫裝配應(yīng)力。

計(jì)算裝配應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)構(gòu)造的變形幾何關(guān)系建設(shè)補(bǔ)充方程。這類超靜定問題的變形

幾何關(guān)系中一定有一項(xiàng)與尺寸誤差3有關(guān)。

3、溫度應(yīng)力：

熱脹冷縮是金屬材料的通性，在靜定構(gòu)造中桿件可以自由變形，溫度均勻變化所產(chǎn)

生的伸縮，不會在桿內(nèi)引起內(nèi)力。但在超靜定構(gòu)造中，桿件的伸縮受到局部或全部約束，

溫度變化將會引起內(nèi)力，和它相應(yīng)的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。

第三章扭轉(zhuǎn)與剪切

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

I.教學(xué)目標(biāo)

掌握扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算方法；正確理解并熟練掌握扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算方法、剪

切胡克定律和剪應(yīng)力互等定理、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算。

2.教學(xué)內(nèi)容

也外力偶矩的計(jì)算，扭矩、扭矩圖，純剪切。

2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形，扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件。

3扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算。

4扭轉(zhuǎn)靜不定問題，非圓截面桿扭轉(zhuǎn)。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律和強(qiáng)度，圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的剛度和變形（相對扭

轉(zhuǎn)角）計(jì)算。

難點(diǎn)：扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力推導(dǎo)過程

重點(diǎn)處理：通過例子，關(guān)雉理解丁2、是指整個(gè)軸上的,四面上的最外邊緣點(diǎn)（等截面）：對

變截面可用丁max=；嚴(yán)格區(qū)分剛度和扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別

難點(diǎn)處理：結(jié)合、比照。=&的推導(dǎo)過程，和薄壁圓筒橫截面上z?的推導(dǎo)，讓學(xué)生思考可

A

能采用的方法，然后在講解。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題，到達(dá)課堂互動。

四、建議學(xué)時(shí)

4學(xué)時(shí)

五、講課提綱

3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例

桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：在桿件.上作用著大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用平面垂直

于桿件軸線的兩組平行力偶系。

桿件扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)是：當(dāng)桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，任意兩個(gè)橫截面將繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)

動而產(chǎn)生相對角位移，稱為該兩個(gè)橫截面的扭轉(zhuǎn)角，用成示。

3.2扭矩的計(jì)算和扭矩圖

1＞外力偶矩的計(jì)算：

軸所傳遞的功率和釉的轉(zhuǎn)速，則外力偶矩(N?m)

P一功率，單位為千瓦(KW)

n-----轉(zhuǎn)速，單位為r/min

2、扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩：

扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面上的力偶，該力偶之矩稱扭矩〔MJ。

扭矩的計(jì)算方法——截面法(假設(shè)扭矩為正，即設(shè)正法］

扭矩的符號規(guī)則一右手螺旋法則

扭矩圖:表示桿件各橫截面上的扭矩沿桿軸的變化規(guī)律。

3.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件

1、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

①實(shí)驗(yàn)研究：

變形特點(diǎn)：

(1)各縱向線傾斜了同一微小角度y,矩形歪斜成平行四邊形;

(2)各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是各圓周線繞桿軸線轉(zhuǎn)動了不同的角度。

應(yīng)力分布：橫截面上只有切于截面的剪應(yīng)力禽它組成與外加扭矩相平衡的內(nèi)力系兀因壁

厚/很小，假設(shè)均勻分布且沿各點(diǎn)圓周的切線方向。

由平衡條件=0得

②切應(yīng)力互等定理：

從薄壁中，用兩個(gè)橫截面和兩個(gè)縱截面取出一個(gè)單元體，如

以以下圖。

由平衡方程工=。得

??結(jié)論：在單元體互相垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成

對存在，且數(shù)值相等；二者都垂直于兩平面的交線，其方向

則共同指向或共同背離兩平面的交線，這種關(guān)系稱切應(yīng)力互

等定理。該定理具有普遍性，不僅對只有剪應(yīng)力的單元體正確，對同時(shí)有正應(yīng)力作用的單元

體亦正確。

規(guī)定：使單元體繞其內(nèi)部任意點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動趨勢的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。

單元體上只要剪應(yīng)力而無正應(yīng)力的情況稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。

③剪切胡克定律：

切應(yīng)變的定義：在切應(yīng)力作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個(gè)直角的改變量/稱

為切應(yīng)變。

剪切胡克定律：實(shí)驗(yàn)說明，當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，：■與y成正比，即

T=G/G—剪切彈性模量

2、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算

①變形幾何關(guān)系

假設(shè)圓軸各橫截面仍保持為一

平面，且其形狀大小不變；橫截面

上的半徑亦保持為一直線，這個(gè)假

設(shè)稱平面假設(shè)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象還可

推斷，與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的情況一

樣，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面上不存在

正應(yīng)力，，僅有垂宜于半徑方向的切

應(yīng)力rf乍用。

②物理關(guān)系

③靜力關(guān)系

乙也丘丁廢夕噂小/，G需/兇=了

0=跑——單位長度上的扭轉(zhuǎn)角（同一截面上為一定值）

dr

/P=fp-dA——截面對形心的極慣性矩〔與截面形狀、大小

截面

模量（系數(shù)）

/=--W=—實(shí)心軸

P320P16

3

r九D-4\4

I=-----（1一a）,?=—(內(nèi)外徑之比)IVP=—(1-c^)空心軸

P32D16

4、強(qiáng)度計(jì)算

強(qiáng)度條件：

T

對等直圓軸：rmax=-^<lr]

Wp

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算

1、扭轉(zhuǎn)變形

扭轉(zhuǎn)角（^）：任意兩橫截面相對轉(zhuǎn)過的角度

在7=C,軸為等截面條件下

7./

(p=—1弧度)

GIp

%——截面的抗扭剛度（。與G/p成反比、反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力）

2、剛度條件

7*

0―—-------(rad/m)

/GK

T

剛度條件：人“網(wǎng)律，⑻

Cz/p

可解決三類剛度問題。

3.5扭轉(zhuǎn)超靜定問題

第四章彎曲內(nèi)力

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)目標(biāo)

①掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念；

②熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力：

③熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；

④利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；

⑤掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

教學(xué)內(nèi)容

小平面彎曲等基本概念；

2截面法及簡便方法求彎曲內(nèi)力；

3剪力方程和彎審.方程、繪制剪力圖和彎矩圖；

4用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；

6疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

1、平面彎曲的概念；

2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負(fù)符號規(guī)則；

3、剪力圖和彎矩圖：

4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系；

5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。

四、建議學(xué)時(shí)

2學(xué)時(shí)

五、講課提綱

4.1平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖

1、平面彎曲的概念

彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷或位于縱向平面內(nèi)的力偶作用下，相鄰兩橫截面

繞垂直于軸線的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的變形C

梁：以彎曲為主要變形形式的構(gòu)件。

平面彎曲：桿變形之后的軸線所在平面與外力所在平面重合或平行的彎曲變形。

2、梁的計(jì)算簡圖

①幾何構(gòu)造的簡化

以梁的軸線來代替梁，忽略構(gòu)造上的枝節(jié)，如鍵槽、銷孔、階梯等。

②載何的簡化

載荷按作用方式可以簡化成三類

1、集中力

2、分布載荷

3、集中力偶

③約束的簡化

三種基本形式

1，可動較支座

2、固定較支座

3、固定端

④靜定梁及其分類

1、簡支梁

2、外伸梁

3、懸臂梁

4.2梁的內(nèi)力及內(nèi)力圖

①彎曲內(nèi)力

根據(jù)梁的平衡條件，可以求出靜定梁在載荷作用下的支反力，再應(yīng)用我面法，求得梁的

各個(gè)載面，的彎曲內(nèi)力。

（M正負(fù)號規(guī)定：

使梁段繞其內(nèi)任意點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力F,規(guī)定為正，反之為負(fù)；

使梁段的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的療矩M規(guī)定為正，反之為負(fù)。

②用直接法計(jì)算梁內(nèi)力的規(guī)律

橫截面上的剪力人在數(shù)值上等于此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在平行于橫截

面方向投影的代數(shù)和。截面左側(cè)向上外力，或右側(cè)向下外力，產(chǎn)生正的剪力；反之產(chǎn)生

負(fù)的剪力。左上右下，尸.為正：左下右上，氏為負(fù)。

橫截面上的彎矩M在數(shù)值上等于此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心

的力矩的代數(shù)和。向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。截面左側(cè)順時(shí)

針轉(zhuǎn)向外力偶，或右側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向外力偶，產(chǎn)生正的彎矩；反之產(chǎn)生負(fù)的彎矩。上正下

負(fù)；左順右逆，M為正。

③內(nèi)力圖

為了形象地說明梁各橫截面上的尺、例沿梁軸線的變化情況，在設(shè)計(jì)計(jì)算中常把各橫

截面上的￡、M用圖形來表示，分別稱為剪力圖和彎矩圖.

由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎

矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)。求出分段點(diǎn)處橫截面

上剪力和彎矩的數(shù)值（包括正負(fù)號），并將這些數(shù)值標(biāo)在相應(yīng)位置處。分段點(diǎn)之間的圖形可

根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。

第五章彎曲應(yīng)力

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)目標(biāo)

掌握梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，理解推導(dǎo)中所作的基本假設(shè)。

理解橫力彎曲止應(yīng)力計(jì)算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。

掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。

掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形）橫截面上切應(yīng)力的分布和計(jì)算。

熟練彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件的建設(shè)和相應(yīng)的計(jì)算。

了解什么情況下需要對梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)展強(qiáng)度校核。

從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。

理解等強(qiáng)度梁的概念。

教學(xué)內(nèi)容

梁純彎曲和橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力

提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力公式的分析推導(dǎo)。

橫力彎曲橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的計(jì)算。

彎曲的強(qiáng)度計(jì)算。

彎曲橫截面上為切應(yīng)力。

難點(diǎn)：彎曲正應(yīng)力、切應(yīng)力推導(dǎo)過程和彎曲中心的概念。

重點(diǎn)處理：從彎曲變形的特點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生了解兩個(gè)應(yīng)力的分布規(guī)律，并對兩個(gè)應(yīng)力的

分布進(jìn)展比照，加強(qiáng)學(xué)生理解和記憶。分析彎曲正應(yīng)力、切應(yīng)力公式中各項(xiàng)的意義，計(jì)算方

法，結(jié)合T型截面梁鑄鐵梁.這一典型問題分析，并在作業(yè)中進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練。

難點(diǎn)處理：結(jié)合梁彎曲變形的特點(diǎn)，推導(dǎo)兩個(gè)應(yīng)力公式，在推導(dǎo)中，充分利用前面的

知識，發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生自己選擇解決方法，加強(qiáng)學(xué)生對內(nèi)容的掌握。對照

r=4的推導(dǎo)消化難點(diǎn)，以學(xué)生理解這一推導(dǎo)思路。

AIp

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。

四、建議學(xué)時(shí)

4學(xué)時(shí)

五、講課提綱

5.1彎曲正應(yīng)力

1、純彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力

圖所示簡支梁CD,載荷尸作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的彎曲為平面彎曲，其計(jì)算簡圖

如以以下圖。從CD梁的剪力圖和彎矩圖可以看到，AC和。3梁段的各橫截面上，剪力和

彎矩同時(shí)存在，這種彎曲稱為橫力彎曲；而在AB梁段內(nèi)，橫截面上則只有彎矩而沒有剪力,

這種彎曲稱為純彎曲。

可以知道，梁的各“03苫不同的；純彎曲時(shí)，梁冬上彎矩為一不變的常數(shù)

值,

即M二常量。IA

下面，首先分析梁在純彎曲時(shí)橫截面上的彎曲正應(yīng)『X

而靠近凸

(2)梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸

線垂直。

(3)在梁的縱線伸長區(qū)，梁的寬度減??；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大。

中性層：梁內(nèi)某一層纖維既不伸長也不縮短，因而這層纖維既不受拉應(yīng)力，也不受壓應(yīng)力,

這層纖維稱為中性層。

中性軸：中性層與梁橫截面的交線。如圖

(2)梁的9中性軸中或壓縮。

縱線，山的伸長為

而其線應(yīng)變?yōu)?/p>

由于中性層等遠(yuǎn)的各縱向纖維變形一樣，所以.公式線向變￡即為橫截面上坐標(biāo)為)，的所有

各點(diǎn)處的縱向纖維的線應(yīng)變。

②物理關(guān)系

根據(jù)梁的縱向纖維間無擠壓，而只是發(fā)生簡單拉伸或壓縮的假設(shè)。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力

不超過材料的比例極限巴,時(shí)，可由胡克定律得到橫截面上坐標(biāo)為)，處各點(diǎn)的正應(yīng)力為

E

該式說明，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力。與點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，由于截面上萬為常數(shù)，說

明彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如以以下圖。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力均為零，中

性軸上部橫截面的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力，而下部各點(diǎn)則均為拉應(yīng)力。

③靜力關(guān)系

在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩,而軸力FN和皆為零。

由尸N二。，有

pFt

將物理關(guān)系代入上式可得：fc-ydA=-fydA=0

bp夕以

E

由于彎曲時(shí)一。0,必然有

P

此式說明，中性軸Z通過截面形心。

同時(shí)，由My=0,可得

其中

稱為截面對y、z軸的慣性積。使/"=0的一對互相垂直的軸稱為主軸。而z軸又通過橫截

面形心，所以z軸為形心主軸。

最后，根據(jù)將物理關(guān)系代入下式

其中

]M

-=——是純彎曲時(shí)梁釉線變形后的曲率；

pW

/.=\y2dA稱為截面對Z軸的慣性矩；E/一稱為截面的抗彎剛度。，梁彎曲的曲率

A

與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。

將該式代入式物理關(guān)系，即可得到純彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式

設(shè)為橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)到中性軸的距離，則截面上的最大正應(yīng)力為

如令

則截面上最大彎曲正應(yīng)力可以表達(dá)為

式中，w.稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關(guān)，其量綱為[長度『。

矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：

高為〃，寬為人的矩形截面：

直徑為d的圓截面：/7=—w7=—

至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄II的型鋼表中查找。

假設(shè)梁的橫截面對中性軸不對稱，則其截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力并不相等，例

如T形截面。這時(shí)，應(yīng)把H和為分別代入正應(yīng)力公式，計(jì)算截面上的最大正應(yīng)力。

最大拉應(yīng)力為：

最大壓應(yīng)力為：

2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力

對于細(xì)長梁(例如矩形截面梁，〃/225,/為梁長，”為截面高度)，切應(yīng)力對正應(yīng)力和彎

曲變形的影響很小，可以忽略不計(jì)。而且，用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式，即

3、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

為保證梁的安全，梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)滿足強(qiáng)度條件

式中為材料的許用應(yīng)力。對于等截面直梁，假設(shè)材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則最大彎矩的

所在面稱為不安全截面，不安全截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱為不安全點(diǎn)。此時(shí)強(qiáng)度條件可表

達(dá)為

對于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相差甚大，所以要對最大拉應(yīng)力

點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)分別進(jìn)展校核。

5.2梁橫截面上的切應(yīng)力

1、梁橫截面上的切應(yīng)力

①矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力

當(dāng)截面高度〃大于寬度〃時(shí)，關(guān)于矩形截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律，可作如下假設(shè):

(1)截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力都平行于剪力Fs的方向。

(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即切應(yīng)力的大小只與y坐標(biāo)有關(guān)。

從圖所示橫力彎曲的梁上截取長為dx的微段梁

M=(.。必=河.y"

式中，A?為橫截面上距中性軸為y的橫線以外的面積，如以以下圖。式中積分

是4的截面積對矩形截面中性軸z的靜矩。因此，上式簡化為

同理，N?=--------S,

，z

因六面體在X方向的平衡,即

少=(),NSdx)=U

將M和N?代入上式，有

整理、化簡后有

根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關(guān)系也二Q,可得

dx

由切應(yīng)力互等定理/=不，可以推導(dǎo)出矩形截面上距中性軸為），處任意點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式

為

h

當(dāng)'=±萬時(shí)，即矩形截面的上、下邊緣處切應(yīng)力7=0；當(dāng)y=0時(shí)，截面中性軸上的切

應(yīng)力為最大值：

說明矩形截面上的最大彎曲切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的1.5倍。

②工字形截面、T形截面、槽形截面梁的彎曲切應(yīng)力

2.2.1腹板上切應(yīng)力

工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實(shí)驗(yàn)說明，在翼緣上切應(yīng)力很小，在腹板上切應(yīng)力沿

腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如以以下圖。

腹板上切應(yīng)力仍然沿用矩形截面梁彎

曲切應(yīng)力計(jì)算公式

其中b取腹板的寬度。

最大切應(yīng)力在中性軸上，其值為

式中（S：）max為中性岫.側(cè)截面面積對中

性軸的靜矩。對于軋制的工字鋼，式中的

可以從型鋼表中查得。

/Qz）max

2.2.2翼緣上切應(yīng)力

計(jì)算結(jié)果說明，腹板承當(dāng)?shù)募袅s為（095%.97）Q,因此翼緣上的豎向切應(yīng)力很小,

可忽略不計(jì)。

水平切應(yīng)力

③圓形截面梁

在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線aaJ兩端處，

切應(yīng)力的方向必切于圓周，并相交于y軸上的c點(diǎn)。因此，

橫線上各點(diǎn)切應(yīng)力方向是變化的。但在中性軸上各點(diǎn)切應(yīng)力

的方向皆平行于剪力Q，設(shè)為均勻分布，其值為最大。

式中A=-d2,即圓截面的最大切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的

4

%倍。

2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件

對于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時(shí)，焊接或鐘接的壁薄截面梁，或

梁沿某一方向的抗剪能力較差〔木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還需進(jìn)展彎曲切應(yīng)

力強(qiáng)度校核。等截面直梁的口皿一般發(fā)生在|?？诿蠼孛娴闹行暂S上，此處彎曲正應(yīng)力

a=0,微元體處于純切應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為

式中［7］為材料的許用切應(yīng)力。此時(shí)，一般先按正應(yīng)力的強(qiáng)度條件選擇截面的尺寸和形狀,

然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。

5.3梁的合理設(shè)計(jì)

1、合理安排梁的受力情況

梁的彎矩與載荷的作用位置和梁的支承方式有關(guān)，適當(dāng)調(diào)整載荷或支座的位置，可以

降低梁的最大彎矩\人的數(shù)值.

2、選擇合理截面形狀

由M,nax<[<7]W

知梁可能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比，H越大越有利，而W又與截面面積和

形狀有關(guān)。因此應(yīng)選擇『月較大的截面（工字形、槽形）矩形〉圓形）。

應(yīng)使截面的上、下緣應(yīng)力同時(shí)到達(dá)材料的相應(yīng)容許應(yīng)力。

3、采用變截面梁

在橫力彎曲下，彎矩是沿梁軸變化的。因此在按最大彎矩設(shè)計(jì)的等截面梁中，除

最大彎矩所在的截面外，其余截面材料的強(qiáng)度均未得到充分利用。為了節(jié)省材料，減

輕梁的重量，可根據(jù)彎矩沿梁軸的變化情況，將梁設(shè)計(jì)成變截面的。假設(shè)變截面梁的

每一橫截面上的最大正應(yīng)力均等于材料的許用應(yīng)力，這種梁就稱為等強(qiáng)度梁。

在工程實(shí)踐中，由于構(gòu)造和加工的關(guān)系，很難做到理論上的等強(qiáng)度梁，但在很多情

況下，都利川了等強(qiáng)度梁的概念即在彎矩大的梁段使其橫截面相應(yīng)地大一曲。例如廠房建筑

中廣泛使用的魚腹梁和機(jī)械工程中常見的階梯軸等。

第六章彎曲變形

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)H標(biāo)

掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用

變形對比法求解靜不定梁。

教學(xué)內(nèi)容

有關(guān)彎曲變形的基本概念

積分法和疊加法

明確疊加原理

力法求解靜不定梁。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

梁的變形分析。

撓曲軸近似微分方程。

積分法求變形。

疊加法求梁的變形。

靜不定梁。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。

四、建議學(xué)時(shí)

6學(xué)時(shí)

五、講課提綱

6.1彎曲變形的基本概念

關(guān)于梁的彎曲變形，可以從梁的軸線和橫截面兩個(gè)方面來研究。

圖示一根任意梁，以變形前直梁的軸線為x軸，垂直向卜的軸為），軸，建設(shè)wy直角

坐標(biāo)系。當(dāng)梁在不，面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)，梁的軸線由直線變?yōu)閜面內(nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，稱

為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經(jīng)指出，梁彎曲后橫截面仍然垂直于梁的撓曲線，

因此，當(dāng)梁發(fā)生彎曲時(shí)梁的各個(gè)截面不僅發(fā)生了線位移，而且還產(chǎn)生了角位移，如圖7.1

所示。

橫截面的形心在垂直于梁軸1X軸）方向的線位移，稱為橫截面的撓度，并用符號U表

示。關(guān)于撓度的正負(fù)符號，在圖示坐標(biāo)系下，規(guī)定撓度向下（與），軸同向）為正；向上（與

），軸反向）為負(fù)。應(yīng)該指出，由于梁在彎曲時(shí)長度不變，橫截面的形心在沿梁軸方向也存在

線位移。但在小變形條件下，這種位移極小，可以忽略不計(jì)。梁彎曲時(shí)，各個(gè)截面的撓度是

截面形心坐標(biāo)X的函數(shù)，即有

上式是撓曲線的函數(shù)表達(dá)式，亦稱為撓曲線方程。

橫截面的角位移，稱為截面的轉(zhuǎn)角，用符號。表示。關(guān)于轉(zhuǎn)角的正負(fù)符號，規(guī)定在圖示

坐標(biāo)系中從X軸可期寸針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角夕為正的；反之，為負(fù)的。

顯然，轉(zhuǎn)角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置X的函數(shù)，即

此式稱為轉(zhuǎn)角方程。工程實(shí)際中，小變形時(shí)轉(zhuǎn)角。是一個(gè)很小的量，因此可表示為

綜上所述，求梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，關(guān)鍵在于確定梁的撓曲線方程v=Mx）

6.2撓曲線近似微分方程

對細(xì)長梁，梁上的彎矩歷和相應(yīng)截面處梁軸的曲率半徑「均為截面位置x的函數(shù)，因

此，梁的撓曲線的曲率可表為

即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度EI成反比。

另外，由高等數(shù)學(xué)知，曲線y=（x）任一點(diǎn)的曲率為

顯然，上述關(guān)系同樣適用于撓曲線。對比上兩式，可得

上式稱為撓曲線微分方程。這是一個(gè)二階非線性常微分方程，求解是很困難的。而在工程實(shí)

際中，梁的撓度），和轉(zhuǎn)角8數(shù)值都很小，因此，（V）2之值和1相比很小，可以略去不計(jì)，

于是，該式可簡化為

式中左端的正負(fù)號的選擇，與彎矩M的正負(fù)符號規(guī)定及xoy坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。根據(jù)彎矩

M的正負(fù)符號規(guī)定，當(dāng)梁的彎矩時(shí)，梁的撓曲線為凹曲線，按圖示坐標(biāo)系，撓曲線

的二階導(dǎo)函數(shù)值/＜0；反之，當(dāng)梁的彎矩加＜0時(shí)，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標(biāo)系中

撓曲線的/＞（）?？梢姡趫D示右手坐標(biāo)系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)尸符號

相反。所以，上式的左端應(yīng)取負(fù)號，即

上式稱為撓曲線近似微分方程。實(shí)踐說明，由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角，對工程計(jì)算來說，

已足夠準(zhǔn)確。

6.3積分法求彎曲變形

積分法計(jì)算梁的變形/）

積分一次：u=0=j—

再積分一次：EI

C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定

邊界條件：

（1）固定端約束：限制線位移和角位移

/

/唳=oq=o

A7.B

⑵較支座：只限制線位移

連續(xù)條件：

6.4疊加法求梁的變形

在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時(shí)，曾介紹了材料力學(xué)的一個(gè)普遍原理一一疊加原理。

在線彈性小變形前提下，構(gòu)件的支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形都可以用疊加法的方法計(jì)算。

彎曲變形時(shí)，梁的撓曳與轉(zhuǎn)角都與載荷成線性關(guān)系。

因此，可以用疊加法計(jì)算梁的彎曲變形。當(dāng)梁上有幾個(gè)載荷共同作用時(shí)，可以分別計(jì)算

梁在每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后進(jìn)展疊加，即可求得梁在幾個(gè)載荷共同作用時(shí)的總變

形。

應(yīng)用置加法求梁的變形時(shí)，假設(shè)梁在簡單載荷作用時(shí)的變形，是很方便的。

6.5梁的剛度校核

1、剛度條件

丁&刃或子嗚］

［切一一構(gòu)件的許用轉(zhuǎn)角

V

［-］一一分別為構(gòu)件的許用撓度、單位長度許用撓度

2、剛度校核

剛度校核是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是否超過容許值，在機(jī)械工程中，一般

對夕卜都進(jìn)展校核；在建筑工程中，大多數(shù)只校核撓度

6.6梁的合理剛度設(shè)計(jì)

從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條

件，梁截面的慣性矩/、材料的彈性模量E有關(guān)。故提高梁剛度的措施為：

(1)改善構(gòu)造形式，減小彎矩

(2)增加支承，減小跨度/；

(3)選用適宜的材料，增加彈性模量￡0但因各種鋼材的彈性模量基本一樣，所

以為提高梁的剛度而采用高強(qiáng)度鋼，效果并不顯著；

(4)選擇合理的截面形狀，提高慣性矩/,如工字形截面、空心截面等。

6.7簡單超靜定梁的解法

超靜定梁：約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁稱為靜不定梁。兩者數(shù)目的差稱

為靜不定次數(shù)。

第七章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

1.教學(xué)目標(biāo)

通過本章學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中截取單元

體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)

和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計(jì)算，并會排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定

律；了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念。掌握強(qiáng)度理論的概念；了解材料的兩種破壞形式(按破

壞現(xiàn)象區(qū)分)；了解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、破壞條件、強(qiáng)度條件；掌握常用的四個(gè)強(qiáng)

度理論的相當(dāng)應(yīng)力；會用道度理論對一些簡單的桿件構(gòu)造進(jìn)展強(qiáng)度計(jì)算。

2.教學(xué)內(nèi)容

①應(yīng)力狀態(tài)的概念；

②平面應(yīng)力狀態(tài)分析；

③三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；

④廣義胡克定律?體應(yīng)變；

⑤好雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；

⑥講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。

⑦講解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)，并推導(dǎo)其破壞條件從而建設(shè)強(qiáng)度計(jì)算方法。

⑧介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜:截面上的應(yīng)力計(jì)算，主應(yīng)力及主方向的計(jì)算，最大剪應(yīng)力的計(jì)算。

2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。

3、強(qiáng)度理論的概念、常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計(jì)算。

難點(diǎn)：

1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中橫面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。

2、斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式中關(guān)于正負(fù)符號的約定。

3.應(yīng)力主平面.主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小，方向確實(shí)定.

4、廣義胡克定律及其應(yīng)用；

5、常用四個(gè)強(qiáng)度理論的理解。

6、不安全點(diǎn)確實(shí)定及其強(qiáng)度計(jì)算。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。

四、建議學(xué)時(shí)

6學(xué)時(shí)

五、講課提綱

7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念

所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)（stateofstressesatagivenpoirt）,

是指過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合。

分析說明，一點(diǎn)處不同方向面上的應(yīng)力是不一樣的。我們把在過一點(diǎn)的所有截面中，切

應(yīng)力為零的截面稱為應(yīng)力主平面，簡稱為主平面。例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及

b、c單元體的前后一對外表均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體，如圖（c）

中的a、d單元體。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向。簡稱主方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主

應(yīng)力），如圖（c）中a、d單元體上的6及。3。用彈性力學(xué)方法可以證明，物體中任一點(diǎn)

總可找到三個(gè)相互垂直的主方向，因而每一點(diǎn)處都有三個(gè)相互垂直的主平面和三個(gè)主應(yīng)力；

但在三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主力向便會多于三個(gè)。

一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用巧之內(nèi)之內(nèi)來表示，如圖1c）中a、d

單元體，雖然它們都只有一個(gè)不為零且絕對值相等的主應(yīng)力，但須分別用內(nèi)表示。根

據(jù)一點(diǎn)處存在幾個(gè)不為零的主應(yīng)力，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：

1）單向（或簡單）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不為零。

2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不為零。

3）三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零。

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析

應(yīng)力、a角正負(fù)號規(guī)定為：

a角：從x方向反時(shí)針轉(zhuǎn)至a面外法線〃的。角為正值；反之為負(fù)值。a角的取值區(qū)間為

［0,4］或［一4/2,乃/2］。

正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

切應(yīng)力：使微元體產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動趨勢為正；反之為負(fù)?；蛘撸孛嫱夥ň€矢順時(shí)

針向轉(zhuǎn)90°后的方向?yàn)檎悍粗疄樨?fù)。

求。面上的應(yīng)力b0、％的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：

1、解析法

利用截面法，沿截面助將圖示單元切成兩局部，取其左邊局部為研究對象。設(shè)a面的

面積為dA,則“面、y面的面積分別為dAcosa及dAsina。于是，得研究對象的受力情況

如圖（b）示。該局部沿。面法向及切向的平衡方程分別為：

由此得

，?2/、?

cosa+asin?-(r+r)sinacQsa

vxvvx(a)

22

=(cr?-o\,)sinacoso+r、、,cos<7-rvxsina

由八'，=Zvx，cos2a=(l+cos2a)/2,sin2a=(l-cos2a>/22sinacosa=sin2??式(a)

可改寫為:

—iTV

-------+-------cosla-rsinla

xyv

22(9.1)

<T-CTy

--X-----sin2a+r?cos2a

27v

這就是斜面上應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)一定要遵循應(yīng)力及々角

的符號規(guī)定。

由式可知，斜截面上的應(yīng)力〃均為。角的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的

方位而變化?，F(xiàn)在來求它們的極限及平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。

對于斜截面上的正應(yīng)力（7。，設(shè)極值時(shí)的a角為a°，由d%/da=（^m

可見，心取極值的截面」一切應(yīng)力為零，即的極值便是單元體的主應(yīng)力。這時(shí)的火可由

上式求得為：

上式的劭在取值區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)根劭及a0±90;它說明與%有關(guān)的兩個(gè)極值（主應(yīng)力）的

作用而［主平面）是相互垂直的。

將以上各式代入的第一式，得乙的兩個(gè)極值bmaxC對應(yīng)劭面）、bmin（對應(yīng)劭±90。面）

為：

bmax、C為平面應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的兩個(gè)主應(yīng)力，它的另一個(gè)主應(yīng)力為零。

至于若何根據(jù)這三個(gè)主應(yīng)力來排列,、6、。3的次序，應(yīng)視5nax、氣新的具體數(shù)值來決

定。

2、圖解法

①應(yīng)力圓方程

將斜截面應(yīng)力公式改寫為：

十八-G7

-------=--------cos2a-r...sin2a

22(a)

0x-by

-------sin2a+rxvcos2a

于是，由上述二式得到一圓方程:

(b)

據(jù)此，假設(shè)b,、%,、則在以。為橫坐標(biāo)，T為縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫出

一個(gè)圓，其圓心為（生要,0）,半徑為“X[[+Wy。圓周上一點(diǎn)的坐標(biāo)就代表單元

體一個(gè)斜截面上的應(yīng)力。因此，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓，

②應(yīng)力圓的畫法

在外、by及rxy，作相應(yīng)應(yīng)力圓時(shí)，先在7坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，以（G，%）、

（by,-人》,）為坐標(biāo)確定不（對應(yīng)X面）、y（對應(yīng)y面）兩點(diǎn)，（在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)

力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時(shí)鐘轉(zhuǎn)向90。后的方向一致時(shí)為正）。然后直線連接X、

y兩點(diǎn)交。軸于。點(diǎn)，并以。點(diǎn)圓心，以鼻或3為半徑畫圓，此圓就是應(yīng)力圓。

③幾種對應(yīng)關(guān)系

應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對應(yīng)關(guān)系：

1）點(diǎn)面對應(yīng)

應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)對應(yīng)單元體某一方面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖上的〃點(diǎn)的

坐標(biāo)即為斜截面。面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

2）轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)

應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對應(yīng)地，斜截面外法線亦沿一樣方向

旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對應(yīng)。

3）二倍角對應(yīng)

應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因?yàn)椋趩卧w中，

外法線與x軸間夾角相差180。的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360。時(shí)才能為

同一點(diǎn)。

7.3空間應(yīng)力下的應(yīng)力分析

在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問題。例如，在地層的,定深度處的單元體，在地應(yīng)

力作用下便是處于三向應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，

也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的，

本節(jié)只討論三個(gè)主應(yīng)力5均的三向應(yīng)力狀態(tài)，對于單兀體各面上既有止應(yīng)力，

又有切應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)，可以用彈性力學(xué)方法求得這三個(gè)主應(yīng)力。對于材料力學(xué)中的問

題，可以用9.2節(jié)的方法以求得三個(gè)主應(yīng)力巧、6及6。

對于圖示三個(gè)主應(yīng)力的主單體，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平

行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力③的方向面上，可視為只有

和。3作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力。2的方向面上可視為只有③和火作用的平

面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力內(nèi)的方向面上，可視為只有6和6作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并

可繪出圖（b）示三個(gè)應(yīng)力圖，并稱為三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓，用彈性力學(xué)方法可以證明，主

單元體中任意斜截面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，必位于以這三個(gè)應(yīng)力圓為界的陰影區(qū)內(nèi)。

由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為：

°max=6,bmin=

而最大切應(yīng)力為

上兩式也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。

7.4廣義胡克定律

1、廣義胡克定律

在三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體同時(shí)受到主應(yīng)力力、6及。3作用，如以以下圖。這時(shí)，

我們把沿單元體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變，習(xí)慣上分別用J、G及￡3來表示。對于

連續(xù)均質(zhì)各向同性級彈性材料，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)，視為三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)疊加來求主應(yīng)

變。在6單獨(dú)作用下，沿主應(yīng)力6、6及6方向的線應(yīng)變分別為：

~E~E

式中E、I，為材料的彈性模量及泊松比。

同理，在內(nèi)和。3單獨(dú)作用時(shí)，上述應(yīng)變分別為:

LT

「昨3",.。

/一E與一下*r3一下

將同方向的線應(yīng)變置加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中的6、＜72及。3均以代數(shù)值代入，求出的主應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L，負(fù)值表示縮短。

如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應(yīng)力b-%,、,和切應(yīng)力7xy=%x

Gz。單元體除了沿Ky及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變以、外及4外，還在三個(gè)坐

標(biāo)面"、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變/yz及，zx。

由理論證明及實(shí)驗(yàn)證實(shí)，對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應(yīng)力不會引起切應(yīng)變,

切應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)。于是，線應(yīng)變可以按推導(dǎo)

式(9.10)的方法求得，而切應(yīng)變可以利用剪切胡克定律得到，最后有

上兩式稱為廣義胡克定律。式中。為剪切彈性模量。色”及G均為與材料有關(guān)的彈性常數(shù),

但三者這中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以證明這三個(gè)常數(shù)之間存在著如下關(guān)系：

2、體應(yīng)變

體應(yīng)變乂稱體積應(yīng)變，是指在應(yīng)力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設(shè)單元體各棱邊

的變形前長度分別為dx、dy和dz,變形前的單元體體積便為

在三向應(yīng)力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長度將分別為(l+j)dx、(l+￡2)dy及

(1+￡3)dz,因此，變形后主單元體的體積為

因