第十四章 整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十四章整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）1.理解并掌握同底數(shù)冪的乘法．2.理解并掌握乘法公式的基本運算．3.理解并掌握因式分解．一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負(fù)號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.四、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.五、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.六、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：九、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.十、補充公式；；；.十一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.十二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯誤.十四、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.十五、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【考點一同底數(shù)冪相乘】例題：（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．掌握同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．【詳解】解：．故選：A．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，正確使用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加是關(guān)鍵．2．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算法則計算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算法則計算即可?！驹斀狻浚?）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪相乘的計算，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同時涉及到多重負(fù)號的化簡，看“”號的個數(shù)決定運算結(jié)果的符號，奇負(fù)偶正．【考點二同底數(shù)乘法的逆用】例題：（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期中）若，則．【答案】【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，，則．【答案】6【分析】把原式化為，再代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：6【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆運算，熟記運算公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谀┮阎?，，則的值為．【答案】8【分析】根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運算，熟知是解題的關(guān)鍵．【考點三冪的乘方運算】例題：（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）計算．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方進(jìn)行計算即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查冪的乘方，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南京·七年級南京市百家湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法可進(jìn)行求解．【詳解】解：；故答案為．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）化簡：（1）；（2）．【答案】【分析】（1）利用冪的乘方運算法則進(jìn)行計算即可；（2）利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法運算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：．【點睛】本題主要考查了冪的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪乘法運算法則．【考點四冪的乘方的逆用】例題：（2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）如果，則．【答案】3【分析】根據(jù)公式，得，代入計算即可．【詳解】∵，，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方的逆運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期中）若，，則．【答案】18【分析】利用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方逆運算法則解答即可．【詳解】解：；故答案為：18．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，熟練掌握運算法則、正確變形是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·七年級校聯(lián)考期中）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的乘法的逆用的運算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，，，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的乘法逆用，熟練掌握它們的運算法則是解題的關(guān)鍵．【考點五積的乘方運算】例題：（2023春·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方運算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方計算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了積的乘方計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·七年級單元測試）計算：．【答案】【分析】先計算冪的乘方和積的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后合并．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算，涉及了冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則．【考點六積的乘方的逆用】例題：（2023春·江蘇揚州·七年級?？计谀┯嬎愕慕Y(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方的運算法則及同底數(shù)冪乘法的運算法則即可解答．【詳解】解：，故答案為；【點睛】本題考查了積的乘方、冪的乘方，同底數(shù)冪相乘，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西撫州·七年級南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】先把原式變形為，再利用積的乘方的法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對積的乘方的法則的掌握與靈活運用．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級?？茧A段練習(xí)）若，，則代數(shù)式的值是．【答案】1【分析】運用乘的乘方逆運算法則對進(jìn)行變形，再將a，b的值代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式故答案為：1【點睛】本題考查了積的乘方逆運算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運算法則．【考點七同底數(shù)冪的除法】例題：（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）計算的結(jié)果是.【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法運算后直接得出答案．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，熟練掌握這一運算法則或公式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）計算：．【答案】【分析】先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減即可解答．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相除、乘方等知識點，正確運用同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）故答案為：．（2），故答案為：．（3），故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪的除法的運算法則是解題的關(guān)鍵．【考點八同底數(shù)冪除法的逆用】例題：（2023春·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┤簦?，則的值是．【答案】27【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，可得答案．【詳解】解：∵，，∴，，，．故答案為：27．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，熟記法則并根據(jù)法則計算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）若，，則．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則和冪的乘方變形，代入運算即可．【詳解】解：∵，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握運算法則的逆用．2．（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）已知，，，則．【答案】4【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除的逆運算把所求式子變形，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除的逆運算，解題關(guān)鍵是結(jié)合已知把所求式子適當(dāng)變形，用冪的運算求解．【考點九計算單項式乘單項式】例題：（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方及單項式乘以單項式運算法則，進(jìn)行運算，即可求得結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了積的乘方及單項式乘以單項式運算法則，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單項式乘以單項式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，熟練掌握單項式乘以單項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】/【分析】根據(jù)單項式的乘法法則計算即可．【詳解】原式=，故答案為：【點睛】本題考查單項式的乘法，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．【考點十利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）已知單項式與的積為，那么、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照單項式乘單項式計算單項式與的積，再根據(jù)單項式與的積為，即可求得答案．【詳解】解：∵，單項式與的積為，∴，，故選：B【點睛】此題考查了單項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級課時練習(xí)）若，則的值分別為（）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2【答案】B【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則將原式變形為，從而得到7n=14，2+k=5，可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴7n=14，2+k=5，∴n=2，k=3，故選B．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若單項式和3xy的積為，則ab的值為（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【答案】B【分析】根據(jù)單項式乘單項式的計算法則求出a，b，計算ab即可．【詳解】解：×3xy＝＝，∴a+1＝5，b+1＝6，解得a＝4，b＝5，∴ab＝4×5＝20，故選：B．【點睛】此題考查了單項式乘單項式，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘單項式的運算法則．【考點十一計算單項式乘多項式】例題：（2023春·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】/【分析】直接利用單項式與多項式相乘的運算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了單項式乘多項式，單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)單項式乘以多項式的法則，將單項式與多項式的每一項相乘，即可得解．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題主要考查單項式乘以多項式的運算法則，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則．2．（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】將多項式拆開，化成最簡形式，式子從最高冪到最低冪，計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，化成最簡形式求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵．【考點十二利用單項式乘多項式求字母的值】例題：（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知中不含x的二次項，則．【答案】【分析】首先利用單項式乘以多項式去括號，進(jìn)而得出的系數(shù)為0，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵中不含x的二次項，∴中，，解得：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級課時練習(xí)）若的結(jié)果中不含項，則．【答案】0【分析】先利用單項式乘以多項式的法則計算，根據(jù)結(jié)果中不含x4項即可確定出a的值．【詳解】解：，由結(jié)果中不含x4項，得到-5a=0，即a=0，故答案為：0．【點睛】此題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．注意當(dāng)要求多項式中不含有哪一項時，應(yīng)讓這一項的系數(shù)為0．2．（2023春·七年級課時練習(xí)）若恒成立，則．【答案】-4【分析】去括號先根據(jù)合并同類項法則化簡，根據(jù)已知找對應(yīng)的單項式的系數(shù)相同即可得到答案．【詳解】解：，恒成立，，，，，，，所以．故答案為：-4．【點睛】本主要考查整式的乘法和合并同類項法則，明確化簡前后單項式的系數(shù)相同是解決問題的關(guān)鍵．【考點十三單項式乘多項式的應(yīng)用】例題：（2023春·貴州六盤水·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，大小兩個正方形邊長分別為、．

(1)用含、的代數(shù)式陰影部分的面積；(2)若，求陰影部分面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用面積作差即可求解；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出，的值，再將其代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴【點睛】本題主要考查列代數(shù)式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，單項式乘以多項式，根據(jù)圖形正確表示出陰影部分的面積是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）王老師家買了一套新房，其結(jié)構(gòu)如圖所示（單位：）．他打算將臥室鋪上木地板，其他地方鋪地磚．(1)木地板和地磚分別需要多少平方米？(2)如果地磚的價格為每平方米x元，木地板的價格為每平方米元，那么王老師需要花多少錢？【答案】(1)木地板需要平方米，地磚需要平方米(2)王老師需要花元【分析】（1）根據(jù)長方形面積公式分別求出臥室的面積，廚房、衛(wèi)生間和客廳的面積之和即可得到答案；（2）根據(jù)花費單價面積進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：臥室的面積是：（平方米），廚房、衛(wèi)生間和客廳的面積之和為（平方米）∴木地板需要平方米，地磚需要平方米；（2）解：（元）∴王老師需要花元．【點睛】本題主要考查了單項式乘以多項式和單項式乘以單項式的實際應(yīng)用，正確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北唐山·七年級唐山市第十二中學(xué)校考期末）如圖，將邊長為的小正方形和邊長為的大正方形放在同一平面上．(1)用、表示陰影部分的面積______．（寫最簡結(jié)果）(2)計算當(dāng)，時，陰影部分面積．(3)試著說明：白色部分面積與的大小無關(guān)．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）分別求出兩個三角形面積，即可得出答案；（2）把、的值代入，即可求得答案．（3）根據(jù)題意表示出白色部分的面積即可求解．【詳解】（1）解：圖中陰影部分的面積：．（2）解：當(dāng)，時，陰影部分的面積為：（3）解：白色部分的面積為．∴白色部分面積與的大小無關(guān)．【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值和列代數(shù)式，整式的加減，能正確表示出陰影部分的面積是解此題的關(guān)鍵．【考點十四計算多項式乘多項式】例題：（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】．【分析】根據(jù)單項式乘以多項式、多項式乘以多項式運算法則即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查單項式乘以多項式、多項式乘以多項式運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握法則，正確計算．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）利用多項式的乘法法則即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查多項式的乘法法則，用多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再進(jìn)行合并同類項運算；（3）式計算中注意觀察，運用整體思想，會使計算變得簡單．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．（2）直接利用多項式乘以多項式運算法則、單項式乘多項式運算法則計算得出答案．（3）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．（4）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【點睛】本題考查了整式的乘法，掌握其計算法則是解題的關(guān)鍵．【考點十五(x+p)(x+q)型多項式乘法】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解；（4）根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）探索題：(1)計算：＝，＝，＝；(2)發(fā)現(xiàn)：＝；并證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）利用多項式乘多項式的運算法則進(jìn)行計算．（2）利用（1）中的計算結(jié)果得出結(jié)論，再利用多項式乘多項式的運算法則進(jìn)行證明．【詳解】（1）解：．．．故答案分別為：．（2）解：．證明如下：．【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，還考查了整式乘法的計算規(guī)律問題的處理能力，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確利用整式乘法法則進(jìn)行計算和歸納．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）在運算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學(xué)公式，一定會提高解題的速度．在解答下列問題中，請?zhí)骄科渲械囊?guī)律．(1)計算后填空：_________；_________；_________；(2)歸納猜想后填空：____________(3)運用（2）中得到的結(jié)論，直接寫出計算結(jié)果：______．【答案】(1)；；(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果得出規(guī)律即可；（3）根據(jù)得出即可．【詳解】（1）故答案為：；；．（2）故答案為：，．（3）故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．【考點十六多項式乘多項式——化簡求值】例題：（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，5【分析】根據(jù)整式的混合運算法則先化簡，再將代入求值．【詳解】∵∴原式．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及其求值，正確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)整式的運算法則，將代數(shù)式化成最簡形式，將字母值代入求解．【詳解】解：原式．當(dāng)時，原式【點睛】本題考查整式的運算，求代數(shù)式值，掌握法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)單項式乘多項式和多項式乘多項式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．【類型十七利用乘法公式進(jìn)行簡便運算】例題：（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式變形為，然后利用平方差公式求解即可；（2）把原式變形為，然后利用完全平方公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京海淀·七年級?？计谀┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥坷猛耆椒焦竭M(jìn)行變型，計算即可．【詳解】．【點睛】本題考查對完全平方公式的靈活應(yīng)用能力，當(dāng)所求的式子有三項，且滿足完全平方公式的特點，運用完全平方公式進(jìn)行求值可簡化運算．2．（2023春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)9999(2)400【分析】（1）根據(jù)平方差公式簡化運算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式簡化運算即可．【詳解】（1）；（2）．【點睛】本題考查了平方差公式，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川成都·七年級校考階段練習(xí)）用簡便方法計算．(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)【分析】（1）先變形，再利用完全平方公式展開計算；（2）先變形為，再利用平方差公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式將原式化為即可；（4）配上因式，連續(xù)使用平方差公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．【類型十八利用乘法公式的變式求值】例題：（2023春·湖南懷化·七年級?？计谥校┮阎?，．(1)求；(2)求．【答案】(1)9(2)1【分析】（1）先運用完全平方公式分別計算，然后聯(lián)立即可解答；（2）先運用完全平方公式分別計算，然后聯(lián)立即可解答．【詳解】（1）解：①，②則得：，解得．（2）解：①，②則得：，解得．【點睛】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·廣東深圳·七年級?？计谥校┮阎?，，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將已知完全平方公式展開，再代入計算即可得到答案；（2）將所求完全平方式展開后，整體代入計算可得答案．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學(xué)?？计谀┮阎?，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，再根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（2）先算出的值，再根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計算，得到答案．【詳解】（1）解：，，，；（2），，．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及平方差公式和完全平方公式運算的應(yīng)用，算出和的值代入變形的原式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧沈陽·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，，求：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）原式變形為，然后把，，代入計算即可求出結(jié)果．（2）變形為，然后把，，代入計算即可求出平方根即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式，求一個數(shù)的平方根，熟練地運用公式進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．【類型十九提多項式的公因式的因式分解法】例題：（2023秋·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解