蘇教版五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題第三單元：因數(shù)與倍數(shù)·核心素養(yǎng)·創(chuàng)新題型專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第三單元：因數(shù)與倍數(shù)·核心素養(yǎng)·創(chuàng)新題型專項(xiàng)練習(xí)一、填空題。1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇數(shù)的和是M，所有質(zhì)數(shù)的和是N，所有偶數(shù)的和是P，所有合數(shù)的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝()。2．規(guī)定一個(gè)新運(yùn)算：對于不小于3的整數(shù)n，（n）表示n的因數(shù)個(gè)數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以（5）＝2；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，請你在理解這種新運(yùn)算的基礎(chǔ)上，求（6）＋（24）＝()。3．定義運(yùn)算“△”：對于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為。例如：。根據(jù)上面定義的運(yùn)算，則()。4．A是一個(gè)自然數(shù)，如果從A中依次減去1，3，5…。若干個(gè)連續(xù)單數(shù)（奇數(shù)），直到不夠減時(shí)為止，那么還剩下25；如果從A中依次減去2，4，6…。若干個(gè)連續(xù)雙數(shù)（偶數(shù)），直到不夠減時(shí)為止，那么還剩下9.自然數(shù)A等于()。5．一個(gè)數(shù)列有如下規(guī)則：當(dāng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，下一個(gè)數(shù)是；當(dāng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，下一個(gè)數(shù)是。如果這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，第四個(gè)數(shù)是，則這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)是()。6．一個(gè)運(yùn)算程序，運(yùn)算規(guī)則如圖，如果輸入23，那么結(jié)果是()；如果輸入了一個(gè)數(shù)，結(jié)果是66，那么這個(gè)數(shù)是()。二、選擇題。7．如果“數(shù)”、“學(xué)”代表不同的質(zhì)數(shù)，且滿足關(guān)系式：3×數(shù)＋5×學(xué)＝31，那么數(shù)＋學(xué)的結(jié)果可能是()。A．3 B．5 C．98．著名的“哥德巴赫猜想”認(rèn)為：任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。下面的四個(gè)算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是()。A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋219．2300年前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明了素?cái)?shù)（也就是質(zhì)數(shù)）有無限多個(gè)，提出少量素?cái)?shù)可以寫成“2p－1”的形式，這里的p也是一個(gè)素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)有許多獨(dú)特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行研究和探索。17世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家馬林·梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2p－1”型的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)。下面4個(gè)數(shù)中，()是梅森素?cái)?shù)。（注：2p表示p個(gè)2相乘）A．1 B．7 C．15 D．1710．古希臘學(xué)者認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）相加之和，那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如6有4個(gè)因數(shù)1，2，3，6，除本身6以外，還有1，2，3三個(gè)因數(shù)。，所以6是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是()。A．10 B．12 C．16 D．2811．學(xué)校舉行“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)。其中有個(gè)非常有趣的比賽，要求選手們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，從最小的質(zhì)數(shù)開始，按從小到大的順序?qū)戀|(zhì)數(shù)，中間不允許跳過任何一個(gè)質(zhì)數(shù)，最后每人把自己寫出來的質(zhì)數(shù)相乘求積。其中A、B、C、D四名選手經(jīng)裁判組核定，他們寫的質(zhì)數(shù)都符合比賽要求。以下分別是他們算出的積，然而只有一人計(jì)算正確，那么正確的是()。A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698三、解答題。12．對大于0的自然數(shù)n規(guī)定一種運(yùn)算“G”：①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，等于n連續(xù)被2除，直到商是奇數(shù)。將k次“G”運(yùn)算記作，如，，。計(jì)算：（1）的值；（2）的值：（3）的值。13．某手機(jī)游戲規(guī)則如下：玩家手中有風(fēng)、火、水、土四種技能，每個(gè)技能發(fā)動(dòng)一次都能使敵人血量減少一定的點(diǎn)數(shù)。具體效果如下：風(fēng)技能每次130點(diǎn)，火技能每次170點(diǎn)，水技能每次78點(diǎn)，土技能每次104點(diǎn)，如果每個(gè)技能發(fā)動(dòng)的次數(shù)都大于1，那么當(dāng)敵人的血量減少3600點(diǎn)時(shí)，火技能發(fā)動(dòng)了多少次？14．國王帶著、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅館，可只有三間房。國王自己要住一間，剩下的兩間房都能住三個(gè)人，一間是奇數(shù)房，只能住奇數(shù)；一間是質(zhì)數(shù)房，只能住質(zhì)數(shù)。結(jié)果六位大臣商量著竟然吵了起來。大臣說：“我是質(zhì)數(shù)，我應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”大臣說：“不對，你是奇數(shù)，我才應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”他們鬧得不可開交，最后只好請國王來評判?？蓢跻粫r(shí)之間也不知道該怎么安排。同學(xué)們，你們能幫助他們嗎？你們能夠設(shè)計(jì)幾種不同的住法呢？15．下表是一個(gè)未完成的奇數(shù)乘法表，除第一行和第一列外，表中的數(shù)字為所在行和列的第一個(gè)數(shù)的乘積，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇數(shù)乘法表中所有數(shù)之和。16．我們知道，每個(gè)自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個(gè)自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)。把一個(gè)自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標(biāo)”．如10的“完美指標(biāo)”是（1+2+5）÷10=。一個(gè)自然數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，我們就說這個(gè)數(shù)越“完美”．如8的“完美指標(biāo)”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?，所以我們說8比10更完美。（1）試分別計(jì)算5、6、9的“完美指標(biāo)”；（2）試找出比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)。17．先完成下面的計(jì)算，再探索規(guī)律，回答問題前2個(gè)奇數(shù)的和：1＋3＝()前3個(gè)奇數(shù)的和：1＋3＋5＝()前4個(gè)奇數(shù)的和：1＋3＋5＋7＝()前5個(gè)奇數(shù)的和：1＋3＋5＋7＋9＝()……（1）前9個(gè)奇數(shù)的和是()，前40個(gè)奇數(shù)的和是()。（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）（2）自然數(shù)中，按奇數(shù)從小到大的順序，前N個(gè)奇數(shù)的和是多少？（用字母N表示）（3）利用上面的規(guī)律，前2017個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？并求出這個(gè)和。2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第三單元：因數(shù)與倍數(shù)·核心素養(yǎng)·創(chuàng)新題型專項(xiàng)練習(xí)一、填空題。1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇數(shù)的和是M，所有質(zhì)數(shù)的和是N，所有偶數(shù)的和是P，所有合數(shù)的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝()。【答案】1【分析】在這些數(shù)中，所有偶數(shù)與所有奇數(shù)合起來就包含了所有的數(shù)；1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所有質(zhì)數(shù)與所有合數(shù)合起來包含了除1以外的所有數(shù)；所以可得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，據(jù)此解答即可。【詳解】根據(jù)分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，所以（M＋P）－（N＋Q）＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n）＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n）＝1＋0＝1【點(diǎn)睛】此題主要考查奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的定義以及分類標(biāo)準(zhǔn)來解決問題。2．規(guī)定一個(gè)新運(yùn)算：對于不小于3的整數(shù)n，（n）表示n的因數(shù)個(gè)數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以（5）＝2；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，請你在理解這種新運(yùn)算的基礎(chǔ)上，求（6）＋（24）＝()?！敬鸢浮?2【分析】由題意可知，（n）表示n的因數(shù)個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，就用這個(gè)數(shù)從1開始去整除，一直除到除數(shù)和商交換位置或除數(shù)和商相同為止，除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，重復(fù)的因數(shù)只寫一個(gè)，求出6和24的因數(shù)個(gè)數(shù)，再求出（6）＋（24）的值，據(jù)此解答。【詳解】6÷1＝66÷2＝36的因數(shù)有1，2，3，6，一共4個(gè)因數(shù)。24÷1＝2424÷2＝1224÷3＝824÷4＝624的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，24，一共8個(gè)因數(shù)。所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12?！军c(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，掌握求一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法是解答題目的關(guān)鍵。3．定義運(yùn)算“△”：對于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為。例如：。根據(jù)上面定義的運(yùn)算，則()?！敬鸢浮?31【分析】根據(jù)題意，求得57和12的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，然后把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相加即要?！驹斀狻?7＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因數(shù)是：357和12的最小公倍數(shù)是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義的新運(yùn)算，找出運(yùn)算方法，列式解答即可。4．A是一個(gè)自然數(shù)，如果從A中依次減去1，3，5…。若干個(gè)連續(xù)單數(shù)（奇數(shù)），直到不夠減時(shí)為止，那么還剩下25；如果從A中依次減去2，4，6…。若干個(gè)連續(xù)雙數(shù)（偶數(shù)），直到不夠減時(shí)為止，那么還剩下9.自然數(shù)A等于()。【答案】281【解析】每減一個(gè)偶數(shù)比減一個(gè)奇數(shù)多減1，對比最后剩下的兩個(gè)數(shù)25和9，9比25小16，那么減了16個(gè)奇數(shù)或偶數(shù)，然后從1加到第16個(gè)奇數(shù)，再加上25，得到A?！驹斀狻克宰匀粩?shù)A等于281?！军c(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是找出兩次操作的區(qū)別，重點(diǎn)是兩次操作最后得到的數(shù)為什么會相差16。5．一個(gè)數(shù)列有如下規(guī)則：當(dāng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，下一個(gè)數(shù)是；當(dāng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，下一個(gè)數(shù)是。如果這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，第四個(gè)數(shù)是，則這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)是()。【答案】43【分析】第四個(gè)數(shù)是11，那么第三數(shù)如果是偶數(shù)就是22，第三個(gè)數(shù)如果是奇數(shù)是不可能的；同理，用倒推法可以求出第二個(gè)數(shù)、第一個(gè)數(shù)?！驹斀狻?1是奇數(shù)，那么第三個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)；第三數(shù)是22，22的前一個(gè)數(shù)可以是偶數(shù)44或奇數(shù)21；44的前一個(gè)是可以是偶數(shù)88或奇數(shù)43，而21的前一個(gè)只能是偶數(shù)42；由于這列數(shù)的第一個(gè)是奇數(shù)，所以只有43滿足；故這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)是43。【點(diǎn)睛】本題考查的是還原問題，也可以把第一個(gè)數(shù)設(shè)為a，然后表示出第四個(gè)數(shù)，求解出a的值。6．一個(gè)運(yùn)算程序，運(yùn)算規(guī)則如圖，如果輸入23，那么結(jié)果是()；如果輸入了一個(gè)數(shù)，結(jié)果是66，那么這個(gè)數(shù)是()?！敬鸢浮?3132【分析】23是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以運(yùn)行的算法為；由于只知道結(jié)果是66，所以讓和這兩個(gè)算式都等于66，再分別計(jì)算出A，看A是否符合各自運(yùn)算程序的條件，即，，8是合數(shù)，不符合相對應(yīng)的運(yùn)算程序的條件“A是質(zhì)數(shù)”；，，32是合數(shù)，符合相對應(yīng)的運(yùn)算程序的條件“A是合數(shù)”，所以這個(gè)數(shù)是32?！驹斀狻?32＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，由題意得：x2＋2＝66x2＝64x＝88是合數(shù)，不符合題意。解：設(shè)這個(gè)數(shù)為y，由題意得：2y＋2＝662y＝64y＝3232是合數(shù)，符合題意?！军c(diǎn)睛】首先判斷所輸入的數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，然后依照程序的規(guī)則計(jì)算出結(jié)果即可；因?yàn)橹恢澜Y(jié)果為66，并不知道輸入的原數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，故要依據(jù)規(guī)則列兩個(gè)方程，解答后再做判斷。二、選擇題。7．如果“數(shù)”、“學(xué)”代表不同的質(zhì)數(shù)，且滿足關(guān)系式：3×數(shù)＋5×學(xué)＝31，那么數(shù)＋學(xué)的結(jié)果可能是（

）。A．3 B．5 C．9【答案】C【分析】除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)。因?yàn)椤皵?shù)”、“學(xué)”代表不同的質(zhì)數(shù)，根據(jù)奇偶性，如果質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，左邊應(yīng)該是和為偶數(shù)，事實(shí)上31是奇數(shù)，所以必然有一個(gè)質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，只能是2，所以，顯然有：數(shù)＝2，學(xué)＝5或者數(shù)＝7，學(xué)＝2，則和為7或9。【詳解】3×2＋5×5＝6＋25＝313×7＋5×2＝21＋10＝312＋5＝77＋2＝9數(shù)＋學(xué)的結(jié)果可能是7或9。故答案為：C8．著名的“哥德巴赫猜想”認(rèn)為：任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。下面的四個(gè)算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是（

）。A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21【答案】C【分析】在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。據(jù)此解答?！驹斀狻緼．7＝2＋57是奇數(shù)，7＝2＋5不符合“哥德巴赫猜想”；B．6＝1＋51既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，6＝1＋5不符合“哥德巴赫猜想”；C．22＝3＋1922是偶數(shù)，3和19是質(zhì)數(shù)，所以22＝3＋19符合“哥德巴赫猜想”；D．24＝3＋2121是合數(shù)，所以24＝3＋21不符合“哥德巴赫猜想”。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的認(rèn)識和應(yīng)用。9．2300年前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明了素?cái)?shù)（也就是質(zhì)數(shù)）有無限多個(gè)，提出少量素?cái)?shù)可以寫成“2p－1”的形式，這里的p也是一個(gè)素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)有許多獨(dú)特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行研究和探索。17世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家馬林·梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2p－1”型的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)。下面4個(gè)數(shù)中，（

）是梅森素?cái)?shù)。（注：2p表示p個(gè)2相乘）A．1 B．7 C．15 D．17【答案】B【分析】一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。根據(jù)題意，先分析四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，再看質(zhì)數(shù)是否能寫成“2p－1”的形式，且p也是質(zhì)數(shù)，即可找出梅森素?cái)?shù)?！驹斀狻緼．1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，不符合梅森素?cái)?shù)的特征；B．7是質(zhì)數(shù)，7＝8－1＝23－1，符合梅森素?cái)?shù)的特征；C．15是合數(shù)，不符合梅森素?cái)?shù)的特征；D．17是質(zhì)數(shù)，但17不能寫成“2p－1”的形式，不符合梅森素?cái)?shù)的特征。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查質(zhì)數(shù)的意義以及梅森素?cái)?shù)的特征。10．古希臘學(xué)者認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）相加之和，那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如6有4個(gè)因數(shù)1，2，3，6，除本身6以外，還有1，2，3三個(gè)因數(shù)。，所以6是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是（

）。A．10 B．12 C．16 D．28【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，把每個(gè)選項(xiàng)的因數(shù)都寫出來，再相加，看看是否符合“完全數(shù)”的規(guī)律。【詳解】A．10的因數(shù)有：1、10、2、5。1＋2＋5＝810不是“完全數(shù)”。B．12的因數(shù)有：1、12、2、6、3、41＋2＋3＋4＋6＝1612不是“完全數(shù)”。C．16的因數(shù)有：1、16、2、8、41＋2＋4＋8＝1516不是“完全數(shù)”。D．28的因數(shù)有：1、28、2、14、4、71＋2＋4＋7＋14＝2828是“完全數(shù)”。故答案為：D【點(diǎn)睛】熟練掌握“完全數(shù)”的概念特征，是解決本題的關(guān)鍵。11．學(xué)校舉行“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)。其中有個(gè)非常有趣的比賽，要求選手們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，從最小的質(zhì)數(shù)開始，按從小到大的順序?qū)戀|(zhì)數(shù)，中間不允許跳過任何一個(gè)質(zhì)數(shù)，最后每人把自己寫出來的質(zhì)數(shù)相乘求積。其中A、B、C、D四名選手經(jīng)裁判組核定，他們寫的質(zhì)數(shù)都符合比賽要求。以下分別是他們算出的積，然而只有一人計(jì)算正確，那么正確的是（

）。A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698【答案】B【分析】一個(gè)自然數(shù)如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；從小到大的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17?，因?yàn)?×5＝10，所以無論有多少個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，它的積的個(gè)位數(shù)字一定是0，再結(jié)合選項(xiàng)選擇即可。【詳解】由分析可知：只有B項(xiàng)的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是0，所以510510是正確的。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查質(zhì)數(shù)，明確質(zhì)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。三、解答題。12．對大于0的自然數(shù)n規(guī)定一種運(yùn)算“G”：①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，等于n連續(xù)被2除，直到商是奇數(shù)。將k次“G”運(yùn)算記作，如，，。計(jì)算：（1）的值；（2）的值：（3）的值。【答案】（1）；（2）；（3）4【分析】首先正確理解新定義的算式的含義，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，按照3n＋1來計(jì)算；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，按照n連續(xù)被2除計(jì)算，直到商是奇數(shù)。然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算?！驹斀狻浚?）答：的值為6064。（2）答：的值為34。（3）從開始，計(jì)算結(jié)果是1和4循環(huán)，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以。答：的值為4?！军c(diǎn)睛】解答定義新運(yùn)算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式的含義。13．某手機(jī)游戲規(guī)則如下：玩家手中有風(fēng)、火、水、土四種技能，每個(gè)技能發(fā)動(dòng)一次都能使敵人血量減少一定的點(diǎn)數(shù)。具體效果如下：風(fēng)技能每次130點(diǎn)，火技能每次170點(diǎn)，水技能每次78點(diǎn)，土技能每次104點(diǎn)，如果每個(gè)技能發(fā)動(dòng)的次數(shù)都大于1，那么當(dāng)敵人的血量減少3600點(diǎn)時(shí)，火技能發(fā)動(dòng)了多少次？【答案】12次【解析】觀察發(fā)現(xiàn)，130、78、104都是13的倍數(shù)，設(shè)風(fēng)、火、水、土四種技能用的次數(shù)分別是a、b、c、d，可以得到方程，求解這個(gè)不定方程即可。【詳解】解：設(shè)風(fēng)、火、水、土四種技能用的次數(shù)分別是a、b、c、d；根據(jù)余數(shù)的性質(zhì)，130a、78c、104d除以13，余數(shù)是0，3600除以13，余數(shù)是12，那么要求170b除以13，余數(shù)是12；當(dāng)a＝2，b＝12，c＝6，d＝8時(shí)符合要求；答：火技能發(fā)動(dòng)了12次?！军c(diǎn)睛】本題考查的是不定方程，求解不定方程時(shí)可以根據(jù)余數(shù)的性質(zhì)、奇偶性進(jìn)行分析。14．國王帶著、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅館，可只有三間房。國王自己要住一間，剩下的兩間房都能住三個(gè)人，一間是奇數(shù)房，只能住奇數(shù)；一間是質(zhì)數(shù)房，只能住質(zhì)數(shù)。結(jié)果六位大臣商量著竟然吵了起來。大臣說：“我是質(zhì)數(shù)，我應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”大臣說：“不對，你是奇數(shù)，我才應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”他們鬧得不可開交，最后只好請國王來評判?？蓢跻粫r(shí)之間也不知道該怎么安排。同學(xué)們，你們能幫助他們嗎？你們能夠設(shè)計(jì)幾種不同的住法呢？【答案】種【分析】首先，在題目里1大臣所說的是錯(cuò)誤的，而3大臣所說的是正確的；所有大臣都可以住奇數(shù)房，但只有3、5、7、11四位大臣可以住在質(zhì)數(shù)房?！驹斀狻克械牧淮蟪级伎梢匀プ∑鏀?shù)房，但只有、、、四位大臣可以住在質(zhì)數(shù)房。所以，例如、、住奇數(shù)房，、、住質(zhì)數(shù)房的安排方法就是正確的。由前面的分析，、必須住在奇數(shù)房，所以另外四個(gè)數(shù)中任何一個(gè)也住進(jìn)奇數(shù)房，都是一種住法，那么一共有種不同的住法。答：能夠設(shè)計(jì)4種不同的住法?！军c(diǎn)睛】按照非零自然數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，可以將非零自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1，其中1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。15．下表是一個(gè)未完成的奇數(shù)乘法表，除第一行和第一列外，表中的數(shù)字為所在行和列的第一個(gè)數(shù)的乘積，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇數(shù)乘法表中所有數(shù)之和?！敬鸢浮?0000【分析】表中的每一個(gè)數(shù)是其所在行對應(yīng)的數(shù)乘所在列對應(yīng)的數(shù)，第一列的所有數(shù)之和是1的1倍至19倍之和，第二列是3的1倍至19倍之和，最后一列是19的1倍至19倍之和，相加得到總和?！驹斀狻看穑浩鏀?shù)乘法表中所有數(shù)之和是10000?！军c(diǎn)睛】本題也可以找規(guī)律求解，表中從左上角開始的2×2的方格中的所有數(shù)之和是4的平方，3×3的方格中的所有數(shù)之和是9的平方，依此類推。16．我們知道，每個(gè)自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個(gè)自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個(gè)自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標(biāo)”．如10的“完美指標(biāo)”是（1+2+5）÷10=．一個(gè)自然數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，我們就說這個(gè)數(shù)越“完美”．如8的“完美指標(biāo)”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?，所以我們說8比10更完美．（1）試分別計(jì)算5、6、9的“完美指標(biāo)”；（2）試找出比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)．【答案】，1，；16【詳解】試題分析：（1）根據(jù)定義的新的運(yùn)算意義，分別找出5、6、和9的正因數(shù)，再分別找出它們的真因數(shù)，最后再由“完美指標(biāo)”的意義，列式即可解答；（2）根據(jù)“完美指標(biāo)”的意義知道，自然數(shù)的真因數(shù)越多，此數(shù)越完美；因?yàn)樵?1﹣19的數(shù)中，11、13、17、19是質(zhì)數(shù)，真因數(shù)只有1，所以先排除此三個(gè)數(shù)，再分別