2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圖形的相似

第46頁(yè)（共46頁(yè)）2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圖形的相似一．選擇題（共10小題）1．（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分別為AB、AC上的中點(diǎn)．則AD?A．12 B．14 C．15 2．（2025?合肥一模）把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“類等腰四邊形”．在“類等腰四邊形”ABCD中，∠B＝∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥CD，則下列兩條線段的比值與ABCDA．AEDE B．AECD C．BECE 3．（2025?拱墅區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，若點(diǎn)C（4，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F（12，3），則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：14．（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．5．（2025?武漢模擬）如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝3AE，D為AB中點(diǎn)，EB與DC交于點(diǎn)F，若DB=23，∠ADE＝30°，則A．372 B．27 C．876．（2025?揚(yáng)州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，射線CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AEED=12，AB＝A．2 B．43 C．3 D．7．（2025?茄子河區(qū)一模）如圖，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB邊中點(diǎn)，連結(jié)ED、EC分別和AC、BD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)．下列結(jié)論：①AM＝EN；②S△DOM＝S△CON；③OM：ON＝1：3；④|PB﹣PD|的最大值是3a；⑤PA+PE的最小值是3．其中正確結(jié)論有（）A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤8．（2025?陜西校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC的邊上，且DE∥BC，△ABC的中線AF交DE于點(diǎn)G．若四邊形BDEC的面積與△ADE的面積相等，AG＝1，則FG的長(zhǎng)為（）A．1 B．2-1 C．2 D9．（2025?沈丘縣校級(jí)一模）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，且交AD于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C．DE=74 10．（2025?巴彥縣校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，點(diǎn)G、F在邊BC上，連接DG、EF，AC∥DG∥EF，AF與DG交于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．HGAC=DEAE B．GFBF=DEBE二．填空題（共5小題）11．（2025?鐵西區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且ADBD=12，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為12．（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，E是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、F分別在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，則EF的長(zhǎng)為．13．（2025?青浦區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝．14．（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，且AEAC=12，若S△ADE＝1，則S四邊形BCDE＝15．（2025?賽罕區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，sinA=12，BD⊥AC，垂足為D，按如下步驟作圖：①以A點(diǎn)為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)度m為半徑作??；②以B點(diǎn)為圓心，以同樣大小為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)；③連接EF，直線EF與AC交于點(diǎn)G，則AB與DG的比是三．解答題（共5小題）16．（2025?新鄉(xiāng)模擬）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別是點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）如圖1，連接DG，BE，則DGBE的值為（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊CD上，連接BG交AE于點(diǎn)O，連接BE．①DE的長(zhǎng)度為．②求證：OG＝OB．（3）若直線EB，DG交于點(diǎn)H，當(dāng)BE＝8時(shí)，請(qǐng)直接寫出BH的長(zhǎng)．17．（2025?合肥一模）在△ABC中，AC=215，D為AB上一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠（1）如圖1，求證：AC⊥BC．（2）如圖2，D為AB的中點(diǎn)．（i）求證：CE＝2DF；（ii）若AB＝12，DF＝1，求FGAF18．（2025?方山縣一模）綜合與探究綜合實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們對(duì)“四邊形內(nèi)互相垂直的線段”進(jìn)行了探究，請(qǐng)你從中發(fā)現(xiàn)方法，完成解答．【初步研究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在線段BC，CD上，且AM⊥BN，則AMBN的值為【知識(shí)遷移】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求GHEF【深入探究】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，當(dāng)BDAC=1219．（2025?武漢模擬）問(wèn)題背景如圖（1），在矩形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且AE⊥EF，求證：△ADE∽△ECF．問(wèn)題探究如圖（2），以AE為邊作等邊△AEG，G點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)EF：GF＝2：7的時(shí)候，求△GEF與△AGE的面積之比．問(wèn)題拓展如圖（3），G在BC的延長(zhǎng)線上，連接EG，當(dāng)∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，F(xiàn)G＝20．（2025?高新區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G．求重疊部分（△DCG）的面積．（1）小明經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，寫出如下步驟，請(qǐng)你幫助小明補(bǔ)全依據(jù)及步驟：解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依據(jù)：）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴．∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中點(diǎn)，∴DG為△ACD中位線．∴CG=12AC=12×8＝4∴SDCG=12?CG?DG12×4×（2）“希望”學(xué)習(xí)小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，請(qǐng)解決下列兩個(gè)問(wèn)題：①求證：△AHD∽△ABC；②求出重疊部分（△DGH）的面積．（3）“智慧”小組也不甘落后，提出的問(wèn)題是：如圖3，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，當(dāng)△DMN是以DM為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)重疊部分（△DMN）的面積是．

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圖形的相似參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BDCACCBBCD一．選擇題（共10小題）1．（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分別為AB、AC上的中點(diǎn)．則AD?A．12 B．14 C．15 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】三角形．【答案】B【分析】首先證明出△ADE∽△ABC，得到DEBC【解答】解：∵D、E分別為AB、AC上的中點(diǎn)，∴ADAB又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AD?故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．2．（2025?合肥一模）把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“類等腰四邊形”．在“類等腰四邊形”ABCD中，∠B＝∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥CD，則下列兩條線段的比值與ABCDA．AEDE B．AECD C．BECE 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】證明△ABE∽△DCE，DE＝DC，則可得出答案．【解答】解：如圖，∵AB∥DE，AE∥DC，∴∠B＝∠DEC，∠AEB＝∠C．∵∠B＝∠C，∠B＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DEC＝∠C，∴△ABE∽△DCE，DE＝DC，∴ABCD=BE故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．3．（2025?拱墅區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，若點(diǎn)C（4，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F（12，3），則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出△ABC與△DEF的相似比，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，點(diǎn)C（4，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F（12，3），∴△ABC∽△DEF，且相似比為1：3，∴△ABC的面積與△DEF的面積之比1：9，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4．（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可．【解答】解：在三角形紙片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．A、∵CDAC=24=故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項(xiàng)符合題意；B、∵ADAB故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵BDAB故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵BDBC故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2025?武漢模擬）如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝3AE，D為AB中點(diǎn)，EB與DC交于點(diǎn)F，若DB=23，∠ADE＝30°，則A．372 B．27 C．87【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意得到AE＝DE，BC＝4，AC＝8，如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，EG=33AG=33×3=1，AE＝2EG＝2＝DE，CE＝2AE＝6，如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交CD于點(diǎn)H，可證△CEH∽△CAD，EH=332，再證△EFH∽△BFD，得到EFBF=34，設(shè)EF＝3x，BF＝4x，BE＝【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵∠A＝∠ADE＝30°，∴AE＝DE，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，BD=2∴AD=BD=2∴tan∠∴BC=∴AC＝2BC＝8，如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交CD于點(diǎn)H，∴AG=∴tan∠∴EG=∴AE＝2EG＝2＝DE，∴CE＝2AE＝6，由作圖可知，△CEH∽△CAD，∴CECA∴EH=∵EH∥AD，即EH∥BD，∴△EFH∽△BFD，∴EHBD=EF設(shè)EF＝3x，BF＝4x，∴BE＝EF+BF＝3x+4x＝7x，在Rt△BEG中，EG=1由勾股定理得：BE=∴7x解得，x=∴BF=4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?揚(yáng)州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，射線CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AEED=12，AB＝A．2 B．43 C．3 D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)得AB∥DC，AB＝DC＝6，可證明△AFE∽△DCE，則AFDC=AEED=12【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB∥DC，AB＝DC＝6，∵點(diǎn)F在直線AB上，∴AF∥DC，∴△AFE∽△DCE，∵AEED∴AFDC∴AF=12DC=12故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△AFE∽△DCE是解題的關(guān)鍵．7．（2025?茄子河區(qū)一模）如圖，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB邊中點(diǎn)，連結(jié)ED、EC分別和AC、BD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)．下列結(jié)論：①AM＝EN；②S△DOM＝S△CON；③OM：ON＝1：3；④|PB﹣PD|的最大值是3a；⑤PA+PE的最小值是3．其中正確結(jié)論有（）A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】B【分析】連接MN和PC，根據(jù)四邊形ABCD為菱形以及∠ABC＝60°，可以求出CE，AC，BD以及OA，OC，OB，OD，根據(jù)平行線分線段成比例求出AM和EN即可判斷①，再求出OM和ON可以判斷③，根據(jù)三角形面積公式求出△DOM和△CON的面積即可判斷②，再根據(jù)P，D，B共線，即可求出其差的最大值即為BD，最后根據(jù)對(duì)稱性求出PA+PE最小為CE．【解答】解：連接MN，PC，如圖：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC＝a，∴OA＝OC=12a，OB＝OD=∵E為AB中點(diǎn)，∴AE＝BE=12AB=12a，∴CE=32∴AMCM=AE∴AM=13AC=13a，EN=13CE=36a，∴AM＞EN，故①錯(cuò)誤；∴OM＝AO﹣AM=16a，ON＝OB﹣BN=∴OM：ON＝1：3，故③正確；∴S△DOM=12OM?OD=324a2，S△CON=12ON∴S△DOM＝S△CON，故②正確；∵P，D，B共線，∴|PD﹣PB|≤BD=3a，故④∵BD垂直平分AC，∴PA＝PC，∴當(dāng)P，E，C共線時(shí)，PA+PE最小，∴PA+PE≥CE=32a，故綜上所述，正確的結(jié)論有②③④．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例以及菱形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用菱形的對(duì)稱性是本題解題的關(guān)鍵．8．（2025?陜西校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC的邊上，且DE∥BC，△ABC的中線AF交DE于點(diǎn)G．若四邊形BDEC的面積與△ADE的面積相等，AG＝1，則FG的長(zhǎng)為（）A．1 B．2-1 C．2 D【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】證明△ADE∽△ABC，得(DEBC)2=S△ADES△ABC=12，然后證明△【解答】解：∵△ADE與四邊形DBCE的面積相等，∴S△∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴(DE∴DEBC∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，∴AGAF∵△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AGAF∴1AF∴AF=2∴FG＝AF﹣AG=2-故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2025?沈丘縣校級(jí)一模）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，且交AD于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C．DE=74 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的相似．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后證明△AEO∽△ACD，再代入求值即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，OA=∴AC=AD∵OE⊥AC，∴∠AOE＝∠ADC＝90°，又∵∠EAO＝∠CAD，∴△AEO∽△ACD，故選項(xiàng)A正確，不合題意；∴AEAC即AE5整理得4AE＝5AO，故選項(xiàng)B正確，不合題意；∴AE=54∴DE=AD-故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2025?巴彥縣校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，點(diǎn)G、F在邊BC上，連接DG、EF，AC∥DG∥EF，AF與DG交于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．HGAC=DEAE B．GFBF=DEBE【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】三角形．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)分析即可得解．【解答】解：∵AC∥DG∥EF，∴△FGH∽△FCA，CGBF=AD∴HGAC∵DG∥EF，∴DEAE=HFAF，∴HGAC=DE∵DG∥EF，∴△BEF∽△BDG，∴EFGD=BF故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?鐵西區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且ADBD=12，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為24【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】24．【分析】因?yàn)镈E∥BC，所以可判定△ADE與△ABC相似．相似三角形的性質(zhì)為：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，且面積比等于相似比的平方．我們的求解計(jì)劃是先根據(jù)已知的線段比例關(guān)系求出相似比，再根據(jù)相似比求出△ABC的面積，最后用△ABC的面積減去△ADE的面積，從而得到四邊形BDEC的面積．【解答】解：設(shè)AD＝x，則BD＝2x，那么AB＝AD+BD＝x+2x＝3x．因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC，它們的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即ADAB=x由相似三角形面積比等于相似比的平方可知，S△因?yàn)锳DAB所以(AD∴S△∵S△設(shè)S△ABC＝y(tǒng)cm2，則3y根據(jù)比例的性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積”可得y＝3×9＝27（cm2）．∴S四邊形BDEC＝S△ABC﹣S△ABC＝27﹣3＝24（cm2）．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確推理運(yùn)用．12．（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，E是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、F分別在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，則EF的長(zhǎng)為3．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】3．【分析】先利用等角的余角相等得到∠ABF＝∠DFB，則DB＝DF，所以AD＝BD＝5，再證明△ADE∽△ABC，然后利用相似比求出DE＝8，由于利用DF＝AD＝5，于是計(jì)算DE﹣DF即可．【解答】解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∵∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝90°，∠DFA+∠DFB＝90°，∴∠ABF＝∠DFB，∴DB＝DF，∴AD＝BD＝5，∵E是AC邊上的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∵∠DAE＝∠BAC，ADAB∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE=12×16∵DF＝AD＝5，∴EF＝8﹣5＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2025?青浦區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝5：2．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】5：2．【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∴BECE故答案為：5：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．14．（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，且AEAC=12，若S△ADE＝1，則S四邊形BCDE＝【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得到S△【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且AEAC∴△ADE與△ABC相似比為12∴S△∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝4S△ADE＝4，∴S四邊形BCDE＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．15．（2025?賽罕區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，sinA=12，BD⊥AC，垂足為D，按如下步驟作圖：①以A點(diǎn)為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)度m為半徑作?。虎谝訠點(diǎn)為圓心，以同樣大小為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)；③連接EF，直線EF與AC交于點(diǎn)G，則AB與DG的比是2【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【專題】計(jì)算題；圖形的相似；尺規(guī)作圖；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】連接BG，由作圖可知EF為AB的垂直平分線，則G為AB的中點(diǎn)，由條件可知∠A＝∠DBC，設(shè)DC＝x，則BC＝2x，AC＝4x，可求出AB＝23x，CG＝2x，則DG＝x，可求出AB與DG的比．【解答】解：由題意得，EF為AB的垂直平分線，∵∠B＝90°，∴G為AB的中點(diǎn)，連接BG，∴AG＝BG＝CG，∵BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，∴sinA＝sin∠DBC=1∴DCBC設(shè)DC＝x，則BC＝2x，AC＝4x，∴CG＝2x，AB=AC2-DG＝CG﹣CD＝x，∴ABDG故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?新鄉(xiāng)模擬）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別是點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）如圖1，連接DG，BE，則DGBE的值為34（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊CD上，連接BG交AE于點(diǎn)O，連接BE．①DE的長(zhǎng)度為27．②求證：OG＝OB．（3）若直線EB，DG交于點(diǎn)H，當(dāng)BE＝8時(shí)，請(qǐng)直接寫出BH的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）34（2）①27；②見(jiàn)解析；（3）BH的長(zhǎng)為33-4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AC＝6，AB＝AE＝8，∠DAG＝∠BAE，求得ADAB=AG（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠D＝90°，AB＝AE＝8，根據(jù)勾股定理得到DE=AE2②如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AE于點(diǎn)M，由旋轉(zhuǎn)可知AB＝AE，得到∠ABE＝∠AEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE＝∠CEB，推出BE平分∠AEC．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BC＝BM．由旋轉(zhuǎn)可知，AG＝AD＝BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OG＝OB；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AG，AB＝AE，∠DAG＝∠BAE，求得∠ADH+∠ABH＝180°，得到∠DHB＝90°，得到△ABE為等邊三角形，同理△ADG為等邊三角形．如圖2，令DH與BC的交點(diǎn)為I，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH＝BI?sin60°＝（6-833）×32=33【解答】解：（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AD＝AC＝6，AB＝AE＝8，∠DAG＝∠BAE，∴ADAB∴△DAG∽△BAE，∴DGBE故答案為：34（2）①解：四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝AE＝8，∵AD＝6，∴DE=AE2故答案為：27；②證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AE于點(diǎn)M，由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠AEB，∴BE平分∠AEC．又∵∠C＝90°，BM⊥AE，∴BC＝BM．由旋轉(zhuǎn)可知，AG＝AD＝BC，∴AG＝BM．∵∠GAO＝∠BMO＝90°，∠AOG＝∠MOB，∴△AOG≌△MOB（AAS），∴OG＝OB；（3）BH的長(zhǎng)為33-4或由旋轉(zhuǎn)得AD＝AG，AB＝AE，∠DAG＝∠BAE，∴∠ADG＝∠AGD＝∠ABE＝∠AEB．∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ADH+∠ABH＝180°，在四邊形ADHB中，∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∵AB＝AE＝BE＝8，∴△ABE為等邊三角形，同理△ADG為等邊三角形．如圖2，令DH與BC的交點(diǎn)為I，∴∠IDC＝30°，∠DIC＝∠BIH＝60°，∴CI=∴BH＝BI?sin60°＝（6-833）×3如圖3，同理可得BH=3綜上所述，BH的長(zhǎng)為33-4【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（2025?合肥一模）在△ABC中，AC=215，D為AB上一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠（1）如圖1，求證：AC⊥BC．（2）如圖2，D為AB的中點(diǎn)．（i）求證：CE＝2DF；（ii）若AB＝12，DF＝1，求FGAF【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（i）見(jiàn)解析；（ii）35【分析】（1）證明∠CAF＝∠BCD結(jié)合垂直的定義可推出結(jié)論；（2）（i）證明△ADF≌△BDH（AAS），得出DF＝DH，AF＝BH，∠DBH＝∠BAF＝∠CBE，再證明△CAF≌△EBH（ASA），得出CF＝EH，可推出結(jié)論；（ii）證明△AFC∽△GFE，可推出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠BED＝∠CBE+∠BCD，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠CBE，∴∠CAF＝∠BCD．∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝90°，∴∠BCD+∠ACF＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC；（2）（i）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．∵D是AB的中點(diǎn)，AC⊥BC，∴CD＝AD＝BD，∴∠BAC＝∠ACD，∠ABC＝∠BCD．在△ADF與△BDH中，∠ADF∴△ADF≌△BDH（AAS），∴DF＝DH，AF＝BH，∠DBH＝∠BAF＝∠CBE，∴FH＝2DF＝2DH，∠EBH＝∠ABC＝∠BCD＝∠CAF，在△CAF與△EBH中，∠CAF∴△CAF≌△EBH（ASA），∴CF＝EH，∴CF﹣EF＝EH﹣EF，∴CE＝FH＝2DF；（ii）解：由（i）知CD=∵DF＝1，CE＝2DF＝2，∴EF＝CD﹣CE﹣DF＝3，∴CF＝CE+EF＝5．由（1）知∠CAF＝∠EBH，∴∠ACD＝∠BED，∵∠AFC＝∠EFG＝90°，∴△AFC∽△GFE，∴FGAF【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2025?方山縣一模）綜合與探究綜合實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們對(duì)“四邊形內(nèi)互相垂直的線段”進(jìn)行了探究，請(qǐng)你從中發(fā)現(xiàn)方法，完成解答．【初步研究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在線段BC，CD上，且AM⊥BN，則AMBN的值為1【知識(shí)遷移】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求GHEF【深入探究】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，當(dāng)BDAC=12【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）1；（2）GHEF=mn；（3【分析】（1）先證明∠BAM＝∠CBN，再證明△ABM≌△BCN（ASA），可得AM＝BN，從而可得答案；（2）作EM⊥DC于點(diǎn)M，作GN⊥BC于點(diǎn)N，記GN、EF的交點(diǎn)為K，證明Rt△EMF∽R(shí)t△GNH即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)CB＜AB時(shí)，如圖，過(guò)B作AD的平行線交DC的延長(zhǎng)線于S，過(guò)A作AR⊥SB于R，證明Rt△ABC≌Rt△ADC，證明AC⊥BD，如圖，當(dāng)CB＞AB時(shí)，過(guò)D作BC的平行線交BA的延長(zhǎng)線于T，過(guò)C作CH⊥TD于H，再仿照（2）的方法結(jié)合三角函數(shù)可得答案．【解答】解：（1）∵四邊形正方形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠BAM+∠AMB＝90°，∵AM⊥BN，∴∠AMB+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN；∴AMBN故答案為：1；（2）作EM⊥DC于點(diǎn)M，作GN⊥BC于點(diǎn)N，記GN、EF的交點(diǎn)為K，則EM∥AD∥BC，GN∥AB∥DC，∴EM⊥GN，EM＝AD＝BC，GN＝AB＝DC，又∵EF⊥HG，∠GKF＝∠EKN，∴∠HGN＝∠MEF，∴Rt△EMF∽R(shí)t△GNH，∴GHEF即GHEF（3）當(dāng)CB＜AB時(shí)，如圖，過(guò)B作AD的平行線交DC的延長(zhǎng)線于S，過(guò)A作AR⊥SB于R，∴∠S＝∠ADC＝90°＝∠R，∴四邊形ARSD為矩形，∴AR＝SD，∵CB＝CD＝6，AC＝AC，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴AB＝AD，∴AC⊥BD，同（2）可得：△DBS∽△ACD，∴BSCD∴BS＝3，cos∠CBS=∴∠CBS＝60°，AR=∵∠CBS+∠ABR＝90°＝∠ABR+∠BAR，∴∠BAR＝∠CBS＝60°，∴AB=如圖，當(dāng)CB＞AB時(shí)，過(guò)D作BC的平行線交BA的延長(zhǎng)線于T，過(guò)C作CH⊥TD于H，同理可得：AB＝AD，四邊形TBCH為矩形，TD=12AD=12∴CH=設(shè)AB＝AD＝x，則AT=32∴x+解得AB=綜上：AB為12-63【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形．19．（2025?武漢模擬）問(wèn)題背景如圖（1），在矩形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且AE⊥EF，求證：△ADE∽△ECF．問(wèn)題探究如圖（2），以AE為邊作等邊△AEG，G點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)EF：GF＝2：7的時(shí)候，求△GEF與△AGE的面積之比．問(wèn)題拓展如圖（3），G在BC的延長(zhǎng)線上，連接EG，當(dāng)∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，F(xiàn)G＝【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)解析；問(wèn)題探究：215問(wèn)題拓展：AG的長(zhǎng)度為221【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)和垂直的定義得到兩組對(duì)應(yīng)角相等即可證明結(jié)論；問(wèn)題探究：如圖：過(guò)F作FH⊥EG，過(guò)G作GK⊥AE，設(shè)EF＝2x，則CG＝2x，CF＝5x，GF＝7x；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂直的定義可得HF=12EF=問(wèn)題拓展：先說(shuō)明∠GEC＝30°，易得∠GEC＝30°；再解直角三角形可得EG＝3、CG=32、AE【解答】解：?jiǎn)栴}背景：在矩形ABCD中，AE⊥EF，∴∠D＝∠C＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∴△ADE∽△ECF；問(wèn)題探究：如圖2，過(guò)F作FH⊥EG，過(guò)G作GK⊥AE，設(shè)EF＝2x，則CG＝2x，CF＝5x，GF＝7x，∵△AEG是等邊三角形，∴∠KGE=12∠AGE=30°，GE＝AE∴∠HEF＝∠AEF﹣∠AEG＝30°，∴HF=∴HE=∴AE=∵∠KGE＝30°，GK⊥AE，∴EK=∴KG=∴s△問(wèn)題拓展：AG的長(zhǎng)度為221當(dāng)∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，∵∠BCE＝90°，∴∠GEC＝30°，∴EG=CEcos∴FC=∴EF=∵∠EFA＝60°，∠AEF＝90°，∴AE=∵△ADE∽△ECF，∴AEEF=AD解得：AD=∴BC=∴BG=∴AG=【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．20．（2025?高新區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G．求重疊部分（△DCG）的面積．（1）小明經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，寫出如下步驟，請(qǐng)你幫助小明補(bǔ)全依據(jù)及步驟：解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依據(jù)：等邊對(duì)等角）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中點(diǎn)，∴DG為△ACD中位線．∴CG=12AC=12×8＝4∴SDCG=12?CG?DG12×4×（2）“希望”學(xué)習(xí)小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，請(qǐng)解決下列兩個(gè)問(wèn)題：①求證：△AHD∽△ABC；②求出重疊部分（△DGH）的面積．（3）“智慧”小組也不甘落后，提出的問(wèn)題是：如圖3，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，當(dāng)△DMN是以DM為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)重疊部分（△DMN）的面積是7516或【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）等邊對(duì)等角，DG∥BC．（2）①見(jiàn)證明過(guò)程．②7516（3）7516【分析】（1）由DC＝DB，利用等邊對(duì)等角得∠B＝∠DCB，從而得DG∥BC．（2）①∵DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，由∠ADH＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，得△AHD∽△ABC；②由△AHD∽△ABC，得∠2＝∠B，ADAC=DHCB，算出DH=154，由△ABC≌△FDE，得∠1＝∠B（3）當(dāng)DM＝DN時(shí)，過(guò)D作DQ⊥MN，過(guò)M作MP⊥DN．由CD為Rt△ABC斜邊中線，得DC＝DA＝5，證明△MDP∽△ABC，得DP：PM：DM＝3：4：5，再計(jì)算即可．當(dāng)MD＝MN時(shí)，過(guò)M作MH⊥DN．證明△CND∽△ABC，再證明△MHN∽△ACB，得NH=34，故△DMN面積=12MH【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依據(jù)：等邊對(duì)等角）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴DG∥BC．故答案為：等邊對(duì)等角，DG∥BC．（2）①∵DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，∴∠ADH＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AHD∽△ABC；②∵△AHD∽△ABC，∴∠2＝∠B，ADAC∴58∴DH=又∵△ABC≌△FDE，∴∠1＝∠B，∴∠1＝∠2，∴GH＝GD，∵∠1+∠3＝∠2+∠A＝90°，∴∠3＝∠A，∴AG＝GD，∴AG＝GH，S△（3）當(dāng)DM＝DN時(shí)，如圖：過(guò)D作DQ⊥MN，過(guò)M作MP⊥DN．∵CD為Rt△ABC斜邊中線，∴DC＝DA＝5，∴CQ＝AQ=12AC＝∴DQ=DC∵∠MDP＝∠B，∠MPD＝∠ACB＝90°，∴△MDP∽△ABC，∴DPBC∴DP6∴DP：PM：DM＝3：4：5，設(shè)DP＝3x，PM＝4x，DM＝5x，∴NP＝DN﹣DP＝5x﹣3x＝2x．∵△DMN面積=12MN?DQ=12∴MN?3＝5x?4x，∴MN=20∵M(jìn)N2＝MP2+PN2，∴（203x2）2＝（2x）2+（4x∴x2=9∴△DMN面積=12MP?DN=124x?5x＝10當(dāng)MD＝MN時(shí)，如圖：∴∠MDN＝∠MND．過(guò)M作MH⊥DN．∵CD為Rt△ABC斜邊中線，∴DA＝DC，∴∠NCD＝∠A，∠MND＝∠MDN＝∠B，∴△CND∽△ABC，∴∠CDN＝∠ACB＝90°，∴MH∥CD，∵H為ND中點(diǎn)，∴M為CN中點(diǎn)，∴MH=12CD∵△MHN∽△ACB，∴HNCB∴NH=3∴DN＝2NH=15∴△DMN面積=12MH?DN故答案為：7516【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似綜合題的知識(shí)，利用AA證明相似是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問(wèn)題．2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．3．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．6．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．（2）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、9．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．10