中科大線代試題及答案

中科大線代試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.下列矩陣中，哪一個是方陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\)

2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的行列式值為0，則以下結(jié)論正確的是：

A.\(A\)是可逆矩陣

B.\(A\)的每一行都是零向量

C.\(A\)的列向量線性相關(guān)

D.\(A\)的行向量線性相關(guān)

3.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,4,5)\)，\(\vec{c}=(6,7,8)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積是：

A.14

B.27

C.35

D.36

4.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的行列式值為-6，\(A\)的伴隨矩陣的行列式值為：

A.6

B.-6

C.36

D.-36

5.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為：

A.\(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}d&-b\\c&-a\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}a&-b\\c&-d\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

6.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為2，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

7.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣\(A^T\)為：

A.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)

8.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為1，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式值為：

A.5

B.6

C.7

D.8

10.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的行列式值為0，則\(A\)的行列式值為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

11.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為：

A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}2&4\\-3&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}2&-4\\-3&1\end{pmatrix}\)

12.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為3，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

13.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣\(A^T\)為：

A.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)

14.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為1，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

15.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式值為：

A.5

B.6

C.7

D.8

16.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的行列式值為0，則\(A\)的行列式值為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

17.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為：

A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}2&4\\-3&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}2&-4\\-3&1\end{pmatrix}\)

18.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為3，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

19.已知\(A\)為\(2\times2\)矩陣，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣\(A^T\)為：

A.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)

20.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(A\)的秩為1，則\(A\)的零空間的維數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.任何兩個\(n\)階方陣的乘積都是\(n\)階方陣。（）

2.兩個\(n\)階方陣的乘積的行列式等于兩個矩陣行列式的乘積。（）

3.一個矩陣的逆矩陣存在當(dāng)且僅當(dāng)該矩陣是可逆的。（）

4.一個\(n\)階方陣的行列式值為0，則該矩陣的秩為\(n\)。（）

5.兩個向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的點積為0。（）

6.一個\(n\)階方陣的行列式值為0，則該矩陣的列向量線性相關(guān)。（）

7.一個\(n\)階方陣的行列式值為0，則該矩陣的行向量線性相關(guān)。（）

8.兩個\(n\)階方陣的乘積的行列式等于兩個矩陣行列式的乘積的絕對值。（）

9.一個\(n\)階方陣的行列式值為0，則該矩陣的秩小于\(n\)。（）

10.一個\(n\)階方陣的行列式值為0，則該矩陣的逆矩陣不存在。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的秩的概念及其幾何意義。

2.如何判斷一個矩陣是否可逆？可逆矩陣有哪些性質(zhì)？

3.簡述矩陣的逆矩陣的計算方法。

4.什么是線性方程組的解？線性方程組有解的必要條件和充分條件是什么？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的行列式在矩陣?yán)碚撝械闹匾?，并舉例說明行列式在求解線性方程組、判斷矩陣的秩和可逆性等方面的應(yīng)用。

2.論述矩陣的秩在矩陣?yán)碚撝械闹匾?，并舉例說明秩在判斷矩陣的滿秩性、求解線性方程組、矩陣的相似性等方面的應(yīng)用。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.C

2.C,D

3.A

4.D

5.A

6.C

7.A

8.B

9.A

10.A

11.A

12.A

13.A

14.B

15.A

16.A

17.A

18.A

19.A

20.B

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

6.√

7.√

8.×

9.√

10.√

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.矩陣的秩是指矩陣中線性無關(guān)的行（或列）的最大數(shù)目。其幾何意義是指矩陣所對應(yīng)的線性變換將\(n\)維空間映射到\(r\)維空間，其中\(zhòng)(r\)為矩陣的秩。

2.一個矩陣可逆的條件是它的行列式不為0。可逆矩陣的性質(zhì)包括：①矩陣與其逆矩陣的乘積為單位矩陣；②矩陣的逆矩陣是唯一的；③矩陣與其逆矩陣互為逆矩陣。

3.矩陣的逆矩陣可以通過初等行變換或高斯消元法求出。首先將矩陣與單位矩陣合并，然后通過行變換將左側(cè)矩陣轉(zhuǎn)化為單位矩陣，右側(cè)矩陣即為原矩陣的逆矩陣。

4.線性方程組的解是指使得方程組中所有方程同時成立的未知數(shù)的值。線性方程組有解的必要條件是方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，充分條件是方程組的系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.行列式在矩陣?yán)碚撝芯哂兄匾饔?。它可以用來判斷矩陣的可逆性，即行列式不?的矩陣是可逆