等可能性事件的概率和數(shù)學(xué)歸納法教案

課題:等可能性事件的概率

教材：人民教育出版社的全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本.必修）《數(shù)學(xué)》第二冊（下

B）第十一章概率第一節(jié)（第二課時）

授課教師：安徽省無為第一中學(xué)徐樸

教學(xué)目標(biāo)；

（1）知識與技能目標(biāo)：了解等可能性事件的概率的意義，初步運用排列、組合的公式

和枚舉法計算一些等可能性事件的概率。（2）過程和方法目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)、生活中的實際

問題的引入，讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活將生活問題由對具體事例的感性認(rèn)識上升到對定義的理性認(rèn)

識，可培養(yǎng)學(xué)生的梳理歸納能力；通過歸納定義后再加以應(yīng)用可培養(yǎng)學(xué)生的信息遷移和類

比推理能力；通過計算等可能性事件的概率，提高綜合運用排列、組合知識的能力和分析

問題、解決問題的能力。⑶情感與態(tài)度目標(biāo)：營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學(xué)；隨

機事件的發(fā)生既有隨機性，又有規(guī)律性，使學(xué)生了解偶然性寓于必然性之中的辯證思想；

引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的人生觀和價值觀，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

教學(xué)重點：

等可能性事件的概率的意義及其求法。

教學(xué)難點：

等號能性事件概率計算公式的重要前提：每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性必須相同。

教學(xué)方法：

啟發(fā)式探索法

教學(xué)手段：

計算機輔助教學(xué)、實物展示臺

教具準(zhǔn)備：

轉(zhuǎn)盤一個

教學(xué)過程：

附：課前興趣閱讀：

生活中的數(shù)學(xué)

1、你做過這樣的調(diào)查嗎？我們班在座的同學(xué)中至少有兩位同學(xué)在同一天生日的可能性

多大？

2、無為一中進(jìn)行演講比賽，參賽選手的演講順序通過抽簽決定，抽簽時有先有后，你

認(rèn)為公平嗎？

同學(xué)們，要想解決上面的問題，就讓我們繼續(xù)學(xué)習(xí)概率吧！

一、復(fù)習(xí)舊知：

拋擲一枚均勻硬幣，

（1）出現(xiàn)正面向上；（2）出現(xiàn)正面向上或反面向上；（3）出現(xiàn)正面向上且反面向上.

各是什么事件？概率分別是多少？（學(xué)生回答）（1）隨機事件，概率是1/2

（2）必然事件，概率是1

（3）不可能事件，概率是0

二、設(shè)置情境，引入新課：

同學(xué)們，你們參加過商場抽獎嗎？

我們美麗的無為的大商場即將在五一黃金周進(jìn)行有獎銷售活動（拿出轉(zhuǎn)盤，一面是

把轉(zhuǎn)盤均勻6份，一面是不均勻的6份）

出示不均勻的一面

情境一：

無為商之都五一黃金周進(jìn)行有獎銷售活動，購滿200元可進(jìn)行一次搖獎，獎品如下:

1：電冰箱一臺2：可口可樂一聽3：色拉油250ml

4:謝謝光顧5：洗衣粉一袋6：光明酸奶500ml

你希望抽到什么？抽到電冰箱的可能性與抽到洗衣粉一袋相同嗎？

出示均分6份一面

情境二：

無為百貨大樓五一黃金周進(jìn)行有獎銷售活動，購滿200元可進(jìn)行一次搖獎，獎品如

下：

1：雪碧250ml一聽2：可口可樂一聽3：洗衣粉一袋

4:光明酸奶125ml5：康師傅方便面一盒

6：娃哈哈礦泉水一瓶

現(xiàn)在你覺得抽到可口可樂一聽與洗衣粉一袋的可能性相同嗎？抽到1的可能性是

多少呢？你是怎么的到的呢？

求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗；那么能否不進(jìn)行大量重

復(fù)試驗，只通過一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果求出其概率呢？

這就是今天我們要學(xué)習(xí)的等可能性事件的概率（板書課題）

三、逐層探索，構(gòu)建新知：

問題1：擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種？

它們的概率分別為多少？

正面向上反面向上

1/21/2

問題2：在情境2搖獎中，指針指向的數(shù)字可能有幾種？它們的概率分別為多少？

123456

1/61/61/61/61/61/6

這里是怎么得到概率的值的？

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：

1、分析一次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果n個

2、每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的

（演示轉(zhuǎn)盤的兩面幫助學(xué)生理解每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的這一前提）

問題3：在問題2中指針指向的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為多少呢？是偶數(shù)的概率是

多少？(學(xué)生回答)

1/21/3

(強調(diào)等可能性)

引入公式：

基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件。

如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有的基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一

個基本事件的概率都是l/n。

等可能性事件的概率：

如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率

P(A)=m/n

在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I,

包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于I的含有m個元素的

Card(A)

P(A)=---------------=m/n

Card(I)

跟蹤練習(xí)：1、請同學(xué)們自己設(shè)計一個有關(guān)求等可能性事件的問題。2.先后拋擲2枚均勻

的硬幣

(1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？

(2)出現(xiàn)“1枚正面、1枚反面”的結(jié)果有多少種。

(3)出現(xiàn)“1枚正面、1枚反面”的概率有多少種。

(4)出現(xiàn)“1枚正面、1面反面”的概率是1/3,對嗎？

四、師生共做，循環(huán)上升：

例1、一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白色和已編有

不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球。

(1)共有多少種不同的結(jié)果？

(2)摸出2個黑球有多少種不同的結(jié)果？

(3)摸出2個黑球的概率是多少？

(學(xué)生舉手回答或個別提問，注意從組合知識和集合兩個角度分析求解)

「白黑1白黑2白黑3

V黑2黑2黑底

［黑

例題2：將骰子先高麗，次Fk

(1)一共有多少種不同的結(jié)果？

(2)其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？

(3)向上的數(shù)之和是5的概率是多少？

解：(1)將骰子拋擲1次，它落地時向上的數(shù)有1,2,3,4,

5,6這6種結(jié)果。根據(jù)分步計數(shù)原理，先后將這種玩具拋擲2次，

一共有

6X6=36

種不同的結(jié)果。

答：先后拋擲骰子2次，一共有36種不同的結(jié)果。

(2)在上面所有結(jié)果中，向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

4種，其中每一括號內(nèi)的前后兩個數(shù)分別為第1、2次拋擲后向上

的數(shù)。上面的結(jié)果可用下圖表示

答：在2次拋擲中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有4種

(3)由于骰子是均勻的，將它拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可

能出現(xiàn)的。其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果(記為事件A)有4種，因此

所求的概率

第6789101112

二

567891011

次

拋45678910

擲

3456789

后

向2345678

上

1234567

的

數(shù)123456

第一次拋擲后向上的數(shù)

4]_

9

答：拋擲骰子次,向上的數(shù)之和為5的概率是1/9

變式練習(xí)：

在例2中，向上的數(shù)之積為6的概率是多少？

模擬預(yù)案：

小明說，拋擲兩枚骰子，向上一面數(shù)字之和最小為2,最大為12,共有11種不同的結(jié)

果，則向上一面的數(shù)字之和為5的概率是1/11,對嗎？為什么？

五.課堂小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能不能歸納梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容？(學(xué)生

自主小結(jié))

1、等件可能性事件的特征：

a、一次試驗中有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；

b、每一結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。

2、求等可能性事件概率的步驟：

(1)審清題意，判斷本試驗是否為等可能性事件.

(2)計算所有基本事件的總結(jié)果數(shù)〃

(3)計算事件A所包含的結(jié)果數(shù)牝

(4)計算P(A)=m/n

六.課后作業(yè)：

1、必做題：P132習(xí)題11.12,3

2、選做題：P132習(xí)題11.18

結(jié)束語：同學(xué)們，上課之前大家看到了概率在生活中的應(yīng)用，譬如，一年365天計算,

我們班某一位同學(xué)在今天過生日的概率是多少？根據(jù)等可能性事件的概率計算應(yīng)該是

1/365,那么某兩位同學(xué)在今天生日的概率是多少？我們班至少有兩位同學(xué)在今天生日的概

率又是多少？等等問題，大家想不想知道，這些問題有待于我們以后進(jìn)一步概率的學(xué)習(xí)。

七、說明：

為了貫徹新課程理念，這次評比我選取的內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(下B)第十

一章概率中的一節(jié)《等可能性事件的概率》，概率是新課程改革新增內(nèi)容，與社會生活密切

相關(guān)，在生產(chǎn)生活中應(yīng)用及其廣泛，符合新課程理念倡導(dǎo)的教育觀。

本節(jié)課在數(shù)學(xué)教材的選取上，力求貼近生活實際，如抽獎，摸球游戲等，并且就地取

材，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的感興趣的問題情境，使學(xué)生能在輕松、愉快的教學(xué)情境中學(xué)習(xí)有用的

數(shù)學(xué)，同時也能運用數(shù)學(xué)知識來分析問題和解決問題。

教案的設(shè)計“以人為本，以學(xué)定教”，教師始終扮演的是組織者、引導(dǎo)者、參與者的角

色，通過問題教學(xué)法，變“教的課堂”為“學(xué)的課堂”，學(xué)生成為課堂學(xué)習(xí)真正的主人。

通過布置分層練習(xí)，面對全體學(xué)生，使不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展，讓不同的學(xué)

生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都能成功；倡導(dǎo)合作式學(xué)習(xí)，通過學(xué)生小組合作設(shè)計問題、小組交流解決

問題的方式，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)、主動探究的能力，而且大大促進(jìn)了學(xué)生對知識的理解和

靈活運用。

本節(jié)內(nèi)容是隨機性的思維方法，學(xué)生的辨證思維不成熟，可能存在理解不到位的現(xiàn)

象，反思這一點，如何加以改進(jìn)，這是在后續(xù)教學(xué)中需要思考的問題。

第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評選

課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

人民教育出版社全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(選修H)第二章第一節(jié)

安徽師大附中吳中才

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì).

2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，論證的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)

生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會類比的數(shù)學(xué)思想.

4.努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和

課堂效率.

5.通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱

情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神.

【教學(xué)重點】歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析

【教學(xué)難點】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解

【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法

【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)

【教學(xué)程序】

第一階段：輸入階段一一創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維

(1)不完全歸納法引例：

明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字.這則笑話中財主的兒

子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推

出的結(jié)論顯然是錯誤的.

(2)完全歸納法對比引例：

有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮，看看

每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案.大徒弟費了很大勁將花生全部剝完

了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾

個一仁、兩仁的，總共不過一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明.

在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累

的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.

2.回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識

(從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步體會歸納意識，同

時讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實早已接觸過歸納.)

(1)不完全歸納法實例：給出等差數(shù)列前四項，寫出該數(shù)列的通項公式.

(2)完全歸納法實例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況.

3.借助數(shù)學(xué)史料，促使學(xué)生思辨

(在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方

位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運用

不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此.那么，有沒

有更好的歸納法呢？)

問題1已知。,,=(〃2-5"+5)2(w6N),

a

(1)分別求q;a2；%；4-

(2)由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？

(培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦

指出：思維都是在概括中完成的.心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括“，這里知識、技能、思維方

法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程.)

問題2費馬是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)〃GN時，22'+1-

定都是質(zhì)數(shù)，這是他對〃=0,1,2,3,4作了驗證后得到的.后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科

學(xué)家歐拉(Eider)卻證明了2a+1=4294967297=6700417x641,從而否定了費馬的推

測.沒想到當(dāng)〃=5這一結(jié)論便不成立.

問題3/(〃)=+〃+41,當(dāng)〃WN時，/(〃)是否都為質(zhì)數(shù)？

驗證：/(0)=41,/(I)=43,/(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,/(5)=71,

/(6)=83,/(7)=97,/(8)=113,/(9)=131,/(10)=151,/(39)=1601.但

是/(40)=1681=4/,是合數(shù).

第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu)

4.搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

(在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理，揭示遞推過程.孔

子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著

良好的情感體驗.)

實例：播放多米諾骨牌錄像

關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下，則它的后一張牌必定倒下.于

是，我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下.

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車，早操排隊對齊等.

5.類比數(shù)學(xué)問題，激起思維浪花

類比多米諾骨牌過程，證明等差數(shù)列通項公式%=4+(〃-l)d：

(1)當(dāng)〃=1時等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即%=%+(?—l)d,則

%+1=4+d=q+即〃=左+1時等式也成立.于是，我們可以下結(jié)論：等差

數(shù)列的通項公式%=%+(〃-1)"對任何N*都成立.

(布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程.這里通

過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí).)

6.引導(dǎo)學(xué)生概括，形成科學(xué)方法

證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：

(1)證明當(dāng)“取第一個值%時結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)k>n0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)〃=%+1時結(jié)論也正確.

完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對從〃。開始的所有正整數(shù)〃都正確.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

第三階段：操作階段——鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實認(rèn)知過程

7.蘊含猜想證明，培養(yǎng)研究意識

(本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)

的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力.)

例題在數(shù)列｛4｝中，3=1,用=，^(〃GN*),先計算出，%，4的值，再推測通

項乙的公式，最后證明你的結(jié)論.

8.基礎(chǔ)反饋練習(xí)，鞏固方法應(yīng)用

(課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答,

因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點.練習(xí)第3

題恰好是等比數(shù)列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充.通過這兩個練習(xí)能看到學(xué)

生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況.)

(1)(第63頁例1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2M-1)=/.

(2)(第64頁練習(xí)3)首項是q,公比是q的等比數(shù)列的通項公式是%

9.師生共同小結(jié)，完成概括提升

(1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；

(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩

種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)

學(xué)歸納法屬于完全歸納法；

(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：

兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；

(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、

辯證唯物主義思想.

10.布置課后作業(yè)，鞏固延伸鋪墊

(1)課本第64頁練習(xí)第1,2題；第67頁習(xí)題2.1第2題.

(2)在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明〃=hH時命題成立，必須要用到〃=左時命題

成立這個假設(shè).這里留一個辨析題給學(xué)生課后討論思考：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+22+2?+…+2"T=2"-1(〃@N*)時，其中第二步采用下面

的證法：

設(shè)〃=左時等式成立，即1+2+2?+23+…+2?T=2?-1,則當(dāng)〃=人+1時，

1_/+】

zi+,

1+2+2?+23+…+2*T+2*==2-1.

1-2

你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？

【教學(xué)設(shè)計說明】

1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它的操作

步驟簡單、明確，教學(xué)重點不應(yīng)該是方法的應(yīng)用.我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸,

技能的操練.為此，我設(shè)想強化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對

歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來.這樣不

僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好

的基礎(chǔ)，而且可以強化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的

重要補充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機.

2.在教學(xué)方法上，這里運用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法.目的是加

強學(xué)生對教學(xué)過程的參與.為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引

導(dǎo)和點撥.學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，

讓學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)

生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展.

3.運用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個步驟缺一不可.理解數(shù)學(xué)歸納

法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明〃=左+1命題成立時必須要用到"=A時命

題成立這個條件.這些內(nèi)容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識數(shù)

學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計指明了思維方向.

課題：函數(shù)的單調(diào)性

教材：人教版全日制普通高級中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)第一冊(上)

授課教師：北京景山學(xué)校許云堯

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、

證明函數(shù)單調(diào)性的方法.

2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、

抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力.

3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓

學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程.

【教學(xué)重點】函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.

【教學(xué)難點】根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

【教學(xué)方法】教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí).

【教學(xué)手段】計算機、投影儀.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

為了預(yù)測北京奧運會開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年

每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線

圖.

引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考.

問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達(dá)到的時刻；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

教師指出：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對

我們的生活是很有幫助的.

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？

預(yù)案：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等.

歸納：用函數(shù)觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還

是變小.

K設(shè)計意圖》由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，是函數(shù)的重要性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性,

同學(xué)們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任

務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

1.借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數(shù)y=x+2,_y=-x+2,y=x2,y=JL的圖象，并且觀察自變量變化

X

時，函數(shù)值的變化規(guī)律？

的增大而減小.

(2)函數(shù)丁=》2,在［0,+8)上歹隨X的增大而增大，在(-8,0)上》隨X的增大而減小.

(3)函數(shù)y=工，在(0,+8)上y隨x的增大而減小，在(-8,0)上》隨x的增大而減小.

X

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個

區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)嗎？

預(yù)案：如果函數(shù)/(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，P也越來越大，我們說函數(shù)“X)

在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)/(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們

說函數(shù)/(X)在該區(qū)間上為減函數(shù).

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識.

(設(shè)計意圖』從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識.

2.抽象思維，形成概念

問題1：如圖是函數(shù)

個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增

學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置.

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，

需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.

K設(shè)計意圖》使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.

問題2：如何從解析式的角度說明/(x)=/在［0,+8)上為增函數(shù)？

預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3,因為22<32,所以/(x)=/在0+8)

上為增函數(shù).

(2)仿(1),取多組數(shù)值驗證均滿足，所以/(x)=，在［0,+8)為增函數(shù).

(3)任取項,彳2G［0,+8),且X1<刀2,因為X；=(X|+》2)(X［-％2)<0,即X；<，所以

/(X)=工2在［0,4-00)上為增函數(shù).

對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識到問

題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量X”X2.

K設(shè)計意圖』把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)

識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問題3：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎？

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.

(1)板書定義

(2)鞏固概念

判斷題：

①已知r(x)=L因為/'(—1)</(2),所以函數(shù)/(x)是增函數(shù).

X

②若函數(shù)/(x)滿足/\2)</(3),則函數(shù)/Xx)在區(qū)間［2,3］上為增函數(shù).

③若函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2］和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).

④因為函數(shù)/(X)=L在區(qū)間(-00,0)和(0,+8)上都是減函數(shù)，所以/(》)=」在

XX

(~°0,0)U(0,+°°)上是減函數(shù).

通過判斷題，強調(diào)三點:

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)（如一次函數(shù)），有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)

（如二次函數(shù)），有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間（如常函數(shù)）.

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間48上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在NU6

上是增（或減）函數(shù).

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)？

（設(shè)計意圖X讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷

題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.

三、掌握證法，適當(dāng)延展

例1證明函數(shù)/（x）=x+2在（正,一）上是增函數(shù).

X

1.分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流.

證明：任取X],%€（后,+8）,且X1<七，設(shè)元

22

/（王）一/（》2）=（為+—）-（》2+一）求差

項

=（x,-x2）+（--—）變形

X]x2

/.2(X-x.)

=(再—U)+A2—-

X/2

(X,-X2)(l---)

項》2

=區(qū)_4盧7

X]X2

*/V2<xt<x2,斷號

x]-x2<0,XjX2>2,

/gvo,即/3）</（匕），

二函數(shù)/（X）=X+2在（行,+8）上是增函數(shù).定論

X

2.歸納解題步驟

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.

練習(xí):證明函數(shù)/（x）=正在［0,+8）上是增函數(shù).

問題：除了用定義外，如果證得對任意的/,馬€（。乃），且匹，有"上9>0,

x2-x}

能斷定函數(shù)/,（X）在區(qū)間（。力）上是增函數(shù)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性.讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)

/（X）=正在0+OO）上是增函數(shù).

（設(shè)計意圖』初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.了解等價形式進(jìn)一步

發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共

同完成小結(jié).

1.小結(jié)

（1）概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

（2）證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.

（3）數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合.

2.作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3第4,5,6題.

課后探究：研究函數(shù)、=i+工。>0）的單調(diào)性.

X

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一

個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù).

對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面：（1）用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫

圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難

的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方

面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重

點和難點.

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不

同的方面確定了教學(xué)目標(biāo).重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強調(diào)判斷、

證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能

力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成.

三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過

創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和

計算機來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.

四、教學(xué)過程的設(shè)計

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，教學(xué)上采取了以下的措施：

（1）在探索概念階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)

知過程，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識，使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入.

（2）在應(yīng)用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性

的方法和步驟.

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难?/p>

展，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.

課題：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（五）一一正弦函數(shù)圖象的對稱性

教材：人教版全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書（必修）第一冊（下）

授課教師：北京市第十九中學(xué)檀晉軒

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生掌握正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式，理解誘導(dǎo)公式

sin（%一x）=sinx（xeR）與sin（2乃一x）=-sinx（xeR）的幾何意義，體會正弦函數(shù)的對

稱性.

2.在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)

生觀察、分析、抽象概括的能力.

3.通過具體的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生主動利用信息技術(shù)研究并解決數(shù)學(xué)問題的能力，增

強學(xué)生之間合作與交流的意識.

【教學(xué)重點】

正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式.

【教學(xué)難點】

用等式表示正弦函數(shù)圖象關(guān)于直線x='對稱和關(guān)于點（不⑼對稱.

【教學(xué)方法】

教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合.

【教學(xué)手段】

計算機、圖形計算器（學(xué)生人手一臺）.

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)引入

1.展示生活實例

對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現(xiàn)，各種對稱圖案、對稱符號也都十分普遍（見

下圖）.

初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關(guān)概念:

軸對稱圖形一一將圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合;

中心對稱圖形一一將圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°,所得圖形與原圖形重合.

3.作圖觀察

請同學(xué)們用圖形計算器畫出正弦函數(shù)的圖象

圖），仔細(xì)觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對

還是中心對稱圖形？

4.猜想圖形性質(zhì)

經(jīng)過簡單交流后，能夠發(fā)現(xiàn)正弦曲線既是軸對

也是中心對稱圖形，并能夠猜想出一部分對稱軸和

心.（教師點評并板書）

如何檢驗猜想是否正確？

我們知道，誘導(dǎo)公式sin（-x）=-sinx（xeR）,刻畫了正弦曲線關(guān)于原點對稱,而

cos（-x）=cosx（xeR）,刻畫了余弦曲線關(guān)于y軸對稱.從這兩個特殊的例子中我們得到

一些啟發(fā)，如果我們能夠用代數(shù)式表示所發(fā)現(xiàn)的對稱性，就可以從代數(shù)上進(jìn)行嚴(yán)格證明.

今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數(shù)圖象的對稱性.（板書課題）

二、探究新知

分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質(zhì)，第二階段學(xué)生自主

探索正弦曲線的中心對稱性質(zhì).

（-）對于正弦曲線軸對稱性的研究

第一階段，實例分析一一對正弦曲線關(guān)于直線》=代對稱的研究.

2

1.直觀探索一一利用圖形計算器的繪圖功能進(jìn)行探索

請同學(xué)們在同一坐標(biāo)系中畫出正弦曲線和直線X=—

2

的圖象，選擇恰當(dāng)窗口并充分利用畫圖功能對問題進(jìn)行探索

研究（見右圖），在直線x=四兩側(cè)正弦函數(shù)值有什么變化規(guī)

2

律？

給學(xué)生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出

猜想：當(dāng)自變量在x=&左右對稱取值時，正弦函數(shù)值相

2

從直觀上得到的猜想，需要從數(shù)值上進(jìn)一步精確檢驗.

2.數(shù)值檢驗一一利用圖形計算器的計算功能進(jìn)行探索

請同學(xué)們思考，對于上述猜想如何取值進(jìn)行檢驗?zāi)兀?/p>

教師組織學(xué)生通過合作的方式，對稱地在xg左右自主選取適當(dāng)?shù)淖宰兞?，并計算?/p>

數(shù)值,對結(jié)果進(jìn)行列表比較歸納.同時為沒有思路的學(xué)生準(zhǔn)備參考表格如下:

???7V71.兀.「71c…

X21515+05—+1---F1.5—+2

f-I--I-f-°-?-222

???

sinx???

給學(xué)生一定的時間進(jìn)行思考、操作，根據(jù)情況進(jìn)行指導(dǎo)并組織學(xué)生進(jìn)行交流，然后請

一組學(xué)生說明他們的研究過程.學(xué)生可以采用不同的數(shù)據(jù)采集方法，得到的結(jié)果如下列圖表

（表格中函數(shù)值精確到0.001）：

WEditT-FactGraph?

代肛H髭二I函i國康二1

yl=sin<x)

x__yl__

-1.929-0.936

-1.429-8.989

-0.929-0.801

-0.429-9.416

0.07070.0707

0.57070.5403

1.07079.8775

1.5707HH

2.07070.8775

2.57070.5403

3.07070.0707

3.5707-9.416

4.0707-0.801

4.5707-9.989

5.0707-0.936

5.5707-0.653

11

兀TC八_兀1711廠

X???--2--1.5--1--0.5---F0.5—4-1---F1.5-+2???

2222~22222

sinx???-0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416???

上述計算結(jié)果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式sin《7)=sin《+x)(xeR)

表示.

請同學(xué)們利用前面得到的數(shù)據(jù)，用圖形計算器描點畫圖(見下圖)，然后進(jìn)行觀察比較,

思考點P(2-xj)和P'(?+xj)在平面直角坐標(biāo)系中有怎樣的位置關(guān)系？

WEditZoomAnalysis?*EditZoomAnalysis?WEditZoomAnalysis?

:閏‘朗IEH園函]鷲菖D

根據(jù)畫圖結(jié)果，可以看出，點P(、-xj)和尸'(、+XJ)關(guān)于直線x=5對稱.這樣，

正弦曲線關(guān)于直線x=5對稱，可以用等式sin(2-x)=sin(]+x)(xeR)表示.

這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進(jìn)行嚴(yán)格證明.

3.嚴(yán)格證明——證明等式sin(y-x)=sin(y+x)對任意xeR恒成立

請同學(xué)們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特征？有可

能選用什么樣的公式？

預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(%-a)=sina,有sin《-x)=sin[萬一弓+x)]=sin《+x).

預(yù)案二:根據(jù)公式sin咚一x)=cosx和sin《+x)=cosx,有sin'-x)=sin(殳+x).

預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中，無

論a取任何實數(shù)，角生-a和弓+a的終邊總是關(guān)于y軸對稱

22

(見右圖)，他們的正弦值恒相等.

這樣我們就證明了等式sin(y—x)=sin咚+X)對任意

xeR恒成立，也就證明了正弦曲線關(guān)于直線》=匹對稱.

2

事實上，誘導(dǎo)公式sin(%-x)=sinx也可以由等式sine-x)=sin咚+x)推出，即這兩個

等式是等價的.因此，正弦曲線關(guān)于直線x=生對稱，是誘導(dǎo)公式sin(%-x)=sinx(xeR)

2

的幾何意義.

階段小結(jié)：我們從幾何直觀獲得啟發(fā)，又通過數(shù)據(jù)計算進(jìn)一步檢驗，得出正弦曲線關(guān)于

直線x對稱可以用等式sin('-x)=sin(5+x)(xeR)表示，通過對這一等式的嚴(yán)格證

明，證實了我們猜想的正確性.上述等式與誘導(dǎo)公式sin(〃-x)=sinx(xeR)的等價性，

使我們對這一誘導(dǎo)公式有了新的理解.

第二階段，抽象概括一一探索正弦曲線的其他對稱軸.

師生、生生交流，步步深入.

問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有什么特

點？

可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過圖象最大值點和最小值點且垂直于x軸的直線都是正弦曲線的對稱軸

(教師利用課件演示)，則對稱軸方程的一般形式為：X=-+k7T(左€Z).

2

問題二：能用等式表示“正弦曲線關(guān)于直線x=&+左〃(左eZ)對稱”嗎？

2

根據(jù)前面的研究，上述對稱可以用等式sing+左左-x)=sing+A7T+x)(左eZ,xeR)

表示.

請學(xué)生證明上述等式，然后組織學(xué)生交流證明思路.

「jrjrrr

證明預(yù)案：sin(y-\-kn-x)=sinpr一(萬一%乃+x)]=sin(j?-?丘萬+x)

乃7C

-sin[2上4+(--k7T+x)]=sin(y+左乃+x).

(二)對于正弦曲線中心對稱性的研究

我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)歹=sinx(xeR)是奇函數(shù)，即sin(-x)=-sinx(xeR),反映

在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點對稱.那么，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？請同學(xué)們參照軸

對稱的研究方法，小組合作進(jìn)行研究.

第一階段，對正弦曲線關(guān)于點(4,0)對稱的研究.

1.直觀探索一一從圖象上探索在點(匹0)兩側(cè)的函數(shù)值的變化規(guī)律.

2.數(shù)值檢驗一一在x=〃左右對稱地選取一組自變量，計算函數(shù)值并列表整理.

3.嚴(yán)格證明--證明等式sin(%-x)=-sin(%+x)對任意xeR恒成立.

預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(2%-a)=-sina,有sin(%-x)=sin[2%-(〃+x)]

=-sin(%+x).

預(yù)案二：根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(〃-x)=sinx和sin(〃+x)=-sinx，有

sin(%-x)=-sin(〃+x).

預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中，

任何實數(shù)，角〃-a和%+a的終邊總是關(guān)于x軸對稱(見

他們的正弦值互為相反數(shù).

事實上，等式sin(%-x)=-sin(%+x)與誘導(dǎo)公式

sin(2%-x)=-sinx是等價的.這樣，正弦曲線關(guān)于點(%,0)對稱，是誘導(dǎo)公式

sin(2^-x)=-sinx(xeR)的幾何意義.

第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.

請同學(xué)嘗試解決下列三個問題:

1.歸納正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)的一般形式.

正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)的一般形式為：(左1,0)(左eZ)(教師利用課件演示).

2.用等式表示“正弦曲線關(guān)于點(AT,0)(kwZ)對稱”.

上述對稱可以用等式sin(癡'-x)=-sin(br+x)(%eZ,xeR)表示.

3.證明歸納出的等式.(根據(jù)課堂情況可以由學(xué)生課后完成證明)

三、課堂小結(jié)

1.課堂小結(jié)

(1)知識上：得出了正弦函數(shù)圖象對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo)的一般形式，研究了對

稱性的代數(shù)表示形式，并利用誘導(dǎo)公式完成了嚴(yán)格的理論證明.在研究的過程中，對誘導(dǎo)公

式sin(乃-x)=sinx與sin(2%-x)=-sinx(xeR)有了新的理解，感受了正弦函數(shù)的對稱

性以及數(shù)和形的辨證統(tǒng)一.

(2)方法上：直觀f抽象，特殊—一般，體驗了觀察一歸納一猜想一嚴(yán)格證明的研究

方法.

2.作業(yè)

(1)總結(jié)課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦函數(shù)圖象的對稱性，并結(jié)合自己的

研究過程和結(jié)論寫出研究報告，與其他同學(xué)交流收獲.

(2)找一個一般函數(shù)，如》=“+5出-。為常數(shù)且aeR,研究它的圖象及對稱性；

并與正弦函數(shù)的圖象及對稱性進(jìn)行比較.

(3)思考：如何用等式表示函數(shù)/(X)關(guān)于直線x=a對稱，以及關(guān)于點(a,6)對稱？