線代測試題及詳細(xì)答案

線代測試題及詳細(xì)答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.下列矩陣中，哪個矩陣是方陣？

A.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)

2.若矩陣\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的特征值中至少有一個是？

A.0

B.1

C.-1

D.不確定

3.下列矩陣中，哪個矩陣是可逆的？

A.\(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

4.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的特征值一定是？

A.正數(shù)

B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)

D.非正數(shù)

5.若矩陣\(A\)和\(B\)均為\(n\timesn\)矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

6.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，\(B\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

7.若矩陣\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的特征值一定是？

A.正數(shù)

B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)

D.非正數(shù)

8.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，\(B\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

9.若矩陣\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的特征值中至少有一個是？

A.0

B.1

C.-1

D.不確定

10.下列矩陣中，哪個矩陣是方陣？

A.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)

11.下列矩陣中，哪個矩陣是可逆的？

A.\(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

12.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的特征值一定是？

A.正數(shù)

B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)

D.非正數(shù)

13.若矩陣\(A\)和\(B\)均為\(n\timesn\)矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

14.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，\(B\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

15.若矩陣\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的特征值中至少有一個是？

A.0

B.1

C.-1

D.不確定

16.下列矩陣中，哪個矩陣是方陣？

A.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)

17.下列矩陣中，哪個矩陣是可逆的？

A.\(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

18.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的特征值一定是？

A.正數(shù)

B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)

D.非正數(shù)

19.若矩陣\(A\)和\(B\)均為\(n\timesn\)矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

20.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，\(B\)是一個\(n\timesn\)的實(shí)對稱矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)的關(guān)系是？

A.\(A\)和\(B\)必定相似

B.\(A\)和\(B\)必定合同

C.\(A\)和\(B\)必定可交換

D.\(A\)和\(B\)必定可逆

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.每個二次型都可以通過配方化為標(biāo)準(zhǔn)形。

2.兩個矩陣乘積的行列式等于它們行列式的乘積。

3.任意兩個實(shí)對稱矩陣合同。

4.每個矩陣都可以通過初等行變換化為行階梯形矩陣。

5.兩個矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩。

6.兩個矩陣合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的特征值。

7.兩個矩陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的特征多項(xiàng)式。

8.若矩陣\(A\)的特征值全部為正，則\(A\)是可逆的。

9.兩個矩陣的逆矩陣的乘積等于它們的乘積的逆矩陣。

10.若矩陣\(A\)的行列式不為零，則\(A\)的逆矩陣存在。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的秩的定義及其性質(zhì)。

2.如何判斷一個矩陣是否可逆？

3.什么是矩陣的相似對角化？簡述其條件。

4.如何求一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系，并舉例說明。

2.論述矩陣相似和合同的概念，并說明它們在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

試卷答案如下

一、多項(xiàng)選擇題答案及解析：

1.C（方陣的定義是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。）

2.A（若矩陣的行列式為0，則至少有一個特征值為0。）

3.D（單位矩陣是可逆的，其逆矩陣是它本身。）

4.C（實(shí)對稱矩陣的特征值一定是非負(fù)數(shù)。）

5.C（若\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)必定可交換。）

6.A（實(shí)對稱矩陣\(A\)和\(B\)必定相似。）

7.C（實(shí)對稱矩陣的特征值一定是非負(fù)數(shù)。）

8.A（實(shí)對稱矩陣\(A\)和\(B\)必定相似。）

9.A（若矩陣的行列式為0，則至少有一個特征值為0。）

10.C（方陣的定義是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。）

11.D（單位矩陣是可逆的，其逆矩陣是它本身。）

12.C（實(shí)對稱矩陣的特征值一定是非負(fù)數(shù)。）

13.C（若\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)必定可交換。）

14.A（實(shí)對稱矩陣\(A\)和\(B\)必定相似。）

15.A（若矩陣的行列式為0，則至少有一個特征值為0。）

16.C（方陣的定義是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。）

17.D（單位矩陣是可逆的，其逆矩陣是它本身。）

18.C（實(shí)對稱矩陣的特征值一定是非負(fù)數(shù)。）

19.C（若\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)必定可交換。）

20.A（實(shí)對稱矩陣\(A\)和\(B\)必定相似。）

二、判斷題答案及解析：

1.錯（并非每個二次型都可以通過配方化為標(biāo)準(zhǔn)形，需要滿足正負(fù)慣性指數(shù)的條件。）

2.對（矩陣的行列式不為0時，矩陣是可逆的。）

3.對（兩個實(shí)對稱矩陣合同，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^相似變換化為對角矩陣。）

4.對（任意矩陣都可以通過初等行變換化為行階梯形矩陣。）

5.對（兩個矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩。）

6.錯（兩個矩陣合同并不意味著它們有相同的特征值。）

7.對（兩個矩陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的特征多項(xiàng)式。）

8.對（若矩陣的行列式不為0，則矩陣是可逆的。）

9.對（兩個矩陣的逆矩陣的乘積等于它們的乘積的逆矩陣。）

10.對（若矩陣的行列式不為零，則矩陣的逆矩陣存在。）

三、簡答題答案及解析：

1.矩陣的秩是矩陣行（或列）向量的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)。性質(zhì)包括：矩陣的秩等于其行階梯形矩陣的秩；若矩陣\(A\)可以表示為\(B\)的列（或行）向量組的線性組合，則\(A\)的秩不大于\(B\)的秩。

2.判斷矩陣是否可逆，可以通過計(jì)算其行列式是否不為0來判斷。若行列式不為0，則矩陣可逆；否則，矩陣不可逆。

3.矩陣相似對角化是指存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣。其