初中九年級數(shù)學人教版上冊《認識一元二次方程》（省級賽課公開課一等獎）課件

認識一元二次方程一元二次方程3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解決相關(guān)問題.1.理解一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的一般形式，確定各項系數(shù).2.靈活應用一元二次方程概念解決有關(guān)問題.學習目標沒有未知數(shù)，不是方程。不是等式，不是方程。一元一次方程二元一次方程不是等式，不是方程。(1)2＋3＝5(2)3x＋2(3)5x＋3＝18(4)x-2y＝5一元一次方程、二元一次方程、分式方程。分式方程在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2

米，

那么它的下部應設計為多高？ACB情景導入

雕像的上部高度AC與下部高度BC應有如下關(guān)系：AC：BC=BC：2。即BC2=2AC.設雕像下部BC高xm則AC=2-x得方程x2=2(2-x)整理得x2+2x-4=0.

①ACBx2-x

方程①中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？解：設苗圃的寬為xm，則長為(x＋2)m.根據(jù)題意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否為一元一次方程？

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600平方厘米,那么鐵皮各角應切去多大的正方形?

一元二次方程的概念知識點100cm50cm3600cm2實踐探究【分析】

設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為(100-2x)cm,寬為(50-2x)cm.

根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得。整理，得。（100-2x）（50-2x）=3600x2-75x+350=0x100cm50cm3600cm2一元二次方程探究：幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2

的地毯

,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同,你能求出這個寬度嗎？解：如果設所求的寬為x

m

,那么地毯中央長方形圖案的長為。

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化簡：2x2-

13x+11=0①該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？解：如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為：

,

,

,

.

根據(jù)題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？解：由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻

m。根據(jù)題意，可得方程：探究：如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？【思考】2x2-13x+11=0和x2-8x-20=0、x2+12x-15=0這兩個方程都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？區(qū)別特點（1）這兩個方程的兩邊都是整式；（2）都只含一個未知數(shù)x；（3）它們的未知數(shù)的最高次數(shù)都是2次的.未知數(shù)最高次數(shù)為2活動總結(jié)觀察上述方程①、②、③，它們有什么共同特點呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特點：1.只含有一個未知數(shù)；

2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3.整式方程．歸納總結(jié)

方程的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次項，

a是二次項的系數(shù)，bx是一次項，

b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．為什么規(guī)定a≠0，b，c可以為0嗎？知識要點等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的概念

ax2+bx

+c

=0(a，b，c為常數(shù)，

a≠0)ax2稱為二次項，

a

稱為二次項系數(shù).

bx

稱為一次項，

b

稱為一次項系數(shù).

c

稱為常數(shù)項.一元二次方程的一般形式是當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時。ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

。ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時。ax2

=0歸納：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實數(shù).ax2+bx+c=0二次項一次項常數(shù)項二次項系數(shù)一次項系數(shù)a≠0一元二次方程的項和各項系數(shù)例下列選項中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）。C不是整式方程含兩個未知數(shù)整理x2-3x+2=0a≠0A.

B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0

D.ax2+bx+c=0考點一元二次方程的識別方法總結(jié)：判斷一個方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡后再進行判斷．三個條件：①方程兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.必須同時滿足，缺一不可．應用舉例例

下列方程哪些是一元二次方程？為什么？7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指導】根據(jù)一元二次方程的概念進行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含兩個未知數(shù)；(3)不是整式方程；(5)不含ax2這一項．

判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

(1)x2+x=36例例

a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.利用一元二次方程的定義求字母的值考點方法總結(jié)：根據(jù)未知數(shù)最高次數(shù)為2，構(gòu)造方程，解出字母取值，并利用二次項系數(shù)不為0排除使二次項系數(shù)為0的字母取值，從而確定字母取值．

關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，當k_______時，是一元二次方程；當k_______時，是一元一次方程．【方法指導】當k2－1≠0，即k≠±1時，方程是一元二次方程．當k2－1＝0時，且2(k－1)≠0時，即k＝－1時是一元一次方程．例≠±1＝－1

一般地,任何一個關(guān)于x

的一元二次方程，經(jīng)過整理，都可以化為ax2+bx+c=0

的形式,我們把ax2+bx+c=0

(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

一元二次方程的一般形式知識點一元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項二次項一次項【思考】為什么要限制a≠0，b,c可以為零嗎？【結(jié)論】只要滿足a≠0，a,b,c可以為任意實數(shù).當a=0時

ax2+bx+c=0當a≠0，b=0時.ax2+bx+c=0當a≠0，c=0時.ax2+bx+c=0當a≠0，b=0,c=0時.ax2+bx+c=0

一元二次方程bx+c=0（一元一次方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程一元二次方程一般式相同點不同點【思考】一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？Ax+b=0

(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)整式方程，只含有一個未知數(shù).未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式.3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數(shù)是3；一次項是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10.例

二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是包括符號的.例把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項。方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3-8-1015020-1216-17一元二次方程二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項

42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1搶答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)3-8-10

一元二次方程解的概念知識點使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例下面哪些數(shù)是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3.解：當x＝－3時，左邊＝9－(－3)－2＝10.則左邊≠右邊.所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；下面幾個數(shù)同理可證.經(jīng)檢驗得－1，2為原方程的根.例

已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一個根為2，求m.

分析:

一個根為2，即x=2,只需把x=2代入原方程.

解：依題意把x＝2代入原方程，得.4（m-1）+6-5m+4=0整理，得

-m+6=0

解得

m=6.考點利用一元二次方程的解確定字母的值方法總結(jié)：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，在涉及方程根的題目中，我們一般是把這個根代入方程左右兩邊轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)的方程來解決問題.問題在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑三條寬相等的小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖要使花壇的總面積為570m2，問小路的寬應為多少？3220x

建立一元二次方程模型知識點1.若設小路的寬是xm，則橫向小路的面積是______m2，縱向小路的面積是

m2,兩者重疊的面積是

m2.32x2.由于花壇的總面積是570m2.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？整理以上方程可得思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=03220x想一想：還有其他的方法嗎？試說明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220審建立一元二次方程模型的一般步驟設找列審題，弄清已知量與未知量之間的關(guān)系。設未知數(shù)找出等量關(guān)系根據(jù)等量關(guān)系列方程如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？x8m1m7m6m10m圖估計一元二次方程的根知識點在問題中，梯子底端滑動的距離x（m）滿足方程(x+6)2+72=102，把這個方程化為一般形式為x2+12x–15=0.（1）小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎?為什么?（2）底端滑動的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎？為什么?不正確，因為x=1不滿足方程.不可能是2m，也不可能是3m.做一做（3）你能猜出滑動距離x（m）的大致范圍嗎？x的整數(shù)部分是幾？分位是幾？小亮把他的求解過程整理如下：x00.511.52x2+12x–15–15–8.75–25.2513所以1＜x＜1.5.進一步計算x1.11.21.31.41.5x2+12x–15–0.590.842.293.765.25所以1.1＜x＜1.2.因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1.用“夾逼”思想解一元二次方程的步驟：（1）在未知數(shù)x的取值范圍內(nèi)排除一部分取值；（2）根據(jù)題意所列的具體情況再次進行排除；（3）列出能反映未知數(shù)和方程的值的表格進行再次篩選；（4）最終得出未知數(shù)的最小取值范圍或具體數(shù)據(jù).

1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次項系數(shù)化為1，方程可變?yōu)?/p>

(

)。A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________。隨堂練習2x2－x－7＝0

C3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項．解：原方程化為一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次項是5x2，二次項系數(shù)是5，一次項是8x，一次項系數(shù)是8，常數(shù)項是－2.4.(1)如圖，已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程（其中π

取3）.解：由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得。根據(jù)題意有200cm150cm(2)如圖，據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率

x應滿足的方程.解：該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x。整理，得。

25x2＋50x－11＝0②根據(jù)題意有

75(1＋x)2＝108

1.

下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1基礎鞏固題2.填空：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項-21313-540-53-2

3.關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x

＋

2k

＋

2＝0,當k

時，是一元一次方程．當k

時，是一元二次方程．≠±1＝－14.已知方程5x2+mx-6=0的一個根為4，則m的值為_______．如圖，據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x