《備考指南一輪·數(shù)學(xué)·》課件-第8章 第3講

立體幾何第八章第3講直線、平面平行的判定與性質(zhì)高考要求考情分析1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理．2．能運(yùn)用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題直線與平面平行，常在解答題第1問中考查，或者作為選擇題的一個選項，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理此平面內(nèi)l∥a

a?α

l?α

交線l∥α

l?β

α∩β＝b

2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理相交直線a∥β

b∥β

a∩b＝P

a?α，b?α

相交交線α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

[特別提醒]平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.1．下列命題中，正確的是(

)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α【答案】D2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β

”是“α∥β

”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B

3．(2019年成都月考)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中(

)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線【答案】A

【解析】當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時，不存在與a平行的直線．故選A．4．(2019年衡水開學(xué)考試)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．【答案】平行四邊形

【解析】因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．【答案】平行1．在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤．2．在面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．3．如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認(rèn)為這兩個平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．(

)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2與線、面平行相關(guān)命題的判定

(1)(2019年開封模擬)在空間中，a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是(

)A．若a⊥c，b⊥c，則a∥bB．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bD．若α∥β，a?α，則a∥β

(2)(2019年聊城模擬)下列四個正方體中，A，B，C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)【答案】(1)D

(2)B【解析】(1)對于A，若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行、異面、相交，故A是假命題；對于B，設(shè)α∩β＝m，若a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對于C，a，b可能平行、異面、相交，故C是假命題；對于D，若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點(diǎn)，則a∥β，故D是真命題．(2)在B中，如圖，連接MN，PN，因?yàn)锳，B，C為正方體所在棱的中點(diǎn)，所以AB∥MN，AC∥PN.因?yàn)镸N∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF.因?yàn)锳B∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF.【規(guī)律方法】(1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項．(2)①結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷；②特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．【跟蹤訓(xùn)練】1．(1)(多選題)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個必要條件是(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α【解析】(1)對于選項A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項A的內(nèi)容是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的內(nèi)容也是α∥β的一個必要條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件．故選ABC．對于③，由①知，A，P，M三點(diǎn)共線是正確的．對于④，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．直線與平面平行的判定與性質(zhì)

如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)．求證：PQ∥平面ABCD.【證明】方法一：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA.又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD.又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因?yàn)镻G∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.【規(guī)律方法】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的定義(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.面面平行的判定與性質(zhì)

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，【遷移探究1】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.【規(guī)律方法】(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．(2)面面平行條件的應(yīng)用①兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行．②兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行．特別提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線．【跟蹤訓(xùn)練】3．(2019年南昌二模)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F－DCE的體積．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年開封模擬)下列條件中，能判斷平面α與平面β平行的是(

)A．α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行B．α與β同時平行于同一條直線C．α與β同時要垂直于同一條直線D．α與β同時垂直于同一個平面【考查角度】平面與平面平行．【考查目的】考查學(xué)生的空間想象能力，體現(xiàn)對直觀想象的核心素養(yǎng)的把握．【思路導(dǎo)引】利用面面平行的判定直接判斷即可．【解析】對于A，若α內(nèi)有無窮多條平行的直線與β平行，則不能說明α平行β；對于B，平行于同一條直線的兩個平面可能不平行，還可以相交；對于C，垂直于同一條直線的兩平面平行；對于D，垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，還可以垂直．綜上，選項C正確．故選C．【答案】C【拓展延伸】1．三種平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化2．證明平行問題應(yīng)注意的兩個問題(1)在推證線面平行時，必須滿足三個條件：一是直線a在已知平面外，二是直線b在已知平面內(nèi)，三是兩直線平行．(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行．【真題鏈接】

1．(2017年新課標(biāo)Ⅰ)如圖所示，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中