《備考指南一輪 數(shù)學》課件-第8章 第1講

第八章第1講[A級基礎達標]1．(2020年新余模擬)如圖，一圓錐形物體的母線長為4，其側面積為4π，則這個圓錐的體積為()A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(\r(15),3)π D．eq\f(8\r(3),3)π【答案】C【解析】圓錐的展開圖為扇形，半徑R＝4，側面積為扇形的面積，所以扇形的面積S1＝eq\f(1,2)αR2＝4π，解得α＝eq\f(π,2).所以弧長l＝αR＝2π.所以底面周長為2π.由此可知底面半徑r＝1，所以底面面積為S＝π，圓錐體的高為h＝eq\r(15).故圓錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(15),3)π.故選C．2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B【解析】設球的半徑為R，表面積等于16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3．(2019年婁底期末)已知一個圓柱的高是底面圓半徑的2倍，則該圓柱的側面積與表面積的比值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)【答案】C【解析】設圓柱底面半徑為r，則高h＝2r，該圓柱的側面積為2πr·h＝4πr2，表面積為4πr2＋2πr2＝6πr2.故該圓柱的側面積與表面積的比值為eq\f(4πr2,6πr2)＝eq\f(2,3).故選C．4．(2019年淮安期末)已知一個正四棱錐的底面邊長為2，高為eq\r(3)，則該正四棱錐的表面積為()A．8 B．12C．16 D．20【答案】B【解析】如圖，四棱錐P－ABCD為正四棱錐，高OP＝eq\r(3)，底面邊長AB＝2.過O作OG⊥BC，垂足為G，連接PG，則斜高PG＝eq\r(1＋3)＝2.所以正四棱錐的表面積是S＝2×2＋4×eq\f(1,2)×2×2＝12.故選B．5．(2019年南京期中)已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側棱長為10，則該棱臺的側面積為()A．80 B．240C．320 D．640【答案】B【解析】作出一個側面等腰梯形的高，也是棱臺的斜高，則由等腰梯形的性質，可得斜高h′＝eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－4,2)))2)＝8.再用棱臺側面積公式，得棱臺的側面積為S側＝3×eq\f(1,2)(4＋16)×8＝240.故選B．6．(2019年泉州期末)兩直角邊分別為1，eq\r(3)的直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周，得到的幾何體的表面積是()A．eq\f(3＋\r(3),2)π B．3πC．eq\f(9＋2\r(3),4)π D．(3＋2eq\r(3))π【答案】A【解析】由題知該幾何體為兩個圓錐底對底組合在一起，其中若L1＝1，R1＝eq\f(\r(3),2)與L2＝eq\r(3)，R2＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)π×1＋eq\f(1,2)×eq\r(3)π×eq\r(3)＝eq\f(3＋\r(3),2)π.故選A．7．(2019年上海期末)圓錐的母線長是eq\r(3)，高是eq\r(2)，則其側面積是________．【答案】eq\r(3)π【解析】已知圓錐的母線長為eq\r(3)，高為eq\r(2)，則該圓錐的底面半徑為1.圓錐的底面周長為2π，所以圓錐的側面積為eq\f(1,2)×2π×eq\r(3)＝eq\r(3)π.8．如圖，一個圓錐的底面半徑為2，高為4，在其中有一個高為x的內接圓柱．(1)求圓柱的側面積；(2)當x為何值時，圓柱的側面積最大？【解析】(1)如圖，設內接圓柱底面半徑為r.S圓柱側＝2πr·x…①因為eq\f(r,2)＝eq\f(4－x,4)，所以r＝eq\f(1,2)(4－x)…②將②代入①，S圓柱側＝2πx·eq\f(1,2)(4－x)＝π(－x2＋4x)(0＜x＜4)．(2)因為S圓柱側＝π(－x2＋4x)＝π[－(x－2)2＋4]，所以x＝2時，S圓柱側最大＝4π.[B級能力提升]9．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該正四棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為()A．eq\f(81π,4) B．eq\f(243π,16)C．9π D．16π【答案】B【解析】如圖所示，R2＝(4－R)2＋2，所以R2＝16－8R＋R2＋2，所以R＝eq\f(9,4)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(243π,16).10．(2020年廣州模擬)三棱柱ABC－A1B1C1的側棱垂直于底面，且AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝AA1＝2，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．48π B．32πC．12π D．8π【答案】D【解析】因為三棱柱ABC－A1B1C1的側棱垂直于底面，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝AA1＝2，所以三棱柱擴展為長方體，體對角線為外接球的直徑．設外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(2＋2＋4)＝2eq\r(2)，所以R＝eq\r(2).所以外接球的半徑為eq\r(2)，所以球的表面積等于4π×(eq\r(2))2＝8π.故選D．11．(2020年南昌模擬)如圖，一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個高為x的內接圓柱，當該圓柱的體積最大時，x＝()A．2 B．3C．4 D．5【答案】A【解析】因為圓錐的底面半徑為2，高為6，所以內接圓柱的底面半徑為r時，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為3r，所以內接圓柱的高h＝6－3r.所以圓柱的體積V＝πr2(6－3r)＝6πr2－3πr3(0＜r＜2)．V′＝12πr－9πr2(0＜r＜2)，令V′＝0，得r＝eq\f(4,3)，(r＝0舍去)，當0＜r＜eq\f(4,3)時，V′＞0；當eq\f(4,3)＜r＜2時，V′＜0，所以當r＝eq\f(4,3)時，該圓柱的體積最大，此時內接圓柱的高h＝6－3r＝2.故選A．12．(2020年湖北一模)已知圓錐的頂點為S，母線SA與圓錐底面所成的角為30°，若圓錐的體積為8π，則此圓錐的側面積為________．【答案】8eq\r(3)π【解析】如圖所示，由題意設圓錐的高為h，則底面半徑為eq\r(3)h，母線長為l＝2h，所以圓錐的體積為V圓錐＝eq\f(1,3)π·3h2·h＝8π，解得h＝2，r＝2eq\r(3)，l＝4.所以此圓錐的側面積為S側面積＝πrl＝π×2eq\r(3)×4＝8eq\r(3)π.13．(2020年大慶月考)如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2eq\r(3)，AB＝eq\r(6)，則四棱錐P－ABCD外接球的體積為________．【答案】eq\f(32π,3)【解析】取AC與BD的交點，記為T，連接PT，由對稱性可知PT⊥底面ABCD，且外接球的球心必在PT上．設外接球半徑為R，球心為O，作出剖面圖如圖所示，則在Rt△OBT中，由勾股定理有R2＝(eq\r(3))2＋(3－R)2，解得R＝2，因此，外接球的體積為V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3).14．有一矩形ABCD硬紙板材料(厚度忽略不計)，邊AB的長為6分米，其鄰邊足夠長．現(xiàn)從中截取矩形EFHG(如圖甲所示)，再剪去圖中陰影部分，剩下的部分恰好能折成一個底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示，重疊部分忽略不計)，其中OEMF是以O為圓心、∠EOF＝120°為圓心角的扇形，且弧eq\x\to(EF)，eq\x\to(GH)分別與邊BC，AD相切于點M，N.(1)當BE的長為1分米時，求折成的包裝盒的容積；(2)當BE的長是多少分米時，折成的包裝盒的容積最大？【解析】(1)在題圖甲中，連接MO交EF于點T.設OE＝OF＝OM＝R分米，在Rt△OET中，因為∠EOT＝eq\f(1,2)∠EOF＝60°，所以OT＝eq\f(R,2)，則MT＝OM－OT＝eq\f(R,2).從而BE＝MT＝eq\f(R,2)，即R＝2BE＝2.故所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)))平方分米．又柱體的高EG＝4分米，所以V＝S·EG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))立方分米．故當BE長為1分米時，折成的包裝盒的容積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))立方分米．(2)設BE＝x分米，則R＝2x分米，所以所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)))x2平方分米．又柱體的高EG＝(6－2x)分米，所以V＝S·EG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)－2\r(3)))(－x3＋3x2)，其中0＜x＜3.令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)，則由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘所以當x＝2時，f(x)取得極大值，也是最大值．故當BE的長為2分米時，折成的包裝盒的容積最大．[C級創(chuàng)新突破]15．(多選題)(2020年濰坊模擬)等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π【答案】AB【解析】若繞一條直角邊旋轉一周時，則圓錐的底面半徑為1，高為1，所以母線長l＝eq\r(2)，這時表面積為π·1·l＋π·12＝(1＋eq\r(2))π；若繞斜邊一周時旋轉體由兩個倒立圓錐對底組合在一起，且由題意底面半徑為eq\f(\r(2),2)，一個圓錐的母線長為1，所以表面積S＝2·π·eq\f(\r(2),2)·1＝eq\r(2)π.故選AB．16．(一題兩空)(2020年濱州模擬)在四面體S－ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，則該四面體體積的最大值為________，此時四面體外接球的表面積為________．【答案】eq\f(\r(30),6)8π【解析】四面體的體積最大時即面SAB⊥面ABC，SA＝SB＝2.又SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，所以∠ACB＝90°.取AB的中點H，連接CH，SH，SH⊥AB，面SAB∩面ABC＝AB，SH在面SAB內，而SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，所以SH⊥面A