2024北京理工大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京理工大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)考試時(shí)間90分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1．的值等于（）A． B． C． D．2．已知平面向量，，且，則（）A． B． C．1 D．33．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，那么（）A．4 B．2 C． D．15．已知，，是非零向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為（）A． B．C． D．7．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)．若，，，則（）A． B． C． D．9．已知向量，，其中，則的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．110．一粒子在平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．在時(shí)刻，粒子從點(diǎn)出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)該粒子在時(shí)刻的位置對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則坐標(biāo)，隨時(shí)間變化的圖象可能是（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．）11．已知向量，滿足，，，則______．12．已知，且為第二象限角．則______．13．已知，，則______．14．若與關(guān)于軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符合題意的值______．15．已知函數(shù)（其中）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；②若，函數(shù)的最小值是；③若，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④若，函數(shù)圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題16．（本小題10分）某同學(xué)用五點(diǎn)法作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)作出函數(shù)的圖象；（Ⅱ）將的圖象向右平移（）個(gè)單位，得到的圖象，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求的最小值．17．（本小題10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的定義域及最小正周期；（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．18．（本小題10分）已知函數(shù)，其中．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（本小題10分）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在使得，則稱具有性質(zhì)．（Ⅰ）判斷是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若，且具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)，求證：且當(dāng)時(shí)，．

參考答案一、選擇題1.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，從而可求解.【詳解】由題意可得，故D正確.故選：D.2.【分析】由兩向量平行坐標(biāo)間的關(guān)系可求解.【詳解】由題意知，所以，解得，故A正確.故選：A.3.【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】解：在區(qū)間上，，沒(méi)有單調(diào)性，故排除A.在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除B.在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.【分析】利用化簡(jiǎn)，再結(jié)合數(shù)量積的定義可求該式的值.【詳解】,因?yàn)?，?而為的中點(diǎn)，故，故.故選：B5.【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】充分性：由題意知，，為非零向量，當(dāng)時(shí)，可得，故充分性滿足；必要性：當(dāng)時(shí)，即，解得或，故必要性不滿足；所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.6.【分析】先由兩相鄰最值點(diǎn)與周期關(guān)系求解，再代入最值點(diǎn)求解.【詳解】由圖象知，，解得，將最大值點(diǎn)代入得，，解得，又，則，即.故選：A.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)圖象，確定其解析式的步驟：（1）求，，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則.（2）求，確定函數(shù)的周期T，則.（3）求，將圖象上的已知點(diǎn)代入解析式，求解時(shí)注意點(diǎn)在上升區(qū)間還是下降區(qū)間.如果已知圖象上有最值點(diǎn)，最好代入最值點(diǎn)求解.7.【分析】由在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，可得，從而得【詳解】由題意知區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確.故選：C.8.【分析】由題意并根據(jù)可得，由三角函數(shù)定義知，然后應(yīng)用差角余弦公式計(jì)算求值即可.【詳解】由題意，設(shè)，由已知A的坐標(biāo)并結(jié)合三角函數(shù)的定義得，則.故選：C9.【分析】先求，然后求解，又由，從而可求解.【詳解】由題意得，所以，又因?yàn)?，所以，所以的最大值為，故B正確.故選：B.10．【分析】根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡得到周期，進(jìn)而得到和的周期，觀察圖象即可.【詳解】由題知，粒子從為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為兩個(gè)周期，函數(shù)的周期是函數(shù)的周期的倍.對(duì)于A，的周期為，的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周期為，的周期為，故B正確；對(duì)于C，的周期為，的周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的周期為，的周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11.【分析】利用向量數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題知，所以.故答案為：.12.【分析】由為第二象限角可求出，再利用正弦函數(shù)二倍角公式即可求解.【詳解】由題意知且α為第二象限角，所以，所以.故答案為：.13．答案－eq\f(2π,3)或eq\f(5π,6)解析∵在(0,2π)內(nèi)，cos

eq\f(3π,4)＝cos

eq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，∴x－eq\f(π,12)＝eq\f(3π,4)＋2kπ或x－eq\f(π,12)＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(5π,6)＋2kπ或x＝eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，又x∈(－π，π)，∴x＝－eq\f(2π,3)或x＝eq\f(5π,6).14.【分析】先由關(guān)于軸對(duì)稱得出關(guān)系式，再由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意得，，由誘導(dǎo)公式知，顯然滿足題意，解得.故答案為：（答案不唯一）.15.【分析】當(dāng)，得，從而可對(duì)①②判斷；當(dāng)，，從而可對(duì)③判斷；由圖象向左平移可對(duì)④判斷；【詳解】對(duì)①②：當(dāng)，，因，所以當(dāng)時(shí)，，故②正確；當(dāng)時(shí)，，故①正確；對(duì)③④：當(dāng)，，當(dāng)，，故③正確；將圖象向左平移得，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題16.解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得，A＝2，eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)，所以T＝π，則ω＝eq\f(2π,π)＝2，當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，ωx＋φ＝eq\f(π,2)，則φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表（3分）：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)eq\f(13π,12)f(x)020－20作出函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示（3分）．(2)（4分）由題意可得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－θ－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－2θ－\f(π,6)))，因?yàn)閥＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則－2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得θ＝－eq\f(π,3)－eq\f(kπ,2)，k∈Z，又θ＞0，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，θmin＝eq\f(π,6).17.18.解：選②．（Ⅰ）題設(shè)． 所以． 因?yàn)?，所以? 所以． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ） ． 因?yàn)椋裕? 于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值； 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值． 又，即時(shí)，． 所以的取值范圍是． 選③．（Ⅰ）． 整理得． 以下同選②．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)新定義直接判斷即可．（Ⅱ）在Y中?。剑▁，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x＝2b，結(jié)合x(chóng)＞2，可得x的值．（Ⅲ）?。剑▁1，x1），＝（s，t）根據(jù)?＝0，化簡(jiǎn)可得s+t＝0，所以s、t異號(hào)．而﹣1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為﹣1，另一個(gè)數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過(guò)反證法，可以證明出當(dāng)xn＞1時(shí)，x1＝1．【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}具有性質(zhì)P．（Ⅱ）選?。剑▁，2），Y中與垂直的元素必有形式（﹣1，b）．所以x＝2b，從而x＝4；（III）證明：?。剑▁1，x1）∈Y，設(shè)＝（s，t）∈∈Y滿足?＝0．由（s+t）x1＝0得s+t＝0，所以s、t異號(hào)．因?yàn)椹?是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中之一為﹣1，另一為1，故1∈X．假設(shè)xk＝1，其中1＜