黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合A=x|x2?4A．x?3<C．x?3<2．已知平面向量a=1,?2，b=?A．5 B．5 C．37 D．373．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若n?α，n//β，則α//β C．若α⊥β，β⊥γ，則α//γ 4．復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且z1A．?1 B．1 C．i D．5．對(duì)于銳角α，滿足3sinα=41A．45 B．35 C．346．正項(xiàng)等差數(shù)列an中，a4=1，則A．92 B．5 C．527．已知函數(shù)fx=logax（a>0，a≠1A．0<a<12 B．a(chǎn)>8．已知函數(shù)fx=32sinxcosx?12A．29π3 B．32π3 C．二、多選題9．某高中為了解該校學(xué)生的體質(zhì)情況，對(duì)全校同學(xué)進(jìn)行了身體素質(zhì)測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取所有測(cè)試同學(xué)中的100名，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這一部分同學(xué)的體測(cè)分?jǐn)?shù)均介于40至100之間；為進(jìn)一步分析該校學(xué)生體質(zhì)情況，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理得到如下所示頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)=0.010C．估計(jì)樣本的40%分位數(shù)為66分 D．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于眾數(shù)10．已知Px0,y0為雙曲線C:x24?y212=1上一點(diǎn)，F(xiàn)A．x0=6 B．C．PF1=14 11．如圖，已知側(cè)棱長為2的直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A．當(dāng)AB=23時(shí)，異面直線AB．當(dāng)AB=2時(shí)，直線ARC．AR的最大值是D．三棱錐A1?三、填空題12．若在(1+ax)513．已知隨機(jī)事件M，N．若PN=25，PMN14．在△ABC中，△ABC的面積為2，且四、解答題15．設(shè)函數(shù)fx=a(1)若fx在x=1處切線為y(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈0,2時(shí)，函數(shù)16．為研究某籃球運(yùn)動(dòng)員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)某賽季該球員出場(chǎng)情況與比賽結(jié)果的數(shù)據(jù)如下表：球隊(duì)贏球球隊(duì)輸球總計(jì)參加301242未參加202040總計(jì)503282(1)根據(jù)小概率值α=(2)為進(jìn)一步研究該球員對(duì)球隊(duì)的影響作用，現(xiàn)從他參賽的10場(chǎng)比賽（其中贏球場(chǎng)次3場(chǎng)，輸球場(chǎng)次7場(chǎng)）中隨機(jī)抽取2場(chǎng)，用隨機(jī)變量X表示贏球的場(chǎng)數(shù)．求隨機(jī)變量X的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差．參考公式：χ2=nP0.100.050.0250.010x2.7063.8415.0246.63517．已知數(shù)列an滿足a1=5，an(1)求證：bn(2)設(shè)cn=2n+1bn，數(shù)列cn的前n18．已知等腰△ABC中，∠B=2π3，AB=BC=4，D是線段AC上一點(diǎn)，現(xiàn)將△(1)若D為AC中點(diǎn)，求證：D(2)若AD=①求平面BCD和平面②設(shè)E為BD的中點(diǎn)，過E作平面截三棱錐A19．橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，K為橢圓E上動(dòng)點(diǎn)（異于A，B），直線KF與橢圓E交于另一點(diǎn)H．若直線AK與HB交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P(3)在（2）的條件下，設(shè)直線KB與直線l交于Q點(diǎn)，橢圓E在點(diǎn)K處的切線l′與l交于①求證：KP②求△KPQ面積S答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CBDABBCCABCAD題號(hào)11答案ACD1．C【分析】解一元二次不等式求出集合A，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由x2?4x≤所以A=x|x2又B=x?故選：C2．B【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示及模長公式即可求解.【詳解】b?因?yàn)閍?可得：1×x+1=所以b=故選：B3．D【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若n?α，n//β，則對(duì)于B：若m//n，n//α，則對(duì)于C：若α⊥β，β⊥γ，則對(duì)于D：若m⊥α，m?故選：D4．A【分析】首先求出z2【詳解】因?yàn)閦1=?又點(diǎn)?1,1關(guān)于直線y=x所以z1故選：A5．B【分析】由三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)已知條件可得3cosα2=4【詳解】3根據(jù)二倍角公式可得：3×化簡(jiǎn)得6sin因?yàn)棣潦卿J角，所以0<α2等式兩邊同時(shí)除以2sinα3cos又因?yàn)閟in2聯(lián)立方程組①②可得：sin2α因?yàn)?<α2則sinα故選：B.6．B【分析】設(shè)公差為dd≥0，由a4=a1【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d因?yàn)閍4=a1+3d所以35所以3=61+當(dāng)且僅當(dāng)61+3故選：B7．C【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)整理，將問題轉(zhuǎn)化成討論一元二次方程有正根，利用根的判別式以及韋達(dá)定理討論根的情況即可求出a的取值范圍.【詳解】由題意，2fax則ax2=根據(jù)函數(shù)定義域可知，x>0，且a≠因?yàn)棣?9a則x當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)，x1所以0<故選：C.8．C【分析】由輔助角公式將方程轉(zhuǎn)化成sin2【詳解】fx則fx=1即sin∵x∈π6令θ=2x函數(shù)y=sinθ由圖可知，y=sinθ所以：其中θ1即2x1+解得x1所以x1故選：C9．ABC【分析】結(jié)合頻率分布直方圖逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由0.005+可得：a=對(duì)于B：樣本中得分不低于80分的頻率0.01+故樣本中得分不低于80分的同學(xué)有100×對(duì)于C：第一個(gè)矩形面積為0.1，第二個(gè)矩形面積為0.15，第三個(gè)矩形面積為0.25，0.1+0.15=所以樣本的40%分位數(shù)：60+對(duì)于D：平均數(shù)為：45×眾數(shù)為：75，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10．AD【分析】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，Px0,y0，根據(jù)已知條件，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線的定義，求出x0=6，y0=4【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，D，E，F(xiàn)分別為⊙I與△由切線長定理以及雙曲線的定義，得2=x∴xD=a設(shè)Px0,y0，由G把x0=6代入雙曲線C：x∴PF∴PF所以S△若點(diǎn)P在第二象限，則2a=PF2設(shè)△PF1則S△又S△∴16r=16故選：AD.11．ACD【分析】連接A1B，利用余弦定理即可判斷A；證明AB⊥平面BCC1B1，即可得到∠ARB為直線AR與平面BCC1B1成角，即可判斷B；取BC的中點(diǎn)M【詳解】在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面AB對(duì)于A：當(dāng)AB=23時(shí)，又所以AC=23，連接A1所以∠A1C1B為異面直線A即異面直線AC與BC1對(duì)于B：當(dāng)AB=2即12=AC2+所以AB2+BC2=AC2，即AB又BC∩CC1=C，B所以∠ARB為直線AR與平面BC則∠ARB=π4，所以直線對(duì)于C：取BC的中點(diǎn)M，連接RM、AM，則R又CC1⊥平面ABC，所以RM⊥平面A由余弦定理BC2=所以AC2+AB因?yàn)锳M==1所以AMmax=3，又所以AR的最大值是1對(duì)于D：過點(diǎn)B作BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，因?yàn)镃C1⊥平面又AC∩CC1=C，A又BD所以VA由C可知AC?AB≤故選：ACD12．2【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3得【詳解】(1+a令x=3的展開式中x3∵展開式中x3的系數(shù)為80，∴10a∴a=故答案為：2.13．25/【分析】根據(jù)條件概率求出PMN，再由和事件的概率公式求出【詳解】因?yàn)镻N=25，又PM所以PM所以PN故答案為：214．6【分析】設(shè)AB=xx>0，則BC【詳解】設(shè)AB=x由S△AB由余弦定理得AC令y=10?即82+y所以sin(B+得y2≥36，解得y≥6或y解得AC≥6或AC≤故答案為：615．(1)5(2)a=【分析】（1）求導(dǎo)，由f′1=a?2=0求出（2）求定義域，求導(dǎo)，分a≤0，a>【詳解】（1）f′fx在x=1處切線為y=b故fx=2x?所以a+（2）存在a=fx的定義域?yàn)?,+當(dāng)a≤0時(shí)，f′故fx在x所以fxmin=當(dāng)a>0時(shí)，令f′x>0得，若a>1，則2a<2，故f故fxmin=若0<a≤1，則2a故fxmin=綜上，a=16．(1)該球隊(duì)贏球與該球員參賽有關(guān)聯(lián)；(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望EX=【分析】（1）設(shè)零假設(shè)，求出χ2（2）利用古典概型結(jié)合組合數(shù)計(jì)算，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差公式計(jì)算求解.【詳解】（1）設(shè)零假設(shè)為H0則χ2根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷（2）由題意，隨機(jī)變量X所有可能取值為0則PPP所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X012P771數(shù)學(xué)期望E方差D17．(1)證明見解析(2)?【分析】（1）證明bn+1bn（2）先求出cn，根據(jù)cn通項(xiàng)公式的特征，采用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和Sn，題設(shè)化簡(jiǎn)為?1n【詳解】（1）由已知，∵a∴an+1=又∵a1=∴數(shù)列bn中任意一項(xiàng)不為0,b∴數(shù)列bn是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，b（2）由第（1）問知，bn則cn=2n+12所以Sn12所以①-②可得：12所以Sn由?1nλ化簡(jiǎn)得?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有?λ<5而5×12當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有λ<而5?5×綜上，λ的取值范圍為?518．(1)證明見解析(2)①255；②【分析】（1）由D為AC中點(diǎn)，得到BD⊥A′D,（2）①在由AD=2DC，得到A′D,DC得到長，由余弦定理求得BD=433，得到所以△BCD為等腰三角形，且∠DBC=π6，再由②以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐A′?BCD的外接球的球心為O，求得球心的坐標(biāo)為(2,23,2)，半徑為【詳解】（1）證明：如圖（1）所示，在等腰△A因?yàn)锳B=BC=4，且D為又因?yàn)锳′D∩DC=D，且A因?yàn)锳′C?平面A（2）解：①在等腰△ABC中，∠B=因?yàn)锳D=2DC在△BCD中，由余弦定理得BD2所以△BCD所以∠A′B又因?yàn)槠矫鍭′BD和平面BCD所成的二面角為θ因?yàn)锳′B?平面A′BD，且平面A′又因?yàn)镃D?平面BC如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥CD，因?yàn)锳′所以CD⊥平面因?yàn)锳′H?平面A所以∠A′HB為平面在直角△BCH在直角△A′HB中，可得所以平面BCD和平面A②以B為原點(diǎn)，以BD,BA′分別為y軸，z軸，以在平面BCD則A′設(shè)三棱錐A′?B則球心O在底面BCD上的投影為△B球心O在yOz上的投影點(diǎn)為直角△A′B所以球心的坐標(biāo)為(2,2又由E為BD的中點(diǎn)，可得E(0當(dāng)OE與過點(diǎn)E設(shè)所截小圓的半徑為r，則r=所以過E作平面截三棱錐A′?B19．(1)x(2)證明見解析(3)①證明見解析；②2【分析】（1）結(jié)合圖形可得a,（2）聯(lián)立直線KH與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得關(guān)系式3(y1+y2)=（3）①求出切線l′方程，依次求出R,P,Q坐標(biāo)，得R為PQ中點(diǎn)，進(jìn)而由向量極化恒等式可證；②利用點(diǎn)【詳解】（1）圓M:(x?6圓N:x2+(由題意橢圓E與兩圓都外切，結(jié)合圖形可知，a=故橢圓E的方程為x2（2）由橢圓E的方程為x24+由題意知，KH不垂直于y軸，故可設(shè)直線K由焦點(diǎn)F在橢圓內(nèi)，則直線KH設(shè)K(聯(lián)立直線