2025版高考數(shù)學大一輪復習第九章平面解析幾何5第5講橢圓第1課時橢圓及其性質(zhì)新題培優(yōu)練文含解析新人教A版

PAGE1-第1課時橢圓及其性質(zhì)[基礎題組練]1．已知正數(shù)m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2＋eq\f(y2,m)＝1的焦點坐標為()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(3)，0)或(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(3))或(±eq\r(5)，0)解析：選B.因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以m2＝16，即m＝4，所以橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1的焦點坐標為(0，±eq\r(3))，故選B.2．曲線eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1與曲線eq\f(x2,169－k)＋eq\f(y2,144－k)＝1(k<144)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等解析：選D.曲線eq\f(x2,169－k)＋eq\f(y2,144－k)＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以兩曲線的焦距相等．3．(2024·鄭州市其次次質(zhì)量預料)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(2,3)，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1解析：選D.由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故選D.4．(2024·長春市質(zhì)量檢測(二))已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為()A.eq\f(4,3) B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)解析：選D.法一：不妨設A點在B點上方，由題意知：F2(1，0)，將F2的橫坐標代入方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，可得A點縱坐標為eq\f(3,2)，故|AB|＝3，所以內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(2S,C)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長4a＝8.法二：由橢圓的通徑公式可得|AB|＝eq\f(2b2,a)＝3，則S＝2×3×eq\f(1,2)＝3，C＝4a＝8，則r＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).5．若橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為________．解析：由題意可得b＝c，則b2＝a2－c2＝c2，a＝eq\r(2)c，故橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)6．(2024·貴陽模擬)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸長為4，則橢圓的標準方程為________．解析：由題意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝17．已知橢圓的長軸長為10，兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(3，0)和(－3，0)．(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為短軸的一個端點，求△F1PF2的面積．解：(1)設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|yP|×2c＝eq\f(1,2)×4×6＝12.8．分別求出滿意下列條件的橢圓的標準方程．(1)與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，－eq\r(3))；(2)已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點．解：(1)由題意，設所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因為橢圓過點(2，－eq\r(3))，所以t1＝eq\f(22,4)＋eq\f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq\f(（－\r(3)）2,4)＋eq\f(22,3)＝eq\f(25,12).故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.[綜合題組練]1．(2024·貴陽市摸底考試)P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點，A為左頂點，F(xiàn)為右焦點，PF⊥x軸，若tan∠PAF＝eq\f(1,2)，則橢圓的離心率e為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)解析：選D.如圖，不妨設點P在第一象限，因為PF⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝eq\f(b2,a)，即|PF|＝eq\f(b2,a)，則tan∠PAF＝eq\f(|PF|,|AF|)＝eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，結合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)．故選D.2．(2024·湖北八校聯(lián)考)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5，0)為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿意|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1解析：選C.由題意知，c＝5，設右焦點為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝8，又|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故選C.3．(綜合型)已知△ABC的頂點A(－3，0)和頂點B(3，0)，頂點C在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，則eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝________．解析：由橢圓方程知a＝5，b＝4，所以c＝eq\r(a2－b2)＝3，所以A，B為橢圓的焦點．因為點C在橢圓上，所以|AC|＋|BC|＝2a＝10，|AB|＝2c＝6.所以eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝eq\f(5|AB|,|BC|＋|AC|)＝eq\f(5×6,10)＝3.答案：34．已知橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別是橢圓長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若|k1·k2|＝eq\f(1,4)，則橢圓的離心率為________．解析：設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，|k1·k2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋a)·\f(y0,a－x0)))＝eq\f(yeq\o\al(2,0),a2－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2))),a2－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，從而e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5．(2024·蘭州市診斷考試)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(eq\r(2)，1)，且離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標原點)的斜率之積為－eq\f(1,2).若動點P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，求點P的軌跡方程．解：(1)因為e＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又橢圓C經(jīng)過點(eq\r(2)，1)，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))得x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2，因為點M，N在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，所以xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，故x2＋2y2＝(xeq\o\al(2,1)＋4x1x2＋4xeq\o\al(2,2))＋2(yeq\o\al(2,1)＋4y1y2＋4yeq\o\al(2,2))＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，故點P的軌跡方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,10)＝1.6．(2024·高考全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)假如存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．解：(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由題意可知，滿意條件的點P(x，y)存在當且僅當eq\f(1,2)|y|·2c＝16，e