數(shù)列總復(fù)習(xí)全部內(nèi)容

數(shù)列總復(fù)習(xí)全部內(nèi)容第二頁，共213頁。第三頁，共213頁。知識歸納等差數(shù)列定義通項(xiàng)前n項(xiàng)和主要性質(zhì)1.等差數(shù)列這單元學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？一、等差數(shù)列第四頁，共213頁。2.等差數(shù)列的定義、用途及使用時(shí)需

注意的問題:n≥2，an

－an－1＝d(常數(shù))3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如何？結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？an＝a1＋(n－1)dan＝An＋B(d＝A∈R)一、等差數(shù)列第五頁，共213頁。4.等差數(shù)列圖象有什么特點(diǎn)？單調(diào)性如何確定？nnanand＞0d＜0一、等差數(shù)列第六頁，共213頁。5.用什么方法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的公式內(nèi)容使用時(shí)需注意的問題前n項(xiàng)和公式結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)Sn＝An2＋Bn(A∈R)注意:d＝2A

!一、等差數(shù)列第七頁，共213頁。6.你知道等差數(shù)列的哪些性質(zhì)等差數(shù)列{an}中，(m、n、p、q∈N+):①an＝am＋(n－m)d

；②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq

；③由項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列；④每n項(xiàng)和Sn,S2n－Sn

,S3n－S2n…

組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.一、等差數(shù)列第八頁，共213頁。1.等比數(shù)列的定義2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等比中項(xiàng)二、等比數(shù)列第九頁，共213頁。4.等比數(shù)列的判定方法(1)an＝an－1·q(n≥2)，q是不為零的常數(shù)，

an－1≠0

{an}是等比數(shù)列.(2)an2＝an－1·an＋1(n≥2,an－1,an,an＋1≠0)

{an}是等比數(shù)列.(3)an＝c·qn(c，q均是不為零的常數(shù))

{an}是等比數(shù)列.二、等比數(shù)列第十頁，共213頁。5.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，

{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，

{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，{an}是擺動數(shù)列.二、等比數(shù)列第十一頁，共213頁。5.等比數(shù)列的性質(zhì)(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*).(1)當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，

{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，

{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，{an}是擺動數(shù)列.二、等比數(shù)列第十二頁，共213頁。知識歸納(3)當(dāng)m＋n＝p＋q(m、n、q、p∈N*)時(shí)，有am·an＝ap·aq.5.等比數(shù)列的性質(zhì)(4){an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，且等于首末兩項(xiàng)之積.第十三頁，共213頁。知識歸納

若{bn}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列

{an·bn}是公比為qq'的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；

{|an|}是公比為|q|的等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的性質(zhì)(5)數(shù)列{

an}(

為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；第十四頁，共213頁。知識歸納(7)當(dāng)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí),數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列.5.等比數(shù)列的性質(zhì)(6)在{an}中，每隔k(k∈N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk＋1.第十五頁，共213頁。知識歸納(9)若m、n、p（m、n、p∈N*）成等差數(shù)列時(shí)，am、an、ap成等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的性質(zhì)(8){an}中，連續(xù)取相鄰不重復(fù)兩項(xiàng)的和(或差)構(gòu)成公比為q2的等比數(shù)列(q≠±1).第十六頁，共213頁。6.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 二、等比數(shù)列第十七頁，共213頁。7.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般形式已知，，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則

二、等比數(shù)列第十八頁，共213頁。8.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)二、等比數(shù)列(1)在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則第十九頁，共213頁。(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列.8.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則二、等比數(shù)列第二十頁，共213頁。第二十一頁，共213頁。1.已知:x＞0，y＞0,x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是()A.0B.1C.2D.4練習(xí)第二十二頁，共213頁。知識歸納6.你知道等差數(shù)列的哪些性質(zhì)等差數(shù)列{an}中，(m、n、p、q∈N+):①an＝am＋(n－m)d

；②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq

；③由項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列；④每n項(xiàng)和Sn,S2n－Sn

,S3n－S2n…

組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.第二十三頁，共213頁。知識運(yùn)用1.下列說法:(1)若{an}為等差數(shù)列,則{an2}也為等差數(shù)列(2)若{an}為等差數(shù)列,則{an＋an＋1}也為等差數(shù)列(3)若an＝1－3n,則{an}為等差數(shù)列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1,則{an}為等差數(shù)列.其中正確的有()第二十四頁，共213頁。知識運(yùn)用1.下列說法:(1)若{an}為等差數(shù)列,則{an2}也為等差數(shù)列(2)若{an}為等差數(shù)列,則{an＋an＋1}也為等差數(shù)列(3)若an＝1－3n,則{an}為等差數(shù)列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1,則{an}為等差數(shù)列.其中正確的有()(2)(3)第二十五頁，共213頁。知識運(yùn)用3.等差數(shù)列{an}中,a1＋a4＋a7＝39,

a2＋a5＋a8＝33,則a3＋a6＋a9＝_____.4.等差數(shù)列{an}中,a5＝10,a10＝5,

a15＝________.2.等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)分別為a－1,a＋2,2a＋3,則an＝_________.5.等差數(shù)列{an},a1－a5＋a9－a13＋a17＝10,

a3＋a15＝_________.第二十六頁，共213頁。知識運(yùn)用3.等差數(shù)列{an}中,a1＋a4＋a7＝39,

a2＋a5＋a8＝33,則a3＋a6＋a9＝_____.4.等差數(shù)列{an}中,a5＝10,a10＝5,

a15＝________.2.等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)分別為a－1,a＋2,2a＋3,則an＝_________.5.等差數(shù)列{an},a1－a5＋a9－a13＋a17＝10,

a3＋a15＝_________.3n－227020第二十七頁，共213頁。6.等差數(shù)列{an},S15＝90,a8＝________.7.等差數(shù)列{an},a1=

－5,前11項(xiàng)平均值為5,從中抽去一項(xiàng),余下的平均值為4,則抽取的項(xiàng)為()

A.a11B.a10C.a9D.a8知識運(yùn)用8.等差數(shù)列{an},Sn＝3n－2n2,則(

)A.na1＜Sn＜nanB.nan＜Sn＜na1C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1第二十八頁，共213頁。6.等差數(shù)列{an},S15＝90,a8＝________.7.等差數(shù)列{an},a1=

－5,前11項(xiàng)平均值為5,從中抽去一項(xiàng),余下的平均值為4,則抽取的項(xiàng)為()

A.a11B.a10C.a9D.a8知識運(yùn)用6AB8.等差數(shù)列{an},Sn＝3n－2n2,則(

)A.na1＜Sn＜nanB.nan＜Sn＜na1C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1第二十九頁，共213頁。講解范例例1.

在等比數(shù)列{an}中,a1＋a2＋a3＝－3,a1a2a3＝8.(1)求通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a5a7a9.1.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算.第三十頁，共213頁。講解范例例2.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)成等差，后三個(gè)成等比，首末兩項(xiàng)和37，中間兩項(xiàng)和36，求這四個(gè)數(shù).1.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算.第三十一頁，共213頁。講解范例2.利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.例3.等比數(shù)列{an}中，(1)已知a2＝4，a5＝，求通項(xiàng)公式;(2)已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.第三十二頁，共213頁。3.如何證明所給數(shù)列是否為等比數(shù)列.例4.設(shè){an}是等差數(shù)列，已知求等差數(shù)列的通項(xiàng)an,并判斷{bn}是否是等比數(shù)列.講解范例第三十三頁，共213頁。4.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算.例5.若數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞0，前n項(xiàng)和為80，其中最大項(xiàng)為54，前2n項(xiàng)之和為6560，求S100＝講解范例第三十四頁，共213頁。5.利用an，Sn的公式及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.例6.數(shù)列{an}中，a1=1，且anan＋1＝4n，求前n項(xiàng)和Sn.講解范例第三十五頁，共213頁。第三十六頁，共213頁。第三十七頁，共213頁。第三十八頁，共213頁。第三十九頁，共213頁。第四十頁，共213頁。第四十一頁，共213頁。第四十二頁，共213頁。

數(shù)列復(fù)習(xí)——通項(xiàng)公式第四十三頁，共213頁。題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．

若數(shù)列{an}滿足a1=a,(數(shù)列{bn}為可以求和的數(shù)列)，則用累加法求解，即第四十四頁，共213頁。數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．例2.寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．練習(xí)4.第四十五頁，共213頁。第四十六頁，共213頁。第四十七頁，共213頁。第四十八頁，共213頁。第四十九頁，共213頁。第五十頁，共213頁。第五十一頁，共213頁。題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．

若數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an·bn，數(shù)列{bn}為可以求積的數(shù)列，則用迭乘法求解，即第五十二頁，共213頁。第五十三頁，共213頁。第五十四頁，共213頁。第五十五頁，共213頁。第五十六頁，共213頁。第五十七頁，共213頁。第五十八頁，共213頁。第五十九頁，共213頁。第六十頁，共213頁。第六十一頁，共213頁。第六十二頁，共213頁。題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．

若數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=pan+q(p≠1)，通過變形可轉(zhuǎn)化為即轉(zhuǎn)化為是等比數(shù)列求解.，第六十三頁，共213頁。第六十四頁，共213頁。第六十五頁，共213頁。第六十六頁，共213頁。第六十七頁，共213頁。第六十八頁，共213頁。第六十九頁，共213頁。數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．

若數(shù)列{an}滿足a1=a,通過取倒可轉(zhuǎn)化為即轉(zhuǎn)化為是等差數(shù)列求解．第七十頁，共213頁。數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法題型二：已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式．例2.寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．練習(xí)2.第七十一頁，共213頁。第七十二頁，共213頁。第七十三頁，共213頁。第七十四頁，共213頁。第七十五頁，共213頁。第七十六頁，共213頁。第七十七頁，共213頁。第七十八頁，共213頁。第七十九頁，共213頁。第八十頁，共213頁。第八十一頁，共213頁。第八十二頁，共213頁。第八十三頁，共213頁。第八十四頁，共213頁。課堂小結(jié)

已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法：觀察法．2.已知遞推公式，求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法：轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)；累加法；迭乘法．第八十五頁，共213頁。習(xí)題作業(yè)第八十六頁，共213頁。第八十七頁，共213頁。第八十八頁，共213頁。第八十九頁，共213頁。第九十頁，共213頁。第九十一頁，共213頁。第九十二頁，共213頁。第九十三頁，共213頁。第九十四頁，共213頁。第九十五頁，共213頁。第九十六頁，共213頁。第九十七頁，共213頁。第九十八頁，共213頁。第九十九頁，共213頁。第一百頁，共213頁。第一百零一頁，共213頁。第一百零二頁，共213頁。第一百零三頁，共213頁。第一百零四頁，共213頁。第一百零五頁，共213頁。一、公式法1．如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q＝1或q≠1.第一百零六頁，共213頁。2．一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝

；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝

；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.n2n2＋n第一百零七頁，共213頁。二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的．2．分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減．第一百零八頁，共213頁。3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．第一百零九頁，共213頁。[小題能否全取]1．(2013·沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意正整數(shù)n，Sn＝ (

)第一百一十頁，共213頁。[小題能否全取]1．(2013·沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意正整數(shù)n，Sn＝ (

)答案：D

第一百一十一頁，共213頁。第一百一十二頁，共213頁。第一百一十三頁，共213頁。第一百一十四頁，共213頁。答案：C

第一百一十五頁，共213頁。第一百一十六頁，共213頁。第一百一十七頁，共213頁。第一百一十八頁，共213頁。第一百一十九頁，共213頁。數(shù)列求和的方法：1.倒序相加法：

對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.例1.求和：第一百二十頁，共213頁。數(shù)列求和的方法：2.錯(cuò)位相減法：例2.求和：第一百二十一頁，共213頁?？键c(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破分組轉(zhuǎn)化法與公式法求和分組轉(zhuǎn)化法就是把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)拆成若干個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)的和，分別求出每個(gè)數(shù)列的和，從而求出原數(shù)列的和．第一百二十二頁，共213頁。例1【思路點(diǎn)撥】分組分別求和，然后相加第一百二十三頁，共213頁。第一百二十四頁，共213頁?！久麕燑c(diǎn)評】非等差、非等比數(shù)列求和的最關(guān)鍵步驟是“轉(zhuǎn)化”，即根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用拆項(xiàng)分組的方法，拆分為等差或等比數(shù)列的和或差，再進(jìn)行求和運(yùn)算．第一百二十五頁，共213頁。[例1]

(2011·山東高考)等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.分組轉(zhuǎn)化法求和第一百二十六頁，共213頁。第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.第一百二十七頁，共213頁。[自主解答]

(1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.

第一百二十八頁，共213頁。分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．第一百二十九頁，共213頁。第一百三十頁，共213頁。第一百三十一頁，共213頁。錯(cuò)位相減法求和一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法．第一百三十二頁，共213頁。例2知數(shù)列{an}滿足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為a的等比數(shù)列．(1)求an；(2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.第一百三十三頁，共213頁。第一百三十四頁，共213頁。第一百三十五頁，共213頁。【名師點(diǎn)評】

利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和．若公比是參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別進(jìn)行求和．第一百三十六頁，共213頁。[例2]

(2012·江西高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kcn－k(其中c，k為常數(shù))，且a2＝4，a6＝8a3.(1)求an；(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.錯(cuò)位相減法求和第一百三十七頁，共213頁。第一百三十八頁，共213頁。用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．第一百三十九頁，共213頁。2．(2013·濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝3n＋k.(1)求k的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1，得等比數(shù)列{an}的公比q＝3，首項(xiàng)為2.∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1.第一百四十頁，共213頁。第一百四十一頁，共213頁。裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消是將數(shù)列的項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，通過求和相互抵消，從而達(dá)到求和的目的．第一百四十二頁，共213頁。裂項(xiàng)相消法求和[例3]

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；第一百四十三頁，共213頁。[自主解答]

(1)∵Sn＝nan－n(n－1)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)·an－1－(n－1)(n－2)，∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)·(n－2)，即an－an－1＝2.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.第一百四十四頁，共213頁。第一百四十五頁，共213頁。第一百四十六頁，共213頁。利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；第一百四十七頁，共213頁。3．(2012·“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a1>0，

n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；第一百四十八頁，共213頁。解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，則a2＝8，∴q＝2.∴an