基于GeoGebra的開(kāi)普勒方程動(dòng)態(tài)可視化教學(xué)研究

摘"要：空間目標(biāo)軌道與環(huán)境課程教學(xué)是拓寬空軍預(yù)警學(xué)院反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)學(xué)員知識(shí)視野、提升學(xué)員專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑。該課程教學(xué)涉及航天軌道動(dòng)力學(xué)的一些難點(diǎn)知識(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)方式過(guò)于抽象，不利于學(xué)員理解掌握。曾有學(xué)者引入Mathematica等仿真軟件輔助教學(xué)，但課件制作難度大，表現(xiàn)力不夠理想。為此，針對(duì)開(kāi)普勒方程這一教學(xué)難點(diǎn)，提出采用GeoGebra進(jìn)行輔助教學(xué)的方法。研究發(fā)現(xiàn)，GeoGebra具有制作簡(jiǎn)單、操作便捷、動(dòng)態(tài)演示等諸多優(yōu)點(diǎn)，可直觀形象地展示難點(diǎn)知識(shí)；同時(shí)，對(duì)比使用GeoGebra前后的教學(xué)效果，使用GeoGebra可顯著提高學(xué)員對(duì)開(kāi)普勒方程的理解和掌握能力。關(guān)鍵詞：空間目標(biāo)軌道與環(huán)境；開(kāi)普勒方程；GeoGebra；動(dòng)態(tài)演示課件0"引言空間目標(biāo)軌道與環(huán)境課程是空軍預(yù)警學(xué)院反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)的選修課程，這門課程的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)員科學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。該課程主要講授時(shí)間與坐標(biāo)系統(tǒng)、軌道運(yùn)動(dòng)原理、軌道攝動(dòng)原理、軌道機(jī)動(dòng)原理、軌道預(yù)報(bào)與確定、衛(wèi)星星座等內(nèi)容，對(duì)學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和空間想象力要求較高。目前，采用動(dòng)態(tài)可視化的方法研究、分析復(fù)雜的軌道力學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)員深刻理解教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)成為主流趨勢(shì)。張漢清等[1]引入Mathematica進(jìn)行航天器軌道理論可視化教學(xué)，構(gòu)建立體且直觀的CAI課件，成功激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；楊洪偉等[2]探討如何運(yùn)用MATLAB進(jìn)行軌道力學(xué)教學(xué)，充分鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力；王衛(wèi)杰等[3]研究基于STK的航天器軌道動(dòng)力學(xué)仿真教學(xué)方法，有效提升學(xué)生的空間邏輯思維能力。Mathematica和MATLAB兩款軟件在數(shù)值計(jì)算和符號(hào)演算方面表現(xiàn)出色且操作簡(jiǎn)便易行，但若要展示動(dòng)態(tài)演示效果，則需要編寫額外的程序[4-5]。雖然STK在動(dòng)態(tài)演示方面表現(xiàn)出色，但由于其使用過(guò)程較為復(fù)雜，需要經(jīng)過(guò)二次開(kāi)發(fā)才能充分發(fā)揮其潛能[6]。因此，這無(wú)疑對(duì)教師開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)可視化的多媒體課件提出更高的要求。GeoGebra是一款非常出色的教學(xué)仿真軟件，它操作簡(jiǎn)單，無(wú)須具備編程經(jīng)驗(yàn)即可制作動(dòng)態(tài)演示和交互性卓越的教學(xué)多媒體課件[7]。因此，在教學(xué)中針對(duì)開(kāi)普勒方程這一難點(diǎn)問(wèn)題引入GeoGebra并制作相應(yīng)的教學(xué)課件，通過(guò)對(duì)比使用該軟件前后的教學(xué)效果，可以發(fā)現(xiàn)使用GeoGebra后，學(xué)員能夠更加直觀地理解和掌握開(kāi)普勒方程的原理與計(jì)算方法，并且通過(guò)交互式操作，能夠更加深入地探索這一難點(diǎn)問(wèn)題。該經(jīng)驗(yàn)對(duì)于在空間目標(biāo)軌道與環(huán)境課程和其他數(shù)理課程的教學(xué)中全面推廣應(yīng)用GeoGebra具有重要的借鑒意義。1"GeoGebra軟件簡(jiǎn)介GeoGebra是由亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授MarkusHohenwarter設(shè)計(jì)的一款開(kāi)源數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它的名稱由“Geometry”（幾何）和“Algebra”（代數(shù)）兩個(gè)詞匯組合而成，通常被縮寫為GGB。該軟件是一個(gè)跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，包含幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等，適用于教學(xué)和學(xué)習(xí)。由于其強(qiáng)大的功能和開(kāi)源特性，GeoGebra已經(jīng)在全球范圍內(nèi)受到廣大師生的青睞。GeoGebra的工作界面如圖1所示，從左至右可以清晰地劃分成若干個(gè)區(qū)域[8]，以下為各區(qū)域的簡(jiǎn)要說(shuō)明。1）代數(shù)區(qū)：該區(qū)域包括指令輸入欄和工具欄，供用戶輸入指令和進(jìn)行相應(yīng)的操作，不同功能模塊對(duì)應(yīng)不同的工具欄，如在二維繪圖區(qū)功能模塊的工具欄上可以進(jìn)行畫圖和編輯等操作。2）CAS運(yùn)算區(qū)：用戶可以在該區(qū)域進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算和代數(shù)運(yùn)算，CAS是ComputerAlgebraSystem（計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)）的縮寫。3）二維繪圖區(qū)：用戶可以在該區(qū)域創(chuàng)建和編輯二維圖形，如點(diǎn)、線、圓等圖形元素。4）三維繪圖區(qū)：用于繪制和編輯三維圖形。5）表格區(qū)：用戶可以在該區(qū)域創(chuàng)建和管理數(shù)據(jù)表。6）概率運(yùn)算器：用于進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。2"開(kāi)普勒方程開(kāi)普勒方程是航天軌道動(dòng)力學(xué)中二體問(wèn)題的基本方程之一，具有重要的地位，它給出了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)位置與時(shí)間的關(guān)系，基本原理如下。如圖2所示，建立軌道平面坐標(biāo)系，其原點(diǎn)為地球質(zhì)心，X軸指向近地點(diǎn)方向，Y軸在軌道平面內(nèi)與X軸垂直；引入輔助變量偏近點(diǎn)角E。經(jīng)推導(dǎo)可得[9]：E（t）-esinE（t）=M（t）""""（1）式（1）即為開(kāi)普勒方程。t為當(dāng)前時(shí)間；M（t）=n（t-τ）為平近點(diǎn)角，τ是衛(wèi)星最近一次經(jīng)過(guò)近地點(diǎn)的時(shí)間；n=（μ/a3）1/2為平均角速度，μ為地球引力常數(shù)。開(kāi)普勒方程通過(guò)偏近點(diǎn)角E將時(shí)間t與衛(wèi)星的真近點(diǎn)角f聯(lián)系到一起。為了得到t時(shí)刻衛(wèi)星的位置，必須先知道衛(wèi)星最近一次過(guò)近地點(diǎn)的時(shí)間τ和軌道的偏心率e，再利用軌道半長(zhǎng)軸a來(lái)計(jì)算平均角速度n，進(jìn)而計(jì)算平近點(diǎn)角M（t），再根據(jù)開(kāi)普勒方程計(jì)算偏近點(diǎn)角E（t），最后求得真近點(diǎn)角f。開(kāi)普勒方程是軌道運(yùn)動(dòng)原理中的一大難點(diǎn)。在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，教師先給出如圖2所示的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)靜態(tài)示意圖，然后推導(dǎo)相應(yīng)計(jì)算公式。然而，這種方法存在兩個(gè)缺陷：1）平近點(diǎn)角M無(wú)法在圖2中利用開(kāi)普勒方程所確定的精確幾何關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)；2）無(wú)法動(dòng)態(tài)演示角度E、M和f按照開(kāi)普勒方程的關(guān)系變化。這給學(xué)員深刻理解開(kāi)普勒方程的物理意義帶來(lái)困難。為解決上述問(wèn)題，運(yùn)用GeoGebra開(kāi)發(fā)開(kāi)普勒方程動(dòng)態(tài)演示課件。3"GeoGebra動(dòng)態(tài)演示課件制作與應(yīng)用使用GeoGebra制作開(kāi)普勒方程教學(xué)課件的詳細(xì)步驟如表1所示，可以按照表格中的信息，輕松地以GeoGebra指令或交互式操作的形式實(shí)現(xiàn)每一步。對(duì)于更具體的操作細(xì)節(jié)，建議查閱參考文獻(xiàn)[8]。開(kāi)普勒方程GeoGebra動(dòng)態(tài)演示課件效果圖如圖3所示，E、M和f三個(gè)角度均嚴(yán)格按照開(kāi)普勒方程進(jìn)行繪制。其中，“衛(wèi)星”被設(shè)定為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)擊左下角的運(yùn)行按鈕時(shí)，將動(dòng)態(tài)演示三個(gè)角度和衛(wèi)星位置矢量r隨時(shí)間的變化情況。有關(guān)該課件的詳細(xì)信息可參考文獻(xiàn)[10]。由表1的GeoGebra動(dòng)態(tài)演示課件制作過(guò)程可見(jiàn)，每一步操作都簡(jiǎn)單明了，并且可以通過(guò)交互方式快速實(shí)現(xiàn)。與Mathematica、MATLAB和STK等軟件相比，這種方式不僅可以極大地節(jié)省制作時(shí)間，還能更準(zhǔn)確、直觀地呈現(xiàn)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)課件的動(dòng)態(tài)演示和關(guān)鍵公式的物理含義解釋，學(xué)員更容易地理解難點(diǎn)內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上再去理解公式的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程會(huì)變得水到渠成。在2023年春季學(xué)期的反導(dǎo)預(yù)警技術(shù)保障專業(yè)兩個(gè)期班的教學(xué)過(guò)程中，筆者采用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示課件開(kāi)展開(kāi)普勒方程知識(shí)點(diǎn)授課試點(diǎn)，課后問(wèn)卷調(diào)查和期末結(jié)業(yè)考試發(fā)現(xiàn)，相比以往未采用該課件教學(xué)的期班而言，采用該課件的期班在知識(shí)點(diǎn)掌握程度和考核得分情況方面均有明顯提升。4"結(jié)束語(yǔ)本文探討GeoGebra在空間目標(biāo)軌道與環(huán)境課程中的教學(xué)應(yīng)用，結(jié)合開(kāi)普勒方程這一核心知識(shí)點(diǎn)，詳細(xì)闡述制作課件及其實(shí)踐操作的步