第05講 全稱量詞與存在量詞（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第05講全稱量詞與存在量詞【人教A版2019】·模塊一全稱量詞與存在量詞·模塊二全稱量詞命題與存在量詞命題的否定·模塊三命題的否定與原命題的真假·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一全稱量詞與存在量詞1．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”2.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”,表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”,表示個別或一部分的含義.【考點1全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】【例1.1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）下列語句不是全稱量詞命題的是（

）A．任何一個實數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D．每一個實數(shù)都有大小【解題思路】由全稱命題的定義，全稱命題應(yīng)包含所有，任意的…等表示全部元素都滿足的語句，如果含有存在、有一個…等表示非全部元素都滿足的語句的命題為特稱命題，由此對四個答案進(jìn)行分析，即可得到答案．【解答過程】A中命題可改寫為：任意一個實數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個實數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．故選：C.【例1.2】（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知命題p：實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．命題非p是真命題B．命題p是存在量詞命題C．命題p是全稱量詞命題D．命題p既不是全稱量詞命題也不是存在量詞命題【解題思路】根據(jù)復(fù)合命題的真值表判斷A，根據(jù)全稱命題和特稱命題的概念判斷BCD．【解答過程】命題p：實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，是真命題，因此非p是假命題，A錯；命題p，實際上是說所有實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，是全稱性命題，B錯，C正確，D錯．故選：C．【變式1.1】（22-23高一上·江蘇南京·期中）已知命題：①任何實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個內(nèi)角都是銳角；③每一個實數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與0相乘，都等于0.其中，其中含存在量詞的命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)存在量詞的意義逐一判斷選擇即可.【解答過程】①任何實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，含全稱量詞“任何”，不符；②有些三角形的三個內(nèi)角都是銳角，含存在量詞“有些”，符合；③每一個實數(shù)都有相反數(shù)，含全稱量詞“每一個”，不符；④所有數(shù)與0相乘，都等于0，含全稱量詞“所有”，不符；故選：A.【變式1.2】（23-24高一上·江蘇·單元測試）下列命題中，存在量詞命題的個數(shù)是（

）①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2A．0 B．1C．2 D．3【解題思路】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義作出判斷.【解答過程】命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，故為全稱量詞命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也能被3整除”，是全稱量詞命題；命題④是全稱量詞命題．故有1個存在量詞命題．故選：B.【考點2全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷】【例2.1】（23-24高一上·廣東廣州·期中）下列命題中的假命題是（

）A．?x∈R,x=0 C．?x∈R,x3>0【解題思路】利用全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判斷即可得解.【解答過程】對于A，當(dāng)x=0時，x=0對于B，因為x∈R，所以x2≥0，則對于C，當(dāng)x=0時，x3對于D，由2x?10=1，得x=11故選：C.【例2.2】（23-24高一上·遼寧鞍山·期中）下列命題中為真命題的是（

）A．p1:?x∈RB．p2:?x∈RC．p3:?x∈ZD．p4:?x∈R【解題思路】對A：由x2+1≥1>0判斷命題為假；對B：當(dāng)x=0時命題不成立；對C：由Z及N關(guān)系判斷命題為真；對D：由【解答過程】?x∈R，x2+1≥1>0，故當(dāng)x=0時，x+|x|=0，故p2?x∈Z，|x|∈N，故p3方程x2?7x+15=0中Δ=故選:：C.【變式2.1】（23-24高一上·新疆·階段練習(xí)）下列三個命題中有幾個真命題（

）①?x∈R，x2?5x?6=0；②?x∈R，x2A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)已知命題的描述判斷真假，即可得答案.【解答過程】①由x2?5x?6=(x+1)(x?6)=0，可得x=?1或②由x2③當(dāng)x=?1時x3故選：C.【變式2.2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是（

）A．至少有一個x∈Z，使得x2<3成立C．?x∈R，x2=x D．對任意a，b∈R【解題思路】由定義選擇全稱量詞命題，再判斷真假.【解答過程】AC為存在量詞命題，BD為全稱量詞命題，菱形的兩條對角線長度不一定相等，B選項錯誤，對任意a，b∈R，都有a2即a2故選：D.【考點3根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【例3.1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命題“?x∈R,ax2?2ax+12>0A．?∞,0∪12,+∞ B．?∞【解題思路】根據(jù)全稱命題為真，結(jié)合不等式恒成立分類討論，即可求得a的取值范圍.【解答過程】若命題“?x∈R則當(dāng)a=0時，不等式為12>0對?x∈R當(dāng)a≠0時，要使得不等式恒成立，則a>0Δ=4綜上，a的取值范圍為0,12.故選：D.【例3.2】（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知“?x∈R，a>x2?1”為真命題，則實數(shù)aA．a(chǎn)>?1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<?1 D．a(chǎn)<1【解題思路】由題意知a需要大于x2【解答過程】由題意得a>x2?1min，又x2故選：A.【變式3.1】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知命題p為“?x∈[?2,1]，x2+2ax?3a≥0”．若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)>1 C．47<a<1 【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為命題?p“?x∈[?2,1]，x2+2ax?3a<0【解答過程】解：因為命題p“?x∈[?2,1]，x2所以命題?p“?x∈[?2,1]，x令fx=x當(dāng)?a≤?2，即a≥2時，f1=1+2a?3a<0，解得a>1，此時當(dāng)?a≥1，即a≤?1時，f?2=4?4a?3a<0，解得當(dāng)?2<?a<1，即?1<a<2時，f1=1+2a?3a<0f?2=4?4a?3a<0綜上：實數(shù)a的取值范圍是a>1，故選：B.【變式3.2】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知命題p：任意x∈1,2,x2?a≥0，命題q：存在x0∈R,A．?∞,?2 B．?∞,1 C．【解題思路】首先分別求兩個命題為真命題時a的取值范圍，取其補集即可得答案.【解答過程】命題p為真時a≤x2恒成立，x∈1,2，即a≤x命題q為真時Δ≥0，即4a2?42?a命題“p且q”是真命題時，取交集部分，可得a≤?2或a=1，所以命題“p且q”是假命題時，可得a>?2且a≠1，故選：D.模塊二模塊二全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．2．對全稱量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))存在量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．3．對存在量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))全稱量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．【考點1全稱量詞命題的否定】【例1.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）命題“?x∈Z，x2≥0”的否定是（A．?x∈Z，x2≥0 B．?x?ZC．?x∈Z，x2<0 D．?x?Z【解題思路】根據(jù)命題“?x∈M，px”的否定是“?x∈M，?p【解答過程】命題“?x∈Z，x2≥0”的否定是“?x∈Z，故選：C．【例1.2】（23-24高二下·浙江·期中）命題“?x≥0,x2?x+1≥0A．?x≥0,????x2C．?x≥0,x2?x+1<0【解題思路】含量詞的命題的否定可通過通過改變量詞，否定結(jié)論得到.【解答過程】命題“?x≥0,x2?x+1≥0故選：A.【變式1.1】（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）命題“?x∈0,1，x3<A．?x∈0,1，x3>x2C．?x0∈0,1，x03【解題思路】由命題否定的定義即可得解.【解答過程】命題“?x∈0,1，x3<x2故選：C.【變式1.2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）命題“?x∈R，?n∈N?，n>xA．?x∈R，?n∈N?，n≤x2 B．?x∈RC．?x∈R，?n∈N?，n≤x2 D．?x∈R【解題思路】本題考查全稱量詞命題與存在量詞命題的否定?！窘獯疬^程】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知：命題“?x∈R，?n∈N?，n>x2”的否定形式是“?x∈R，故選：C.【考點2存在量詞命題的否定】【例2.1】（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）命題“?x0∈R,A．?x∈R,x2+3x?2=0C．?x?R,x12【解題思路】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題分析即可.【解答過程】命題“?x0∈R,故選：B.【例2.2】（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知命題p：?n∈N,2n?2A．?n?N,2n?2C．?n?N,2n?2【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【解答過程】因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以?p為?n∈N故選：D.【變式2.1】（23-24高一下·云南紅河·開學(xué)考試）命題“?x>0，x2+x+1≥0”的否定是（A．?x≤0，x2+x+1<0 B．?x≤0C．?x>0，x2+x+1<0 D．?x>0【解題思路】特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題.【解答過程】命題“?x>0，x2?x>0，x2故選：C.【變式2.2】（23-24高一下·四川眉山·開學(xué)考試）關(guān)于命題p“?x0∈R，A．?p：?x∈R,x2?x+1>0，為假命題 C．?p：?x∈R,x2?x+1>0，為真命題 【解題思路】判斷命題p的真假，再求命題的否定，并判斷其真假即可.【解答過程】因為x2?x+1=x?12又“?x0∈R，故選：D.模塊三模塊三命題的否定與原命題的真假1．命題的否定與原命題的真假一個命題的否定，仍是一個命題，它和原命題只能是一真一假．2．命題否定的真假判斷(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時，命題的否定為真.【考點1命題否定的真假判斷】【例1.1】（23-24高一上·山西長治·期末）已知命題p:?x∈R,x(1)寫出命題p的否定；(2)判斷命題p的真假，并說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識寫出命題p的否定.（2）根據(jù)二次函數(shù)的知識進(jìn)行判斷.【解答過程】（1）由命題p:?x∈R,x可得命題p的否定為?x∈R,x（2）命題p為假命題，理由如下：因為y=x2?x?2=x+1x?2故命題p為假命題．【例1.2】（23-24高一上·新疆·階段練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p:?x∈R(2)p：有些三角形的三條邊相等；(3)p：菱形的對角線互相垂直；(4)p:?x∈N【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行求解判斷即可．【解答過程】（1）易知原命題的否定為：?p:?x∈R顯然x2+x+1=x+（2）易知原命題的否定為：?p：所有的三角形的三條邊不都相等，因為正三角形的三條邊相等，則命題p是真命題，則?p是假命題；（3）易知原命題的否定為：?p：存在一個菱形，則它的對角線互相不垂直，顯然原命題是真命題，則?p是假命題；（4）易知原命題的否定為：?p:?x∈N顯然當(dāng)x=1時，x2?2x+1=x?1【變式1.1】（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假：(1)?x∈R，x2(2)至少有一個實數(shù)x，使x3(3)?x,y∈Z，2x+y=3【解題思路】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，以及特稱命題的否定是全稱命題，即可求得（1）（2）（3）中命題的否定,再判斷真假即可．【解答過程】（1）命題的否定：?x∈R，x2因為?x∈R，x2（2）命題的否定：?x∈R，x3因為當(dāng)x=?1時，x3（3）命題的否定：?x,y∈Z，2x+y≠3因為當(dāng)x=0，y=3時，2x+y=3【變式1.2】（23-24高一·湖南·課后作業(yè)）對下列含有量詞的命題作否定，并判斷其真假：(1)?x∈R，x(2)?x∈Q，x(3)?x∈R，x(4)?x≠0，x+1(5)任意三角形都有內(nèi)切圓；(6)任意兩個直角三角形都是相似三角形．【解題思路】（1）利用全稱量詞命題的否定可寫出原命題的否定，利用配方法可判斷原命題否定的真假；（2）利用存在量詞命題的否定可寫出原命題的否定，解方程x2（3）利用存在量詞命題的否定可寫出原命題的否定，判斷原命題的真假，可得出其否定的真假；（4）利用全稱量詞命題的否定可寫出原命題的否定，利用特殊值法可判斷原命題否定的真假；（5）利用全稱量詞命題的否定可寫出原命題的否定，直接判斷原命題否定的真假；（6）利用全稱量詞命題的否定可寫出原命題的否定，直接判斷原命題否定的真假.【解答過程】（1）解：原命題的否定為：?x∈R，x因為x2（2）解：原命題的否定為：?x∈Q，x因為當(dāng)x2=2時，（3）解：原命題的否定為：?x∈R，x當(dāng)x=±3時，x（4）解：原命題的否定為：?x≠0，x+1取x=?1，則x+1（5）解：原命題的否定為：有些三角形沒有內(nèi)切圓.原命題的否定為假命題.（6）解：原命題的否定為：存在兩個直角三角形不是相似三角形，原命題的否定為真命題.【考點2根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】【例2.1】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知命題p:?x∈R,m?x2+2x?5>0，若p【解題思路】根據(jù)題意可知命題p:?x∈R,m?x【解答過程】因為p的否定為假命題，則命題p:?x∈R,m?xm?x2+2x?5>0可化為m>即?x∈R,m>x2?2x+5故實數(shù)m的取值范圍為m|m>4．【例2.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知命題p:?1≤x≤3，都有m≥x，命題q:?1≤x≤3，使m≥x，若命題p為真命題，命題q的否定為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】根據(jù)?q為假命題，可判斷q為真命題，再根據(jù)全稱量詞命題及存在量詞命題為真求出參數(shù)的取值范圍，最后取公共解即可；【解答過程】因為?q為假命題，所以q為真命題，命題p:?1≤x≤3，都有m≥x，為真命題，則m≥xmax命題q:?1≤x≤3，使m≥x，為真命題，則m≥xmin因為命題p、q同時為真命題，所以m≥3m≥1，解得m≥3故實數(shù)m的取值范圍是3,+∞．【變式2.1】（23-24高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)實根；命題q：方程(1)若命題?p為真，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p，q中有且僅有一個為真一個為假，求實數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出命題p為真時，實數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而由命題?p為真求解；（2）由判別式得出q為真時，實數(shù)m的取值范圍，再討論p真q假或p假q真，得出實數(shù)m的取值范圍.【解答過程】（1）若方程x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)根，則Δ=因為命題?p為真，所以實數(shù)m的取值范圍為?∞（2）若方程4x2+4m?2x+1=0若p真q假時，m>2m≤1或m≥3若p假q真時，m≤21<m<3，解得1<m≤2綜上，得m∈1,2【變式2.2】（23-24高一上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知p：?x∈R，mx2+1>0，q：?x∈R（1）寫出命題p的否定?q；命題q的否定?q；（2）若?p和?q至少有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）直接利用“改量詞，否結(jié)論”求解即可；（2）先求出?p和?q為真命題時，實數(shù)m的范圍，再利用?p和?q至少有一個為真命題轉(zhuǎn)化為?p真或?q真，即可得出結(jié)果.【解答過程】（1）?p：?x∈R，mx?q：?x∈R，x2（2）由題意知，?p真或?q真，當(dāng)?p真時，m<0，當(dāng)?q真時，Δ=m解得?2<m<2，因此，當(dāng)?p真或?q真時，m<0或?2<m<2，即m<2．模塊四模塊四課后作業(yè)一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列正確命題的個數(shù)為（

）①?x∈R，x2+2>0；②?x∈N,x4≥1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判斷方法逐一判斷各個命題即得.【解答過程】?x∈R，x2+2≥2>0，①正確；當(dāng)x=0時，當(dāng)x=0時，x3=0<1，③正確；由于(±3所以正確命題的個數(shù)為2.故選：B.2．（23-24高二下·湖南·期中）已知命題p:?x>0,ex+3x≤2，則?pA．?x≤0,ex+3x>2C．?x>0,ex+3x≤2【解題思路】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，否定形式為：將?改為?，再將結(jié)論否定，即可選出.【解答過程】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，而命題p:?x>0,ex+3x≤2是全稱量詞命題，所以?p故選：B.3．（23-24高一上·陜西寶雞·期末）下列命題中正確的是（）A．?x∈R，x≤0B．至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)C．?x∈{x|x是無理數(shù)}，x+5是無理數(shù)D．存在x∈R，使得【解題思路】利用存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項判斷即得.【解答過程】對于A，?x∈R，x≤0，如x=0，A正確；對于B，至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，例如數(shù)1滿足條件，B正確；對于C，?x∈{x|x是無理數(shù)}，x+5是無理數(shù)，如x=2對于D，x2?2x+1=(x?1)2≥0故選：ABC.4．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（

）A．所有的素數(shù)都是奇數(shù) B．?x∈R，xC．有一個實數(shù)x，使x2+2x+3=0【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的定義即可知選項CD不合題意，再判斷出命題真假即可得出結(jié)論.【解答過程】對于A，“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是全稱量詞命題，但是假命題，例如2是素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A錯誤；對于B，易知“?x∈R，x+1≥1且由x≥0可得x對于C，“有一個實數(shù)x，使x2對于D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；故選：B.5．（23-24高一上·安徽·期末）已知“?x0∈R，2024x0A．a(chǎn)>?506 B．a(chǎn)≥?506 C．a(chǎn)≤?506 D．a(chǎn)<?506【解題思路】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.【解答過程】“?x0∈R，2024x0而2024x02?2024x所以實數(shù)a的取值范圍為a>?506.故選：A.6．（23-24高一上·廣西賀州·期末）下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R③命題“?x∈R,x④命題“?x∈ZA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，利用存在量詞命題的否定及全稱量詞命題真假的判斷依據(jù)即可求解.【解答過程】對①，“有些”為存在量詞，所以命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；故①正確；對②，“?”為任意，即為全稱量詞，所以命題“?x∈R對③，命題“?x∈R,x對④，∵?x∈Z所以正確的有3個.故選：D.7．（23-24高一上·云南昆明·階段練習(xí)）已知命題p：?x∈R，x2?x+2a>0，則“a≤0”是“?p是真命題”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】首先求出命題p為真時參數(shù)a的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】若?x∈R，x2?x+2a>0為真命題，則Δ=1?8a<0則?p是真命題時對應(yīng)的a的取值范圍為a≤1因為?∞,0?∞,1故選：A.8．（23-24高一上·上海松江·期末）設(shè)x∈R，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則y=x稱為“取整函數(shù)”，如：1.6=1，?1.6=?2.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個命題：①集合A=x|x2A．①②都是真命題 B．①是真命題②是假命題C．①是假命題②是真命題 D．①②都是假命題【解題思路】對于①，分類討論x=0、x=1、?1<x<0、0<x<1和1<x<2五種情況分別求解即可判斷；對于②，分類討論x為整數(shù)和不為整數(shù)時原式是否成立，對于x不為整數(shù)時，進(jìn)一步分類討論其小數(shù)部分即可.【解答過程】對于①：當(dāng)x=0時，x2當(dāng)x=1時，x2當(dāng)?1<x<0時，x2?x當(dāng)0<x<1時，x2?x當(dāng)1<x<2時，x2則x=2∈1,2綜上，A=x|對于②：當(dāng)x為整數(shù)時，x+當(dāng)x不為整數(shù)時，設(shè)x=a+b（a為整數(shù)，0<b<1），當(dāng)0<b<12時，x+此時，x+當(dāng)b=12時，x=a+12，則此時，x+當(dāng)12<b<1時，x+此時，x+綜上，對于任意x∈R，x故選：A.二、多選題9．（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）下列四個命題中，是存在量詞命題并且是真命題的是（

）A．存在實數(shù)x，使xB．有一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)C．存在一個實數(shù)，它的倒數(shù)是它的相反數(shù)D．每個三角形的內(nèi)角和都是180【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的定義，結(jié)合存在量詞命題的真假判定，逐項判定，即可求解.【解答過程】A中，命題：存在實數(shù)x，使x2B中，命題：有一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)為存在量詞命題，且為真命題，所以B正確；C中，命題：存在一個實數(shù)，它的倒數(shù)是它的相反數(shù)為存在量詞命題，但為假命題，所以C不正確；D中，命題：每個三角形的內(nèi)角和都是180°故選：AB.10．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知命題p:?m∈{m∣?1≤m≤1}，a2?5a+3<m+2，若p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥5C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤5【解題思路】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為?m∈{m∣?1≤m≤1}，a2?5a+3≥m+2恒成立，列出不等式，即可得到【解答過程】由題意可得，?m∈{m∣?1≤m≤1}，a2可得a2?5a+3≥3，即a2?5a≥0，解得即實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0或a≥5}故選：AB.三、填空題11．（23-24高一上·云南昭通·期末）命題“?x∈?1,1,x2+2x≤1【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定形式求解即可．【解答過程】命題“?x∈?1,1,x故答案為：?x∈?1,112．（22-23高二下·山東泰安·期末）若“?x∈R，使得2x2?mx+1<0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是【解題思路】根據(jù)特稱命題的定義和一元二次不等式的恒成立問題求解.【解答過程】因為“?x∈R，使得2x所以“?x∈R，使得2x所以Δ=m2故答案為:?22四、解答題13．（23-24高一·