2024北京五十五中高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京五十五中高二（下）期中數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，共150分，調(diào)研時(shí)長(zhǎng)120分鐘第一部分（選擇題共40分）一．選擇題．共10小題，每小題4分，共40分．每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.24 B. C.6 D.3.下列給出四個(gè)求導(dǎo)的運(yùn)算：①；②；③；④．其中運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A.①④ B.①③ C.①②④ D.②③④4.某校地理小組在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.氣壓與海拔高度呈正相關(guān) B.沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C.沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān) D.沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)5.已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（）A. B.C. D.6.某年級(jí)共200人參加進(jìn)行物理測(cè)試，滿分100分，（參考數(shù)據(jù)：，，）學(xué)生的抽測(cè)結(jié)果服從正態(tài)分布，其中60分為及格線，80分為良好線，90分為優(yōu)秀線，則抽測(cè)結(jié)果在及格線以上學(xué)生人數(shù)大約為（）A.137 B.168 C.191 D.1957.一個(gè)盒中有10個(gè)球，其中紅球7個(gè)，黃球3個(gè)，隨機(jī)抽取兩個(gè)，則至少有一個(gè)黃球的概率為（）A. B. C. D.8.甲、乙兩選手進(jìn)行乒乓球比賽的初賽，已知每局比賽甲獲勝的概率是0.3，乙獲勝的概率是0.7，若初賽采取三局兩勝制，則乙最終獲勝的概率是（）A.0.216 B.0.432 C.0.648 D.0.7849.已知函數(shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.10.二進(jìn)制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，二進(jìn)制數(shù)(）對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)記為，即其中，，則在中恰好有2個(gè)0的所有二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的總和為（）A.1910 B.1990 C.12252 D.12523第二部分（非選擇題共110分）二．填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線右支的一點(diǎn)，且，則______．12.袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則______．13.已知的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則二項(xiàng)式系數(shù)之和為_(kāi)__________.14.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數(shù)是________；15.設(shè)函數(shù)，①若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以是______；②若是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三．解答題：共6小題，共85分．16.為提升學(xué)生綜合素養(yǎng)，某中學(xué)為高二年級(jí)提供了“書(shū)法”和“剪紙”兩門選修課．為了了解選擇“書(shū)法”或“剪紙”是否與性別有關(guān)，調(diào)查了高二年級(jí)1500名學(xué)生的選擇傾向，隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)選擇兩門課程人數(shù)如下表．選書(shū)法選剪紙合計(jì)男生4050女生合計(jì)30（1）補(bǔ)全列聯(lián)表；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)概率不超過(guò)的前提下，是否可以認(rèn)為選擇“書(shū)法”或值“剪紙”與性別有關(guān)？（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位）參考公式：，其中．0.1000.0500.0252.7063.8415.02417.某地區(qū)2019年至2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份20192020202120222023年份代號(hào)x12345人均純收入2.33.34.14.44.9（1）由表可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年農(nóng)村居民家庭人均純收入；（3）用（1）中所求線性回歸方程得到與對(duì)應(yīng)的人均純收入預(yù)測(cè)值，當(dāng)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差的絕對(duì)值時(shí)，將該數(shù)據(jù)稱作一個(gè)“好數(shù)據(jù)”，經(jīng)過(guò)計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到這5個(gè)數(shù)據(jù)中“好數(shù)據(jù)”有2個(gè)，不是“好數(shù)據(jù)”的有3個(gè)，現(xiàn)從5個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰好有兩個(gè)“好數(shù)據(jù)”的概率.附：參考數(shù)據(jù)及公式：.18.某學(xué)校為了解學(xué)生的睡眠情況，從高一和高二年級(jí)中隨機(jī)抽取各40名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們一周平均每天的睡眠時(shí)間作為樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖.（1）從該校高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該生平均每天的睡眠時(shí)間不少8小時(shí)的概率；（2）從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，這2人中平均每天的睡眠時(shí)間為8小時(shí)或8.5小時(shí)的人數(shù)記為求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校高一年級(jí)學(xué)生中任取1人，其平均每天的睡眠時(shí)間記為，從該校高二年級(jí)學(xué)生中任取1人，其平均每天的睡眠時(shí)間記為，試比較方差與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）19.橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上且面積最大值為2.過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與交于另外一點(diǎn)，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷直線MC是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）線段MC的長(zhǎng)度能否為下列值：、？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.20.已知函數(shù).（1）求曲線的斜率為1的切線方程；（2）證明：；（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.21.已知，，，記，用表示有限集合的元素個(gè)數(shù).（I）若，，，求；（II）若，，則對(duì)于任意的，是否都存在，使得？說(shuō)明理由；（III）若，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的最小值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一．選擇題．共10小題，每小題4分，共40分．每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】D【分析】拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為，算出即可.【詳解】由，得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及方程，求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一定要注意將方程標(biāo)準(zhǔn)化，本題是一道基礎(chǔ)題.2.【答案】A【分析】寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，從而計(jì)算可得.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，即展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A3.【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式即可判斷．【詳解】，故①正確；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；，故④正確，故選：C．4.【答案】A【分析】利用散點(diǎn)圖的規(guī)律分析氣壓與高度、沸點(diǎn)與氣壓、沸點(diǎn)與海拔高度的相關(guān)性即可判定．【詳解】由圖1知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)．由于兩個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都呈線性分布，所以沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故B，C，D正確，A錯(cuò)誤．故選：A．5.【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長(zhǎng)“迅速”，后增長(zhǎng)“緩慢”.【詳解】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，且在內(nèi)，單調(diào)遞增，在內(nèi)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)越來(lái)越陡峭，在內(nèi)越來(lái)越平緩．故選：D．6.【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率分布即可求解.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，所以抽測(cè)結(jié)果在及格線以上學(xué)生人數(shù)所占比例為，所以人數(shù)為.故選：B.7.【答案】D【分析】記抽取黃球的個(gè)數(shù)為X，則由題意可得X服從超幾何分布，然后根據(jù)超幾何分布的概率公式求解即可.【詳解】記抽取黃球的個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其分布列為，，1，2．所以，．或．故選：D．8.【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式運(yùn)算求解.【詳解】?jī)删纸Y(jié)束比賽，乙獲勝的概率為；三局結(jié)束比賽，則前兩局乙勝一局，甲勝一局，第三局乙獲勝，故乙獲勝的概率為；所以乙最終獲勝的概率為.故選：D.9.【答案】C【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，，令，即，對(duì)求導(dǎo)，求出在的最大值即可得出答案.【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以.故選：C.10.【答案】D【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和以及組合數(shù)問(wèn)題可解【詳解】根據(jù)題意得，因?yàn)樵谥星『糜?個(gè)0的有=28種可能，即所有符合條件的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為28．所以所有二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，出現(xiàn)=28次，，…，2，均出現(xiàn)=21次，所以滿足中恰好有2個(gè)0的所有二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為故選：D．第二部分（非選擇題共110分）二．填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】1【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】由雙曲線的定義可知，，所以.故答案為：1.12.【答案】##【分析】由題得和，由條件概率公式計(jì)算即可．【詳解】由題可知，，，故，故答案為：．13.【答案】【分析】令，結(jié)合二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和可求得的值，進(jìn)而可求得該二項(xiàng)式系數(shù)之和.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得，解得，因此，二項(xiàng)式系數(shù)之和為.故答案為：.14.【答案】【分析】先排數(shù)學(xué)、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，有種再排其余4節(jié)，有種，根據(jù)乘法原理，共有種方法，故答案為：．15.【答案】①.（內(nèi)的值都可以）②.或【分析】①分析函數(shù)的性質(zhì)，確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，通過(guò)解方程的方法，即可求解；②根據(jù)分段函數(shù)的形式，確定兩段函數(shù)都是單調(diào)遞增，并根據(jù)分界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系不等式，即可求解.【詳解】①函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，即，，則，或或，，則，解得：，所以的一個(gè)值是；②函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上，也單調(diào)遞增，且，若函數(shù)在在區(qū)間單調(diào)遞增，則，即在區(qū)間上恒成立，即，即，不等式，解得：或，綜上可知，或.故答案為：（內(nèi)的值都可以）；或三．解答題：共6小題，共85分．16.【答案】（1）表格見(jiàn)解析（2）能認(rèn)為.【分析】（1）根據(jù)題意與表中數(shù)據(jù)計(jì)算即可補(bǔ)全列聯(lián)表.（2）根據(jù)題意求出，與臨界值比較即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，共抽取了100人，則補(bǔ)全列聯(lián)表如表所示.選書(shū)法選剪紙合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100【小問(wèn)2詳解】設(shè)零假設(shè)：選擇“書(shū)法”或值“剪紙”與性別無(wú)關(guān).由表中數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即能認(rèn)為選擇“書(shū)法”或值“剪紙”與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)的概率不超過(guò).17.【答案】（1）（2）千元（3）【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，分別求得與，即可求得結(jié)果；（2）令，即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意求得好數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)以及參考數(shù)據(jù)可得：，；又，故，，故所求線性回歸方程為：.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）所求可得：，令，解得，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年農(nóng)村居民家庭人均純收入為千元.【小問(wèn)3詳解】根據(jù)題意，結(jié)合所求線性回歸方程可得如下表格：年份20192020202120222023年份代號(hào)x12345人均純收入2.33.34.14.44.92.543.173.84.435.060.240.130.30.030.16根據(jù)“好數(shù)據(jù)”定義，故組數(shù)據(jù)中，“好數(shù)據(jù)”有2組，不是“好數(shù)據(jù)”的有3組，設(shè)從5個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，恰好有兩個(gè)“好數(shù)據(jù)”是事件，則.18.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公司號(hào)求得正確答案.（2）先求得高二學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間為小時(shí)或小時(shí)的概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）通過(guò)觀察條形圖求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】記事件為“從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該生平均每天的睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)”，樣本中高一學(xué)生人數(shù)為：，其中平均每天的睡眠時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為，則.【小問(wèn)2詳解】從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其平均每天的睡眠時(shí)間為小時(shí)或小時(shí)的概率為.的可能取值為，故；；.則的分布列為：.【小問(wèn)3詳解】通過(guò)觀察條形圖可知，高一年級(jí)和高二年級(jí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有對(duì)稱性，根據(jù)方差的定義可知：.19.【答案】（1）（2）直線MC過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)（3）線段MC的長(zhǎng)度能為，不能為【分析】（1）當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得面積的最大值，表示出的面積即可求出的值，即可求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系來(lái)判斷出直線過(guò)定點(diǎn).（3）求出的最大值和最小值即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得面積的最大值，則，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】，依題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，,消去并化簡(jiǎn)得，需滿足，則，直線的方程為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，若直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，由此令得，即，所以定點(diǎn)為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)橹本€MC過(guò)點(diǎn)，所以的最小值為過(guò)點(diǎn)且垂直軸時(shí)的弦長(zhǎng)，令，則，解得，故.的最大值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故，所以，所以線段MC的長(zhǎng)度能為，不能為.20.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3），【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；（2）求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，即可得證；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出