專題5　二次函數(shù)綜合題

數(shù)學(xué)

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題五二次函數(shù)綜合題欄目導(dǎo)航二次函數(shù)性質(zhì)綜合題類型一二次函數(shù)幾何綜合題類型二二次函數(shù)性質(zhì)綜合題(8年2考：2022·24，2019·24)類型一例1如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求此拋物線的表達(dá)式；典例精析典例精析解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，∴y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a.∴3a＝3，即a＝1.∴拋物線表達(dá)式為y＝x2－4x＋3.已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，代入即可求解.(2)若P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①用含有m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)；

∴直線BC表達(dá)式為：yBC＝－x＋3.設(shè)P(m，m2－4m＋3)，∵過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，∴D(m，－m＋3).∴PD＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m.②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

①求出點(diǎn)C坐標(biāo)及BC表達(dá)式，根據(jù)過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，即可用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)P和D的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②用含m的代數(shù)式表示出△PBC的面積，可得S是關(guān)于m的二次函數(shù)，即可求解.1.(2024畢節(jié)三模)如圖1，是一間學(xué)校體育場(chǎng)的遮陽棚截面圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一個(gè)遮陽棚截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分(如圖2所示)，拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱軸OC與橫梁AB相互垂直，且CO＝5，AB＝10.針對(duì)訓(xùn)練(1)建立如圖2平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若為了使遮陽棚更加牢固，在遮陽棚內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形框架(如圖2所示)，且DE∶EF＝4∶3，求EF的長(zhǎng)；

(3)根據(jù)(1)中求解得到的函數(shù)表達(dá)式，若當(dāng)p≤x≤p＋1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為1，求p的值.

角度1

特殊三角形存在性問題1.求二次函數(shù)與等腰三角形(含等邊三角形)存在性問題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)幾何綜合題(8年2考：2018·25，2017·25)類型二核心技法題目類型典型問題基本模型(找點(diǎn))基本方法兩定一動(dòng)已知點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，在x軸上取點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形兩圓一線1.兩圓：分別以點(diǎn)A，B為圓心，以線段AB為半徑作圓，與x軸交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB＝AC，BA＝BC2.一線：作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA＝CB代數(shù)法幾何法設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)(m，0)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示三邊，借助三邊兩兩相等，分情況：①AB＝BC，②AB＝AC，③BC＝AC，列方程計(jì)算即可注意：需排除三點(diǎn)共線的情況構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

注意：需排除三點(diǎn)共線的情況一定兩動(dòng)先分析完整的動(dòng)態(tài)過程，再抓住固定的角，在每一個(gè)象限內(nèi)分情況討論，一種情況是定角作為底角，一種情況是定角作為頂角2.求二次函數(shù)與直角三角形存在性問題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)題目類型典型問題基本模型(找點(diǎn))基本方法兩定一動(dòng)已知點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，在x軸上找一點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形一圓兩線1.兩線：分別過點(diǎn)A，B作AB的垂線，垂線與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C2.一圓：以線段AB為直徑作圓，圓與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C代數(shù)法幾何法設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，0)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示三邊，借助勾股定理，分情況：①AB2＝AC2＋BC2，②AC2＝AB2＋BC2，③BC2＝AB2＋AC2，列方程，計(jì)算即可過銳角頂點(diǎn)向直角頂點(diǎn)所在的直線作垂線，構(gòu)造相似或全等的直角三角形

兩動(dòng)一定利用垂直構(gòu)造直角三角形，找到固定的角，然后根據(jù)直角頂點(diǎn)或斜邊分類討論例2(2024眉山)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D在拋物線上.(1)求該拋物線的表達(dá)式；

把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c求解即可.(2)當(dāng)點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第一步：求出A(－3，0)，B(1，0)，直線BC表達(dá)式為y＝－3x＋3；第二步：設(shè)P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3)，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M；第三步：分情況分別畫出圖形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和全等三角形判定與性質(zhì)解答即可.2.(2024達(dá)州)如圖1，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，D是拋物線的頂點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；針對(duì)訓(xùn)練解：由題意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，b＝2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3.(2)如圖2，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，若P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且S△PMC＝2S△DMC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0，－3)，D(－1，－4)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，過點(diǎn)D作直線DG∥AC交y軸于點(diǎn)G，在點(diǎn)C上方取點(diǎn)L使CL＝2CG，過點(diǎn)L作直線LP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，如圖，由點(diǎn)A，C坐標(biāo)，得直線AC的表達(dá)式為y＝－x－3.∵DG∥AC，∴直線DG的表達(dá)式為y＝－(x＋1)－4.∴點(diǎn)G(0，－5)，則CG＝5－3＝2，則CL＝4.∴點(diǎn)L的坐標(biāo)為(0，1).∴直線LP的表達(dá)式為y＝－x＋1.聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式，得x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4.即點(diǎn)P(1，0)或(－4，5).(3)若N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)D上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N，A，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

角度2

相似三角形的存在性問題核心技法題目類型典型問題基本方法“兩個(gè)定三角形”判定相似

設(shè)A(xA，yA)B(xByB)，C(xC，yC)已知一角相等，證相似等角分顯性和隱性，方法如下：①運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的兩條邊，若是“相似”，對(duì)應(yīng)邊成比例有兩種情況，分類求解；②利用定角定比結(jié)論，即確定的角，其三角函數(shù)值確定，巧用三角函數(shù)求解沒有角相等，證相似運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個(gè)三角形各邊的長(zhǎng)，看是否成比例.若成比例則相似，否則不相似題目類型典型問題基本方法“一定一動(dòng)”兩三角形相似如圖，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△AOC與△ACP相似

設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，P(m，n)已知有一個(gè)角相等的情形①把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(用字母表示)；②讓形成相等的夾角的那兩邊對(duì)應(yīng)成比例；③列出方程；④解方程，去掉不合題意的點(diǎn)未知是否有一角相等的情形①找特殊角：在定三角形中，先用觀察法得出某一個(gè)角可能是特殊角，再為該角尋找一個(gè)直角三角形，用銳角三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)；②求(動(dòng))點(diǎn)坐標(biāo)：在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用字母表示后，分析在動(dòng)三角形中哪個(gè)角可以和定三角形中的那個(gè)特殊角相等，借助特殊角為動(dòng)點(diǎn)尋找一個(gè)直角三角形，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；③再驗(yàn)證：驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例例3如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4交x軸于點(diǎn)A(－1，0)和B(4，0)，交y軸于點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；典例精析典例精析

把A(－1，0)和B(4，0)代入拋物線表達(dá)式得出二元一次方程組求出a，b的值，即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式.

證明△CBN∽△OBM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.(3)對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交BC交于點(diǎn)E，在對(duì)稱軸的右側(cè)有一動(dòng)直線l垂直于x軸，交線段BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P，動(dòng)直線在沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2024內(nèi)江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－2x＋6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E.針對(duì)訓(xùn)練(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；解：存在點(diǎn)D，使得△BDE和△ACE相似，設(shè)點(diǎn)D(t，－t2＋t＋6)，則E(t，－2t＋6)，C(t，0).∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.①如答圖1，當(dāng)△ACE∽△BDE時(shí)，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC.∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為6.∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0(舍去)或t＝1.∴D(1，6)；

(3)F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交AB于點(diǎn)G，連接DF，當(dāng)四邊形EGFD為菱形時(shí)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

角度3

特殊四邊形存在性問題核心技法題目類型典型問題基本模型基本方法三定一動(dòng)已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A，B，C(三定)，求一點(diǎn)D(一動(dòng))，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分別過點(diǎn)A，B，C作對(duì)邊的平行線，三條平行線的交點(diǎn)均為所求點(diǎn)D1.以AC為對(duì)角線，平移BA至CD1，確定點(diǎn)D的坐標(biāo).2.以AB為對(duì)角線，平移CB至AD3確定點(diǎn)D的坐標(biāo).3.以BC為對(duì)角線，平移AC至BD2確定點(diǎn)D的坐標(biāo)題目類型典型問題基本模型基本方法兩定兩動(dòng)已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)A，B(兩定)，求坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)C，D(兩動(dòng))，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形已知兩點(diǎn)A，B，求兩點(diǎn)C，D，題目中的C，D兩動(dòng)點(diǎn)位置受特殊四邊形的條件約束.分兩種情況：如圖1，若以AB為一邊，根據(jù)題目約束條件，可將AB進(jìn)行上下左右平移，找到適合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖2，若以AB為對(duì)角線，找出AB的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)AB尋找適合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)1.利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，構(gòu)造全等三角形解決.2.設(shè)點(diǎn)C(x，0)，點(diǎn)D(0，y)，利用平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和也相等，列方程組解決注意：①探究菱形存在性問題時(shí)，一般會(huì)用到菱形對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等的性質(zhì)列關(guān)系式；②探究矩形存在性問題時(shí)，一般會(huì)用到對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊互相垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解；③探究正方形存在性問題時(shí)，一般會(huì)用到正方形對(duì)角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)列式計(jì)算.例4(2024廣元)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，－1)，與y軸交于點(diǎn)B(0，2).典例精析典例精析(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式即可.

(3)作拋物線F關(guān)于直線y＝－1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象F'，拋物線F與F'只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))，G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F'對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).解：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與F'的公共點(diǎn)E為直線y＝－1與拋物線F的右交點(diǎn)，當(dāng)－x2－2x＋2＝－1時(shí)，解得x＝－3(舍去)或x＝1.∴E(1，－1).∵拋物線F：y＝－x2－2x＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，3)，∴拋物線F'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－5).設(shè)G(m，m＋2)，當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＋3＝1，解得m＝－2，∴G(－2，0)；當(dāng)BG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＝3＋1＝4，∴G(4，6)；當(dāng)BH為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＋1＝3，解得m＝2，∴G(2，4)；綜上所述，G點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)或(4，6)或(2，4).第一步：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與F'的公共點(diǎn)E為直線y＝－1與拋物線F的右交點(diǎn)，求出E(1，－1)，拋物線F'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－5)；第二步：設(shè)G(m，m＋2)，當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，G(－2，0)；