微專題 利用“兩點之間線段最短”求最值

數(shù)學(xué)

貴州專版2025第七章圖形與變換微專題利用“兩點之間，線段最短”求最值(遵義2022·16，2019·24，2018·17)第七章圖形與變換欄目導(dǎo)航“兩點一線”型類型一“一點兩線”和“兩點兩線”型類型二“一定長兩定點”型(平移型)類型三角度1

求線段和最小1.兩點在異側(cè)，求線段和最小常見設(shè)問：兩定點A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最小.解題思路：根據(jù)兩點之間線段最短，連接AB交直線l于點P，AB的長即為PA＋PB的最小值.“兩點一線”型類型一方法指導(dǎo)2.兩點在同側(cè)，求線段和最小常見設(shè)問：兩定點A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最小.解題思路：作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題即可解決.1.如圖，已知等腰三角形ABC的面積為9，底邊BC的長為3，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點E，F(xiàn)，D為BC邊的中點，M為直線EF上一動點，則DM＋CM的最小值為(

)A.6 B.9 C.10 D.12對應(yīng)練習(xí)A

C

C

角度2

求線段差最大1.兩點在同側(cè)，求線段差最大常見設(shè)問：兩定點A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使｜PA－PB｜的值最大.解題思路：根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，連接AB并延長交直線l于點P，AB的長即為所求.方法指導(dǎo)2.兩點在異側(cè)，求線段差最大常見設(shè)問：兩定點A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點P，使｜PA－PB｜的值最大.解題思路：作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，將異側(cè)問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題即可解決.5.如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的一個動點，則｜PA－PB｜的最大值為_______.對應(yīng)練習(xí)

66.如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在邊BC上，且BM＝3，P為對角線BD上一點，則PM－PN的最大值為_______.1

1.“一點兩線”周長最小問題常見設(shè)問：點P在∠AOB內(nèi)，在OA上找一點C，在OB上找一點D，使得△PCD的周長最小.解題思路：根據(jù)兩點之間線段最短，分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點P'，P″，并連接，將三條線段轉(zhuǎn)化到同一條線段上，P'P″的長即為△PCD周長的最小值.“一點兩線”和“兩點兩線”型類型二方法指導(dǎo)2.“兩點兩線”周長最小問題常見設(shè)問：點P，Q在∠AOB內(nèi)，在OA上找一點M，在OB上找一點N，使得四邊形PQNM的周長最小.解題思路：PQ的長為定值，四邊形PQNM的周長最小，即PM＋MN＋QN的值最小，利用“一點兩線”型的思路解答即可.7.如圖，P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP＝6cm，M和N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN的周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是(

)A.15° B.30°

C.45° D.60°對應(yīng)練習(xí)B8.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝140°，M，N分別是邊DC，BC上的動點，當(dāng)△AMN的周長最小時，∠MAN＝_________°.1009.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分別是邊BC，CD上的動點，則四邊形EFGH周長的最小值為_____.

10.如圖，∠AOB＝30°，點M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝1，ON＝4，點P，Q分別在邊OB，OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_____.

思路點撥：①由題可知點M，N為定點，分別作定點M，N關(guān)于定直線OB，OA的對稱點M'，N'，連接M'N'，M'N'即為所求；②根據(jù)∠AOB＝30°，利用對稱的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形即可求出M'N'的長度.常見設(shè)問：已知l1∥l2，l1，l2之間的距離為d，且在兩定點A，B之間的直線l1，l2上分別找點M，N，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小.解題思路：將點A向下平移d個單位長度得到點A'，根據(jù)兩點之間線段最短，連接A'B交直線l2于點N，過點N作NM⊥l1于點M，則AM＋MN＋BN的值最小，最小值為A'B＋MN.“一定長兩定點”型(平移型)類型三方法指導(dǎo)11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A，C，E的坐標(biāo)分別為(0，4)，(8，