2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：立體幾何與空間向量（原卷版）

立體幾何與空間向量（2022-2024高考真題）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2V2,該棱錐的高為（）

A.1B.2C.V2D.V3

2.（2024?全國?高考真題）設(shè)a、￡為兩個(gè)平面，小、九為兩條直線，且an￡=或下述四個(gè)命題：

①若m〃n,貝切〃a或n〃0②若mln,貝!Jnla或n10

③若n〃a且?i〃8，則m〃7i④若n與a,0所成的角相等，則zn1n

其中所有真命題的編號是（）

A,①③B.②④C.①②③D.①③④

3.（2024?天津?高考真題）一個(gè)五面體4BC—DEF.已知4DIIBE||CF,且兩兩之間距離為1.并已知

AD=1,BE=2,CF=3.則該五面體的體積為（）

A.噂B.乎+JC.哼D.乎

642242

4.（2024?天津?高考真題）若血刀為兩條不同的直線，a為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m〃a,n//a,則7n1九B.若m〃a,7i〃a,則租〃幾

C.若租〃%九la,則租1九D.若血〃%九1a，則m與九相交

5.（2024?全國?高考真題）已知正三棱臺A8C—&B1G的體積為5，AB=6,A1B1=2,貝以通與平面N8C

所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

6.（2024?全國?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為遮，則圓錐的

體積為（）

A.2V3nB.3V3TTC.6■D.9同r

7.（2024?上海?高考真題）定義一個(gè)集合Q,集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取PI，P2，P36。，存在不全

為0的實(shí)數(shù)心也必，使得力而1+A2OK+/鬲=0.已知（1,0,0）￡為則（0,0,1）€。的充分條件是（）

A.（0,0,0）GnB.（-1,0,0）en

c.（0,1,0）eftD.（0,0,-1）eft

8.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒

出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面

是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平

面4BCD的夾角的正切值均為券，則該五面體的所有棱長之和為（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

9.（2023?全國?高考真題）在三棱錐產(chǎn)一ZBC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=

V6,則該棱錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

10.（2023?全國?高考真題）已知△4BC為等腰直角三角形，N8為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角

C—AB—。為150。，則直線CD與平面4BC所成角的正切值為（）

A.1B.gC.D.|

11.（2023?全國?高考真題）已知圓錐尸。的底面半徑為8為底面圓心,PN,尸2為圓錐的母線，入4OB=120°,

若apaB的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.71B.V67TC.3〃D.3V6TT

12.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—4BC中，點(diǎn)分別在棱尸"2上，且PM=?C,PN=|PB,

則三棱錐P—4MN和三棱錐P—4BC的體積之比為（）

13.（2022?天津?高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部

即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)

公共側(cè)面/5CD在底面BCE中，若BE=CE=3/BCE=120。,則該幾何體的體積為（）

圖1圖2

A.yB.C.27D.27V3

14.（2022?全國?高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3遮和4g,其頂點(diǎn)都在同一球

面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128TtC.144TtD.192Tt

15.（2022?全國?高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為

S甲V甲

S甲和S乙，體積分別為V甲和U乙.若無=2,則三=（）

A.V5B.2V2C.V10D.中

4

16.（2022?全國?高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則

A.8B.12C.16D.20

17.（2022?全國?高考真題）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上,

則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

18.（2022?北京?高考真題）已知正三棱錐P—ABC的六條棱長均為6,S是△4BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集

合.設(shè)集合T={QCS|PQ<5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.?B.nC,2兀D.37r

19.（2022?全國?高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.

已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的

面積為180.0km2,將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到

157.5m時(shí)，增加的水量約為（77=2.65）（）

A.1.0X109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

20.（2022?全國?高考真題）在正方體ABC。-4再停1。1中，E,尸分別為48,8。的中點(diǎn)，則（）

A.平面BiEF_L平面BDDiB.平面BiEF_L平面&BD

C.平面BiEF〃平面4遇。D.平面〃平面

二、多項(xiàng)選擇題

21.（2023?全國?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚

度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

22.（2023?全國?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,N8為底面直徑，^APB=120°,

P4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—AC—。為45。，貝I］（）.

A.該圓錐的體積為TTB.該圓錐的側(cè)面積為4房

C.XC=2V2D.△PAC的面積為遙

23.（2022?全國?高考真題）如圖，四邊形力BCD為正方形，ED1平面力BCD,FB||ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—HCD,F-ABC,尸一ACE的體積分別為匕，%,匕,貝U（）

￡

A.V3=2V2B.0=Vi

c.v3=v1+v2D.21/3=3rL

三、填空題

24.（2024?全國?高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為ri,下底面半徑均為〃，圓臺的母線長分別為

2（r2—ri）,3（r2—r^,則圓臺甲與乙的體積之比為.

25.（2023?全國?高考真題）已知點(diǎn)S/,B,C均在半徑為2的球面上，△力是邊長為3的等邊三角形，S2，

平面4BC,則S力=.

26.（2023?全國?高考真題）在正方體ABCD—4乃1的。1中，力B=4,。為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球

。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

27.（2023?全國?高考真題）在正方體4BCD—41B1C1D1中，E,尸分別為42,的小的中點(diǎn)，以EF為直徑

的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

28.（2023?全國?高考真題）在正四棱臺4BCD—4B1C1D1中，AB=2,A1B1==V2,則該棱臺的體

積為.

29.（2023?全國?高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

四、解答題

30.(2024?上海?高考真題)如圖為正四棱錐P—48CD,。為底面4BCD的中心.

(1)若力P=5,AD=3vL求△P04繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積;

(2)若力P=4D,E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面4EC所成角的大小.

31.（2024?全國?高考真題）如圖，AB//CD.CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=V10,

=為CD的中點(diǎn).

(1)證明：EM〃平面8CF；

⑵求點(diǎn)M到力DE的距離.

32.(2024?全國?高考真題)如圖，四棱錐P—4BCD中，P41底面4BC。，PA=AC=2,BC=1,AB=

V3.

P

(1)若4D1PB,證明：4￡>〃平面PBC；

(2)若2。1DC,且二面角A—CP—。的正弦值為年，求4D.

33.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABC。中，BC//AD,AB=BC=1,AD3,點(diǎn)E在4。上,

S.PE1AD,PE=DE=2.

⑴若尸為線段PE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

(2)若4B1平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

34.(2024?全國?高考真題)如圖，在以N,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形/BCD與四邊形

NDEF均為等腰梯形，EF//AD.BC//AD,AD=4HB=BC=EF=2,ED=屈,FB=2遮，M為力D的中點(diǎn).

F________E

BC

(1)證明：〃平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

35.(2024?天津?高考真題)已知四棱柱4BC。—4/母1。1中，底面A8CD為梯形，AB//CD,，平面

ABCD,ADLAB,其中4B==2/D=DC=1.N是為。的中點(diǎn)，M是D%的中點(diǎn).

⑴求證〃平面CBiM；

⑵求平面C&M與平面B為CC1的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)B到平面CBM的距離.

36.（2024?全國?高考真題）如圖，平面四邊形N8CZ）中，AB=8,CD=3,AD=5V3,N&DC=90",

/.BAD=30°,點(diǎn)E,F滿足族=|而，AF=^AB,將△4EF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4

⑴證明：EF1PD；

(2)求平面PCD與平面PAF所成的二面角的正弦值.

37.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐P—4BC中，P41平面ABC,PA=AB=BC1,PC=V3.

⑴求證：BC1平面尸A8；

(2)求二面角A-PC-B的大小.

38.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱柱ABC—公歷的中，&C1平面ABC/ACB=90。.

⑴證明：平面平面8B1C1C；

(2)設(shè)4B=ArB,AAi=2,求四棱錐&-BBiJC的高.

39.(2023?全國?高考真題)如圖,在三棱柱ABC-4iBiCi中,41cl底面ABC,右4cB=90。,全4=2,公

到平面BCQ/的距離為1.

(1)證明：A1C=AC；

⑵已知44i與BBi的距離為2,求4Bi與平面BCC1%所成角的正弦值.

40.(2023?天津?高考真題)如圖,在三棱臺力BC-&B1C1中,ArA1ABC,AB1AC,ABAC=^2,

&Ci=l,M為BC中點(diǎn).，N為的中點(diǎn)，

8

(1)求證：&N〃平面AM。；

(2)求平面4MCi與平面力CCi&所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)C到平面ZMCi的距離.

41.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱錐P—28C中，ABIBC,AB=2,BC=2五,PB=PC=遍,

32//8。的中點(diǎn)分別為。,用。，點(diǎn)尸在4C上，BF1AO.

⑴求證：EF〃平面AD。；

(2)若NPOF=120°,求三棱錐P—ABC的體積.

42.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，ABIBC,AB=2,BC=2V2,PB-PC-V6,

BP,AP,3c的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=回0,點(diǎn)尸在NC上，BFX.AO.

(1)證明：EF〃平面2D。；

(2)證明：平面2D。J.平面5環(huán)；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

43.(2023?全國?高考真題)如圖，在正四棱柱488—4中停1。1中，AB=2/44,點(diǎn)82,8282,。2分別

在棱皿上，人4=LB&=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2IIA2D2；

(2)點(diǎn)P在棱BBI上，當(dāng)二面角P—22c2—。2為150°時(shí)，求B2P.

44.(2023?全國?高考真題)如圖，三棱錐力一BCD中，DA=DB=DC,BD1CD,AADB=^ADC=60°,

E為3c的中點(diǎn).

(1)證明：BCLDA；

(2)點(diǎn)廠滿足麗=瓦?，求二面角D—AB—F的正弦值.

45.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知48C0和CDEF者B是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=1,^BAD=^CDE=60°,二面角F—DC—B的平面角為60。.設(shè)N分別為4E,BC的中點(diǎn).

EF

(1)證明:FNXAD-,

(2)求直線與平面4DE所成角的正弦值.

46.（2022?全國?高考真題）如圖，四面體4BCD中，AD1CD,AD=CD.AADB=ABDC,E為/C的中點(diǎn).

（1）證明：平面BED_L平面/CD；

（2）設(shè)48=8。=2/2。8=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△2FC的面積最小時(shí)，求三棱錐F—ABC的體積.

47.（2022?全國?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底

面A8CD是邊長為8（單位：cm）的正方形，均為正三角形，且它們所在的

平面都與平面力BCD垂直.

⑴證明：EF〃平面4BCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

48.(2022?天津?高考真題)如圖，在直三棱柱ABC—4B1C1中,4clm點(diǎn)。、E、下分別為力道］441，8

的中點(diǎn)，AB=AC=AAX=2.

(1)求證：EF〃平面力8C；