2024-2025學年北師大版七年級數(shù)學下冊專項復習：相交線與平行線（4大易錯+5大壓軸）原卷版

相交線與平行線（4大易錯+5大壓軸）

01思維導圖

目錄

【易錯題型】...................................................................................1

易錯題型一對同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角辨別不清...............................................1

易錯題型二平行線的判定和性質(zhì)多結(jié)論題........................................................3

易錯題型三旋轉(zhuǎn)使兩直線平行的多解題..........................................................8

易錯題型四角的邊平行的多解問題.............................................................15

【壓軸題型】..................................................................................17

壓軸題型一平行線的判定和性質(zhì)綜合問題.......................................................17

壓軸題型二根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探究角的關(guān)系..............................................23

壓軸題型三根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解決三角形旋轉(zhuǎn)問題........................................29

壓軸題型四根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)接解決光線問題............................................37

壓軸題型五根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探解決平移問題............................................43

02易錯題型

易錯題型一對同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角辨別不清

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，下列結(jié)論正確的是（)

A.N1與22互為內(nèi)錯角B.N3與N4互為內(nèi)錯角

C.N1與N3互為同旁內(nèi)角D./2與N4互為同位角

鞏固訓練

1.（2024七年級上?全國?專題練習）下列說法不正確的是（）

A.N1和N5是同旁內(nèi)角B.N1和N4是內(nèi)錯角

C.N3和N4是同位角D.N1和22是同旁內(nèi)角

2.（23-24七年級下?吉林通化?階段練習）如圖，N1的同位角是（)

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

3.（23-24七年級下?廣東?期末）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.//與是同旁內(nèi)角B.21與23是同位角

C./2與N3是內(nèi)錯角D.與/3是對頂角

易錯題型二平行線的判定和性質(zhì)多結(jié)論題

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知N/=45。，CDVAB,垂足為。，DE、。尸分別是

和/HOC的平分線，則下列五種說法：（1）ZADC=90°；?DF//AC；③DELDF；?

NFDC=NECD；⑤NEDC=/FCD.其中一定正確的個數(shù)為（）

A.2個8.3個C.4個D5個

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?廣東江門?期中）如圖，AB//CD,F為AB上一點,FD//EH,且FE平分/4FG,

過點尸作尸G_L￡"于點G,且乙4廠G=2/。，則下列結(jié)論：@ZD=30°;②2ND+/EHC=90。；

③FD平■分NHFB；④FH平分/GFD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

41個2.2個C.3個D4個

2.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?開學考試）如圖，在三角形48c中，已知CD1AB,

Zl=Z2.對于下列五個結(jié)論：@DE//AC；②N1=N8；③/3=44；④N3=NEDB；⑤/2與N3

互補.其中正確的有（）

A.2個83個C.4個D.5個

3.（23-24七年級下?浙江杭州?階段練習）如圖,AB//CD,PG平分NFPE,ZCFP+ZFPH=1SQ0,下列

結(jié)論：①CO|PH；②

NBEP+/DFP=2NEPG；③NFPH=NGPH；@ZA+ZAGP+ZDFP-ZFPG=180°；⑤若

ZBEP>ZDFP,則二？=2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

42個2.3個C.4個D5個

易錯題型三旋轉(zhuǎn)使兩直線平行的多解題

例題：（24-25八年級上?全國?期中）如圖，將一副直角三角尺的其中兩個頂點重合疊放，其中含30。角

的三角尺Z3C固定不動，將含45。角的三角尺。8E繞頂點8順時針轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度小于180。），當DE與

三角尺Z3C的其中一條邊所在的直線互相平行時，N/8E的度數(shù)是（）

A.15?；?5?；?0。B.45?；?0?；?5。

C.15?；?5。或105°D.60?；?5?；?05°

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?全國?單元測試）將斜邊上的高不相等的兩塊直角三角尺按如圖方式擺放,

NBAC=NDAE=90°,ZC=30°,4=60°,ZD=ZE=45°.

（1）若2C，ND,則ZDAC的度數(shù)為；

（2）若將三角形/AE繞點A轉(zhuǎn)動，使得兩個直角三角形的斜邊平行，則ND4C的度數(shù)為.

2.（23-24七年級上?安徽阜陽?期末）如圖，AB〃CD,點、P,。分別是AB,8上的一點，射線PB繞點P

順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒1度，射線0C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒2度，旋轉(zhuǎn)至與重合便立即

回轉(zhuǎn)，當射線依旋轉(zhuǎn)至與加重合時，必與0c都停止轉(zhuǎn)動.若射線尸5先轉(zhuǎn)動30秒，射線0c才開始

轉(zhuǎn)動，則射線0C轉(zhuǎn)動秒后，與總平行.

3.（23-24七年級下?遼寧沈陽?開學考試）將一副三角板中的兩塊直角三角尺按如圖方式放置（其中

乙48c=45。,/。=60。），固定三角尺將三角尺以每秒30。的速度繞點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

180。停止.在這個過程中，當運動時間為秒時，三角尺3DE的一邊與三角尺N3C的某一邊平

行（不共線）.

A

易錯題型四角的邊平行的多解問題

例題：（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如果兩個角的兩邊分別平行，其中一個角a比另一個角的4

倍少30度，則角a的度數(shù)為.

鞏固訓練

1.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）（1）畫一畫：在圖①中，以尸為頂點畫，尸（/尸為銳角），使二尸的

兩邊分別與N1的兩邊平行；再在圖②中，以尸為頂點畫/P（/P為鈍角），使/P的兩邊分別與N1

的兩邊平行.

（2）量一量：量出N1與一尸的度數(shù)，它們之間的數(shù)量關(guān)系是

（3）猜一猜：如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這個兩個角的數(shù)量關(guān)系是.

（4）做一做：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且這個角為30。，求另一個角的大小.

03壓軸題型

壓軸題型一平行線的判定和性質(zhì)綜合問題

例題：（23-24七年級下?遼寧撫順?期末）如圖，BDL4c于點D,即，/C于點凡/AMD=NAGF,

/l=/2=23°.

A

(1)求/GFC的度數(shù).

(2)求證：DM//BC.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?寧夏銀川?期中）如圖，在△48C中，CE〃AB,F、G是4B、8c上的兩點,

Zl+Z2=180°.

（1）求證：FG//AC；

⑵若/1=100。，CE平分4c求28的度數(shù).

2.（23-24七年級下?河北張家口?期末）如圖，直線E4,DB交于點、F,點C在2。的左側(cè)，且滿足

NBDC=ZABF,NBAD+ZDCE=180°.

D

EA

(1)求證：AD//EC-

(2)若。/平分/BDC,CE1.E4于點、E,ZBAF=52°,求N4B尸的度數(shù).

3.（23-24七年級下?廣西南寧?期末）如圖，在三角形48c中，D、E、尸分別是2C、AC、AB上的點,

且ZAFE=/DEF.

（1）若。尸_LN8,試判斷￡＞尸與DE是否垂直，并說明理由;

(2)若FD平分NBFE,ZFDE=70°,求//尸￡的度數(shù).

4.（23-24六年級下?山東濟南?期末）如圖，己知

ABABF

工V

DEDE

圖1圖2

(1)感知與探究：

如圖1,已知/8=45。,/8沖=110。,請求出/?！瓿龅亩葦?shù)；

(2)問題遷移：

如圖2,BG、。尸分別是//5C、/COE的角平分線，8G的反向延長線與。尸相交于點尸，猜想/尸與

/BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)聯(lián)想拓展：

在(2)的條件下，若/BCD=100°,則N尸的度數(shù)是.

壓軸題型二根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探究角的關(guān)系

例題：(2024七年級上?全國?專題練習)如圖，已知/2〃CD,//=70。.點尸是射線48上一動點(與

點A不重合)，CE,CF分別平分N4cp和交射線4B于點E,F.

(1)求/ECF的度數(shù)，若//="。，請直接用含〃的式子表示/ECF；

(2)隨著點P的運動，設NNPC=c,AAFC=p,&與"之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請求出

此數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由;

(3)當NNEC=N/C尸時，請直接寫出/2PC的度數(shù).

鞏固訓練

1.(21-22七年級下?山東濟寧?期中)如圖，N8〃CD,點E為兩直線之間的一點.

E

圖2圖3

(1)如圖1,若/BAE=35。,/DCE=20°,貝|4EC=

(2)如圖2,試說明，ABAE+AAEC+ZECD=360°；

(3)如圖3,若/HE的平分線與/DCE的平分線相交于點尸，判斷//EC與Z4FC的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

2.(23-24七年級下?云南曲靖?期末)如圖1,已知直線即與直線4B交于點E,與直線CD交于點尸，F(xiàn)M

平分ZEFD交直線N8于點"，NEFM=ZEMF.

圖1

(1)試判斷直線48與8的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)點G是射線上的一個動點(不與點E重合)，F(xiàn)H平分NEFG交直線幺B于點H,過點7/作

交直線8于點N.設NFHN=a,AFGE=(3.

①如圖2,當點G在點￡的左側(cè)，且￡=58。時，求夕的值;

②當點G在運動過程中，a和尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.

壓軸題型三根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解決三角形旋轉(zhuǎn)問題

例題：(2025七年級下?全國?專題練習)如圖1,O為直線4B上一點，過點。在直線42的上方作射線

OC,使N/OC=60。.將一塊直角三角板的直角頂點放在點。處，一邊在射線03上，另一邊ON在

直線的下方，其中NMCW=90。，ZOMN=30°,2ONM=60°.

(1)將圖1中的三角板繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊在—5OC的內(nèi)部，且恰好平分—2OC,求

ZCON的度數(shù)；

(2)將圖1中的三角板繞點。按每秒10。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第s時,

邊恰好與射線。。平行；第s時，直線ON恰好平分銳角Z/OC；

(3)將圖1中的三角板繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在//OC的內(nèi)部，請?zhí)骄颗cNNOC之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?河北保定?期末)如圖1,圖2,直線MN〃PQ,將一副三角板中的兩塊直角三角尺

和三角尺。E尸的一條直角邊重合，另一條直角邊(不重合)放在同一條直線上，如圖1,

ZACB=ZEDF=90°,ZABC=30°,NCAB=60°,ADFE=45°.

圖1圖2

(1)如圖1,求NNFE的度數(shù)；

(2)如圖1,點”在N8EF內(nèi)部，ZEBH=nZQBH,AEFH=nZNFH.若NBHF=45°,求〃的值；

(3)如圖2,固定三角尺/BC的位置不變，轉(zhuǎn)動三角尺。E尸的位置，始終保持兩個三角尺的直角頂點C,

。重合，且點E在直線NC的右側(cè)，當三角尺/3C與三角尺。所有一組邊平行(不包括共線的情況)

時，直接寫出的度數(shù)的最大值與最小值的差.

2.(23-24七年級下?廣西百色?期末)【問題背景】

在數(shù)學綜合與實踐活動中，數(shù)學興趣小組的活動主題是《關(guān)于三角板的數(shù)學思考》,

【實踐操作】

圖1圖2圖3

(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點￡落在8c上，且求/G4E的度數(shù)；

(2)如圖2,小紅將一個三角板/5C放在一組直線上W與之間，并使頂點/在直線上，頂點C在

直線尸。上，現(xiàn)測得/K43=35。，ZPCB=10°,請判斷直線MN,PQ是否平行，并說明理由；

(3)現(xiàn)將三角板45C按圖3方式擺放，使頂點C在直線MV上，頂點/在直線尸。上，若MN〃PQ,請

求出ZPAB與ZMCA之間的關(guān)系式.

3.(23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末)在學校開展的社團活動中，“數(shù)學大師”社團開展了題為《關(guān)于

三角板的數(shù)學思考》綜合實踐活動，使用一副三角板，分別為三角板/3C(N/CB=90。,

ZABC=30°),三角板C尸￡)(ZEFD=90°,"ED=45°).

MBN

圖1圖2

圖3圖4

(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點尸落在42上，點C與點￡重合，且/5〃CD,

ZACF=.

(2)如圖2,小亮將一個三角板/2C放在一組直線與尸。之間，并使頂點B在直線上，頂點C在

直線P0上，現(xiàn)測得NPC4=35。，NMBA=25。，請判斷直線MV,是否平行，并說明理由；

(3)現(xiàn)將三角板A8C和三角板。叱按圖3的方式擺放，使頂點B在直線上，頂點E在直線尸。上，

MN//PQ,直角頂點C與尸重合.

①若點8、C、E在同一直線上，則NMBA與NDEQ之間的關(guān)系式為；

②若點B、C、E不在同一直線上，其他條件不變，如圖4,則/MBA、NQE。與乙gCD之間的關(guān)系式

為.

壓軸題型四根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)接解決光線問題

例題：(2024七年級上?全國?專題練習)跨學科試題?物理如圖1,將支架平面鏡4B放置在水平桌面施V

上，激光筆與水平天花板所的夾角(/EPG)為30。，激光筆發(fā)出的入射光線DG射到43上后，反

射光線GH與骸形成NPHG.由光的反射定律可知，DG、GH與48的垂線GK所形成的夾角始終相

等，即Nl=N2.

圖2

⑴NG/"的度數(shù)為

（2）如圖2,點B固定不動，調(diào)節(jié)支架平面鏡調(diào)節(jié)角為248M（乙43"V90。）.

①若N4W=30。，求N7WG的度數(shù)；

②若反射光線GH恰好與E尸平行，求ZABM的度數(shù).

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?廣東珠海?期末）綜合與實踐

臺燈作為一種照明工具，適合于書桌、床頭等需要局部照明的地方，它能夠集中光線，使得周圍環(huán)境適

合于閱讀、學習或工作，對于保護眼睛健康也具有重要意義.如圖1是一蓋可折疊臺燈.圖2、圖3是

其平面示意圖，底座位于水平位置，支架42、5c為固定支撐桿，支架OC可繞點C旋轉(zhuǎn)，從而調(diào)

節(jié)燈光照射方向.已知燈體頂角NDOE=52。，/-DOE的平分線OP始終與OC垂直.

⑴求NCOD的度數(shù)：

(2)如圖2,當支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時，。。恰好與3c平行，求支架2c與水平方向夾角N6的度數(shù);

(3)若(2)中支架3c與水平方向的夾角/。的度數(shù)保持不變，將。C繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，旋轉(zhuǎn)

后NOCB=84。，求此時0D與水平方向QN的夾角ZOQN的度數(shù).

2.(23-24七年級下?湖北武漢?期中)如圖所示的是一個潛望鏡模型示意圖，它由入射鏡筒、直管、反射鏡

筒以及兩塊平面鏡構(gòu)成，入射鏡筒與反射鏡筒互相平行，且都與直管垂直，PQ,代表兩塊平面鏡

擺放的位置.鏡筒上下壁和直管左右壁可視作分別相互平行的直線.N8是進入潛望鏡的光線，它與入

射鏡筒壁平行，與直管壁垂直，是離開潛望鏡的光線，光線經(jīng)過鏡子的反射時，滿足入射角等于反

射角的原理，如：N4BP=NQBD,/BDM=NEDN.設NHPQ=a,AMNG=/3.

Q入射鏡筒

直管

反射鏡筒NG

圖1圖2

(1)如圖1,當PQ〃MN時,

①求證：AB//DE；

②若光線與直管壁平行，則a的度數(shù)為

(2)如圖2,當光線經(jīng)過8處鏡面反射后照射到直管右壁SA處時，若在S7?處放置一塊平面鏡，使光線經(jīng)

平面鏡上的點。處反射到平面鏡MV上的點。處，并調(diào)整平面鏡上W的位置，使AB〃DE.則此時a

與月滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

壓軸題型五根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探解決平