2024-2025學年北師大版七年級數(shù)學下學期第五單元復習：圖形的軸對稱題型分類

第五單元：圖形的軸對稱

【題型1】一一軸對稱圖形及其性質(zhì)

1.在我們的生活中存在著很多軸對稱圖形，請寫出任意一個

2.仔細觀察下列圖案，并按規(guī)律在橫線上畫出合適的圖案.

EB9CCD干0G

3.如圖，在下面一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線上的空白處填上

恰當?shù)膱D形.

4.如圖是由三個相同的小正方形組成的圖形，請你用四種方法在圖中補畫一個相同的小正

方形，使補畫后的四個小正方形所組成圖形為軸對稱圖形.

6.如圖，將已知四邊形分別在格點圖中補成關(guān)于已知直線：1、m、n、p為對稱軸的軸對

稱的圖形.

7.如圖，是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個網(wǎng)格圖中，各補畫出一個有陰

影的小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形.

(2)請寫出正多邊形的對稱軸的條數(shù)y隨正多邊形的邊數(shù)n(nN3)變化的關(guān)系式

【題型2】一一將軍飲馬

1.如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地h放羊，然后趕羊到小河12飲水，之后再

回到B處的家，假設山娃趕羊走的都是直路，請你為它設計一條最短的路線，標明放

羊與飲水的位置.

草地.

-------------------h

?A

.B

2.用三角板和直尺作圖.(不寫作法，保留痕跡)

如圖，點A,B在直線1的同側(cè).

(1)試在直線1上取一點M,使MA+MB的值最小.

?B

(2)試在直線1上取一點N,使NB-NA最大.

?B

■A

--------------------------------1

3.如圖，/XO丫內(nèi)有一點P,試在射線OX上找出一點M,在射線OY上找出一點N,

使PM+MN+NP最短.

4.如圖，P在/AOB內(nèi)，點M、N分別是點P關(guān)于AO、B0的對稱點，MN分別交0A、

OB于E、F.

(1)若4PEF的周長是10cm,求MN的長.

(2)若NAOB=40°,試求NMON的度數(shù).

5.(1)如圖1,在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P,使C、D、P三點組成

的三角形的周長最短，找出此點并說明理由.

(2)如圖2,在/AOB內(nèi)部有一點P,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得E、F、

P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由.

(3)如圖3,在NAOB內(nèi)部有兩點M、N,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得

E、F、M、N,四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由.

D

*

-------------------B

圖1

【題型3】一一等腰三角形

1.如圖，ZXABC中，AB=AC,AD±BC,下列結(jié)論不正確的是()

BDC

A.ZB=ZCB.BD=CDC.AB=2BDD.AD平分NBAC

2.如圖，AABC中，AB=AC,NB=30°,點D是AC的中點，過點D作DE_LAC交

BC于點E,連接EA.則NBAE的度數(shù)為（）

A.30°B.80°C.90°D.110°

3.等腰三角形周長為18,其中一邊長為4,則其它兩邊長分別為（）

A.4,10B.7,7C.4,10或7,7D.無法確定

4.等腰三角形的頂角比每個底角大30°,則這個等腰三角形的頂角是（）

A.40°B.50°C.80°D.85°

5.等腰三角形周長為18cm,那么腰長y與底邊長x的關(guān)系式是（）

??

A.y=-2x+18B.y=-x+9Cy=~^-x+9Dy=-j-x+18

6.如圖，在AABC中，點D在BC上,AB=AD=DC,NB=72°，那么NDAC的大小

是（）

A.30°B.36°C.18°D.40°

7.等腰三角形的一個角為50°,則這個等腰三角形的底角為（）

A.65°B.65°或80°C.50°或65°D.40°

8.等腰三角形中，有一個角是40°,它的一條腰上的高與底邊的夾角是（）

A.20°B.50°C.25°或40°D.20°或50°

9.如圖，在第一個AABAi中NB=20°,AB=AiB,在AiB上取一點C,延長AAi到

A2,使得A1A2=A1C,得到第二個AAIAZC；在A2c上取一點D,延長A1A2到A3,使

得A2A3=A2D;…，按此做法進行下去，則以點A4為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)

為（）

B

A.175°B.170°C.10°D.5°

10.如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,線段AB的端點在格點

上，若畫出以AB為邊的等腰三角形ABC,使得點C在格點上,則點C的個數(shù)是（）

A.3個B.4個C.5個D.8個

11.如圖，己知AB=AC=BD,則N1與/2的關(guān)系是（

2

1

BDC

A.3/1-Z2=180°B.2Z1+Z2=18O°

C.Z1+3Z2=18O°D.N1=2N2

12.如圖，已知AABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在AABC所在平面內(nèi)一條直線，將

△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多

可畫（）

C.3條D.2條

13.如圖，若AB=AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（）

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

14.如圖，AD是AABC的角平分線，DE_LAC,垂足為E,BF〃AC交ED的延長線于點

F,若BC恰好平分NABF,AE=2BF.給出下列四個結(jié)論：

①DE=DF；②AC=4BF；③DB=DC；④AD_LBC,其中正確的結(jié)論共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

15.AABC中，AB=AC,過其中一個頂點的直線可以把這個三角形分成另外兩個等腰三

角形，則/BAC的度數(shù)為（）

A.36°，90°，出一，108°B.36°，72°,少一，90°

77

C.90°,72°，108°，—D.36°，90°,108°,——

77

16.已知實數(shù)x,y滿足|x-4|+(y-8)2=0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長

是.

17.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,D為AB上的點，BD=CD=5,則AD=.

18.已知|a-b-1|+(b-4)?=(),求邊長為a、b的等腰二角形的周長.

19.一個等腰三角形的周長為25cm.

(1)已知腰長是底邊長的2倍，求各邊的長；

(2)己知其中一邊的長為6cm.求其它兩邊的長.

20.如圖：E在4ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F,DF=EF,

BD=CE.求證：Z\ABC是等腰三角形.

A

21.如圖，點D,E在AABC的邊BC上，AB=AC,AD=AE.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE,求NBAC的度數(shù).

22.如圖，在等腰三角形AABC中，AB=AC,BD平分NABC,在BC的延長線上取一點

E,使CE=CD,連接DE,求證：BD=DE.

23.已知AABC為等腰三角形，頂角NA=36°,BD平分/ABC.求證：ABCD也為等

腰三角形.

24.已知，如圖AABC中，BD=DC,Z1=Z2,求證：AD平分/BAC.

25.如圖，四邊形ABCD中，ZB=ZC,AB+CD=BC,M為AD中點，MNJ_AD交BC

于N,連接AN,求證：ZANM=^ZB.

2

26.如圖，在AABC中，AB=AC,NC=2NA,BD是AC邊上的高，求NA和NDBC的

度數(shù).

27.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中線將等腰三角形ABC的周長分成12和

15兩部分，求三角形ABC的腰長及底邊長.

28.如圖，已知E為等腰AABC的底邊BC上一動點，過E作EFLBC交直線AB于D,

交直線CA于F,問：

(1)/F與NADF的關(guān)系怎樣？說明理由；

(2)若E在BC延長線上，其余條件不變，上題的結(jié)論是否成立？若不成立，說明理由;

若成立，畫出圖形并給予證明.

29.如圖，點D是AABC中BC邊上的一點，且AB=AC=CD,AD=BD,求NBAC的度

數(shù).

30.如圖在AABC中，AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,求NA的度數(shù).

31.如圖所示，NABC=90°,AB=BC,AE是角平分線，CD_LAE于D,可得CD=』AE,

2

請說明理由.

B

32.在△ABC中，AB=AC=a,AB邊上的高CD=h,點P是直線BC上任意一點，過P

作PE_LAB于E,PF_LAC于F,且PE=hi,PF=h2.

（1）若點P在邊BC上時，h,hi，h2三者關(guān)系如何？請予以證明；

（2）若點P在BC或CB的延長線上時，h,hi，h2三者關(guān)系又如何（直接寫出結(jié)論，不

需證明）

（3）若點P是直線BC上的點，hi=5,h=8,求h2的值.

33.已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作4ACD和ABCE,

且CA=CD,CB=CE,ZACD=ZBCE,直線AE與BD交于點F,

(1)如圖1,若/ACD=60°,則/AFB=；如圖2,若NACD=90°,則/

AFB=；如圖3,若NACD=120°,則/AFB=；

(2)如圖4,若NACD=a,則/AFB=(用含a的式子表示)；

(3)將圖4中的4ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點F至少在BD、AE中的一條

線段上)，變成如圖5所示的情形，若NACD=a,則/AFB與a的有何數(shù)量關(guān)系？并給

予證明.

CB

圖4B

圖5

【題型4】一一等邊三角形

1.如圖，ZXABC是等邊三角形，AQ=PQ,PR±AB于點R,PS±AC于點S,PR=PS,

則下列結(jié)論：①點P在NA的角平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；④△BRP四

△QSP.正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，4ABC和4CDE都是等邊三角形.BE交

AC于F,AD交CE于H.

(1)求證：ABCE^AACD；

(2)求證：FH/7BD.

3.如圖所示，已知等邊AABC的邊長為a,P是AABC內(nèi)一點，PD〃AB,PE/7BC,PF

〃AC,點D、E、F分別在BC、AC、AB±,猜想：PD+PE+PF=,并證明你

的猜想.

4.已知等邊AABC和點P,設點P到AABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是由，h2,

h3,AABC的高為h,請你探索以下問題：

（1）若點P在一邊BC上（圖1）,此時h3=0,問％、h2與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請說明理由；

（2）若當點P在AABC內(nèi)（圖2）,此時％、h2>h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說

明理由；

（3）若點P在AABC外（圖3）,此時％、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.（請

直接寫出你的猜想，不需要說明理由.）

5.ZkABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)一個動點，BP=BA,若0°</PBC<180°,且/

PBC的平分線上一點D滿足DB=DA,

(1)當BP和BA重合時(如圖1),ZBPD=；

(2)當BP在NABC內(nèi)部時(如圖2),求/BPD；

(3)當BP在NABC外部時，請直接寫出NBPD,并畫出相應的圖形.

圖1圖2

6.如圖，點O是等邊AABC內(nèi)一點，ZAOB=110°,ZBOC=a.將△BOC繞點C逆

時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.

(1)求證：/XDOC是等邊三角形；

(2)當A0=5,B0=4,a=150°時，求CO的長；

(3)探究：當a為多少度時，AAOD是等腰三角形.

7.在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為AABC外一點，且

ZMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC±

移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及4AMN的周長Q與等邊4ABC的周長L

的關(guān)系.

(1)如圖1,當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量

關(guān)系是;此時,=;

(2)如圖2,點M、N在邊AB、AC±,且當DMNDN時，猜想(D問的兩個結(jié)論

還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由.

(3)如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)

量關(guān)系如何？并給出證明.

【題型5】一一垂直平分線

1.如圖，DE是AABC中AC邊的垂直平分線，若BC=6cm,AB=8cm,則AEBC的周

長為()

A.14cmB.18cmC.20cmD.22cm

2.如圖，在AABC中，/ABC=50°,NBAC=20°,D為線段AB的垂直平分線與直

線BC的交點，連結(jié)AD,則NCAD=()

A

A.40°B.30°C.20°D.10°

3.如圖，在AABC中，AF平分/BAC,AC垂直平分線交BC于點E,ZB=70°,ZFAE

=19°,則NC為（）

A.24°B.30°C.21°D.40°

4.在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D,交直線AC于點E,ZAEB

=80°,那么NEBC等于（）

A.15°B.25°C.15°或75°D.25°或85°

5.如圖，在AABC中，AB=AC=6,點D在邊AC上，AD的中垂線交BC于點E.若

/AED=NB,CE=3BE,則CD等于（）

23

6.如圖，在Rt^ABC中，/B=90°,ED是AC的垂直平分線，交AC于點D,交BC

于點E.已知NC=40°,則NBAE的度數(shù)為°.

7.如圖，在AABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點N,交AC于點M,

連接MB.

(1)若NABC=68°,則NNMA的度數(shù)是度；

(2)若AB=10cm,Z\MBC的周長是18cm.求BC的長度.

8.如圖，AB=AC,AC的垂直平分線交AB于D,交AC于E.

(1)若NA=40°,求/BCD的度數(shù);

(2)若AE=5,Z\BCD的周長17,求AABC的周長.

9.如圖，在AABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M、N兩點，DM與

EN相交于點F.

(1)若△CMN的周長為15cm,求AB的長;

(2)若NMFN=70°，求NMCN的度數(shù).

【題型6】一一角平分線

1.如圖，直線a,b,c表示交叉的三條公路,現(xiàn)要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到這三條公路

的距離相等，則可供選擇的站址最多有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

2.如圖，在AABC中，AD是角平分線，DE_LAB于點E,AABC的面積為15,AB=6,

DE=3,則AC的長是（）

A.8B.6C.5D.4

3.如圖，AABC中，BO平分NABC,CO平分NACB,MN經(jīng)過點O,與AB、AC相交

于點M、N,且MN〃BC,那么下列說法中：@ZMOB=ZMBO；②△AMN的周長

等于AB+AC；@ZA=2ZBOC-180°；④連接AO,貝ISAAOB：SAAOC：SABOC=AB：

AC：BC；正確的有（）

A.①②④B.①②③