2024-2025學年廣東省河源市高一年級上冊10月考數(shù)學質量檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣東省河源市高一上學期10月考數(shù)學質量

檢測試題

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

一、單選題：本大題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合'={乂,利，八{乂2》<。},若ZUB=Z,則0的取值范圍是()

A.(-00,-4]B.(-oo,-l]

C.[1,+℃)D.[4,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】先解一元二次不等式，再根據(jù)集合間的關系求參.

【詳解】A=(-00,-2]o[2,+oo),5=

H

由NU5=Z可以推出8uZ,所以一V—2,a<-4.

一2

故。的取值范圍是卜￥,-4u.

故選：A.

2.若集合2={1,9,叫，5={9,3a},則滿足=3的實數(shù)0的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用4n3=8,知求出。的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的值，可得答案.

【詳解】因為=所以8口4,

即3。=1或者3a=",解之可得。=!或。=0或a=3,

3

當Q=g時，4=U，9,g,，5={9,1}符合題意；

當a=0時，4={1,9,0},8={9,0}符合題意；

當a=3時，Z={1,9,9},8={9,9}根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。

所以實數(shù)。的個數(shù)為2個.

故選：B

3.已知集合4={（》/）|y==》=叼+1,加eR},4c8=C,若C為單元素集合

時，貝I（）

A.m=—B.m=2

2

C.機=0或〃z=—D.機=0或加=2

2

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得兩集合組成的方程組只有唯一解，再結合方程的性質以及判別式求解即可；

【詳解】因為集合/=y==x=my+\,m^,A^B=C,若C為單元素集

合，

y=x2-1

則方程組只有唯一解，

X-my+\

所以y=（即+1）2_1,整理可得加2/+（2加-l）y=0,

當加=0時，方程變?yōu)?y=0Dy=0,止匕時x=l,符合題意；

21

當加W0時，D=（2M-1）-4m2,0=0m=~^

所以加=0或加=L,

2

故選：C.

i3

4.命題“ice[-1,2],。NO”為真命題的一個必要不充分條件是（）

A.a<0B.a<lC.a<2D.a<3

【答案】D

【解析】

iaia

【分析】參變分離可得。三萬一+工一^,令/（力=2》2+》—2，xe[-i,2],結合二次函數(shù)的性質求出

。的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

「I1o313

【詳解】若1,2],—x+x-------a20,則QV—x0+x—,

L」2222

令/（x）=—x2+x-—,xe[-1,2],

因為/（x）=3%2+x--|=^-（x+l）2-2,

所以/（X）在[-1,2]上單調遞增，所以/（X）的最大值是/（2）=|,

故?！吨瑒t的一個必要不充分條件是aW3,故D正確；

22

13

a<0>a4l、°42均為命題“玉：€[—1,2],十工一萬一。2.”為真命題的一個充分不必要條件，故

A、B、C錯誤.

故選：D.

5.若a>6>0,則下列不等式中一定成立的是（）

bb+11,11,12a+ba

D.-------->-

aa+1abbaa+2bb

【答案】C

【解析】

【分析】對ACD,根據(jù)不等式的性質以及作差法比較大小即可判斷；對B,根據(jù)不等式的性質以及作差法,

再對賦值法即可判斷.

bb+1b-a,bb+1b-a八即2<2擔，故

【詳解】對于A,丁因為。>6>0,故[°,

aa+1

A錯；

對于B,ClH-----(6H)=(Q—6)(1------)不確定符號，取Q=l,6=一則—<b+—,故B錯誤;

abab2ab

對于C,61+--(bH—)=(Q—6)(1H--),因為Q>b>0,

baab

故。+工一(6+工)=(1一/?)(1+工)>0,BP?+—>/7+—,故C正確；

baabba

2a+ba3+Q)(6-Q)

對于D,因為a>b>0,

a+2b~b(a+2b)b

2a+bai(i<0,即—

故---------故D錯誤.

a+2bb(a+2b)ba+2bb

故選：C

6.已知a,6為正實數(shù)且a+6=3,則介+9的最小值為（）

ab

A.2V2+1B.276C.3D.2V2+2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件對變形，利用均值不等式求解即得.

ab

【詳解】因為。/為正實數(shù)且。+6=3,

在ab6b2a+2bb2alb2a。。后。

所以一+—=—+-------=—+—+2>2-------+2=212+2,

ababab\ab

當且僅當?=彳，即。=3卜歷—1))=3(2—后)時等號成立.

故選：D.

7.定義集合運算幺―5={x|xeZ且XW8}；將=（N—8）U（8—么）稱為集合/與集合3的對稱差,

命題甲：/n（8AC）=（/n8）A（/nC）；命題乙：/U（8AC）=（/UB）A（/UC）則下列說法正確的

是（）

A,甲乙都是真命題B,只有甲是真命題

C,只有乙是真命題D.甲乙都不是真命題

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對稱差集合的定義和集合的運算將Zc（BAC）變形即可判斷命題甲；對于乙，畫出

Zu（BAC）和（ZuB）A（ZuC）的圖示即可判斷.

【詳解】對于甲，Nc（8AC）=Nc（8uC-8cC）=Nc（8uC）—/c（8cC）

=（Nc8）u（NcC）一（Nc8）c（ZcC）=（Nc8）A（ZcC）,故命題甲正確；

對于乙，如圖所示：

^U(5AQ(^U5)A(v4UQ

所以，NU（8AC）H（ZU8）A（NUC）,故命題乙不正確.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：對于集合新定義問題，關鍵是理解新定義，利用韋恩圖結合集合的運算，利用數(shù)形

結合判斷.

8.設0<Z）<a+l,若關于X的不等式（x-〉（辦『的解集中的整數(shù)解個數(shù)恰為3個，則滿足條件的實

數(shù)。所在區(qū)間可以是（）

A.（-1,0）B,（0,1）C,（1,3）D.（3,5）

【答案】C

【解析】

【分析】同時開方將不等式化為兩絕對值函數(shù)的大小形式，數(shù)形結合計算即可.

【詳解】原不等式等價于卜一司>|。乂，不妨設不等式的解集為（馬，王），

作出函數(shù)歹=|x—耳）=同的圖象如圖所示，

易知當時41,此時不等式的解集不只有三個整數(shù)解，

要滿足題意需時>1,

又。+1>0=?！狄?,所以Q>1,

f7b7b

則。x=b—x=>M=---<1，-ax=b-x=>x.=----，

Q+11-a

此時還需—3V上<—2,整理得2a—2<6W3a—3n2a—2<b<a+lnl<a<3,

1—a

此時C正確，其余選項錯誤.

故選：C.

二、多選題：本大題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分.

9.下列命題中是真命題的是（）

A.“x>1”是“一>1”的充分不必要條件

B.命題“X/x20,都有—V+INO”的否定是“*o<O,使得一"+1<0”

Y—3

C.不等式一一>0成立的一個充分不必要條件是x<-1或X>4

2x+l

3x—2y+1=0

D.當Q=-3時，方程組12「有無窮多解

ax-by=a

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用充要條件的定義與全稱命題的否定結合一元二次不等式和分式不等式得解法逐項判斷即可.

【詳解】解：對A,“/>1”可以推出“>>1”,而>1”推出x>l或者x<—1,所以“x〉l”是

>1”的充分不必要條件，故A正確；

對B,命題“X/x20,都有+120”的否定是“叫）20,使得一只+1<0"，故B錯誤;

x—31x—3

對C,不等式——20成立，即x23或X<——,所以不等式-----20成立的一個充分不必要條件是

2x+l22x+l

x<-4或x>4,故C正確;

3x-2y+1=03x—2v+1=0

對D,當a=—3時，方程組《2二等價于C/，八，所以方程組有無窮多解，故D正確.

ax-by=a[3x-2y+l=0

故選：ACD.

10.若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是（）

A.ab>lB.a2+b2>2C.yfa+y[b<V2D.-H—>2

ab

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式判斷ABD,舉反例可判斷C.

【詳解】因為a+b=222j拓，則當且僅當。=人=1時取等號，故A錯誤；

因為=2,當且僅當a=b=l時取等號，故B正確;

令。=3=1,則、石+痣三也不成立，故C錯誤;

111(a+ba+by1(..ba\.1(b1.\ba

m因為_+—=_|----+-----=-1+1+—+—=1+-—+—>l+-x2.---=2,n當且僅當

ababJ2ab)21abJ2Vab

a=Z?=l時取等號，故D正確.

故選：BD

11.若平面點集，滿足：任意點（》/）€〃，存在正實數(shù)"都有（九小）€/，則稱該點集為“方階集”,

則下列說法正確的是（）

A.若〃=｛（》,力^=2｝是“階集"，則[=1

X

B.若〃=｛（%,>）|>=2%｝是“/階集”，貝!R為任意正實數(shù)

C.若兒f=｛（》/）|/<4訓是“邛介集”，貝1]0</41

D.若河=｛（》/）|〉2&｝是“階集"，貝心<1

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)“方階集”的定義，逐項進行判定即可.

【詳解】對于A,若M=｛（》/）=二｝是，”階集"，則小=工，所以/=1，

Xtx

因為，>0,所以，=1,故A正確；

對于B,若/=｛（x,y）|y=2x｝是“方階集"，則小=2及，貝/為任意正實數(shù)，故B正確；

對于C,若/=｛（羽力/44叫是，”階集，，，貝聯(lián)女）244卬，由/>0得出笈2V令，

當0</41時，tx2<x~<4y,所以田244^,當，>1時，取x=l,y-0.25,滿足

但是比2=/〉1=令，所以為使》2<外成立時，tx2<4y,正實數(shù)f的取值范圍是0</<1,故C是正

確；

對于D,若M=｛（x,y）|yN4｝是“/階集”，則勿2而，

當/=工，y=4,x=3時，4tx=^=-=—>-,故小2而不成立，故D錯誤.

9V3399

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型

來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，

實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義

的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

三、填空題：本大題3小題，每小題5分，共15分.

12.二次函數(shù)>="2+區(qū)+。（。。0）的圖象如圖所示，則不等式竺心<0的解集是__________.

CX~I-Q

【分析】根據(jù)給定的圖象用。表示"。，再代入不等式求解即得.

hr

【詳解】由題圖知，1和2是方程以2+瓜+。=0的兩個根，且a>0,則——=3,—=2,

aa

即b=—3a,c=2a,a>0,因此不等式竺土々<0為竺也<0,即上二<0,

cx+alax+a2x+1

整理得(x—3)(2x+l)<0,解得—；<x<3,

所以不等式竺王<0的解集是{x|-，<x<3}.

cx+a2

故答案為：{x|—；<x<3}

41

13.已知正數(shù)a,6滿足a+2b=l,則——+-的最小值為.

a+1b

【答案】3+2亞

【分析】根據(jù)題意，得出。+1+26=2,再利用乘“1”法，結合基本不等式，即可求解.

41421r42、

【詳解】由題意得“+1+26=2,則----+—=---7+—"=~----r+-(a+1+26)

a+1ba+12b2(a+l2b/7

18ba+l~|1|18ba+1'

=—x6H--------1------>—x6+2.=%x(6+4⑹=3+2行,

2a+1b2VQ+1bj

。=3-2行

當且僅當「時取等號，故-+的取小值為3+2血.

b=y/2-l，z+lb

故答案為：3+2夜.

14.設aeR,若x>0時，均有［(a—2)x—1］儼—?―1"0成立，則實數(shù)a的取值集合為

’3+"

【答案】《

2

【解析】

【分析】可得aW2時，不等式不恒成立，當a>2,x=’必定是方程x?-ax-1=0的一個正根,

0-2

由此可求出a.

【詳解】當aW2時，貝I(。一2八一1<0,由于y=Y—a》—1的圖象開口向上,

則［(a—2)x——ax—1)20不恒成立,

當a>2時，由(。一2卜一1=0可解得x=^—>0,

Q—2

而方程必—初一1=0有兩個不相等的實數(shù)根且異號,

所以，x=---必定是方程x?-ax-1=0的一個正根,

a-2

則=則可解得。=3±走,

(a-2)yci-2)2

‘3+6

故實數(shù)a的取值集合為1>.

故答案為：<

【點睛】關鍵點點睛:

本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是先判斷aW2,再得出當a>2,x=^—必定是方程

a—2

x2-ax-l=0的一個正根.

四、解答題：本大題5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設全集U=R,集合Z={x,+4x+a=()},5=|x|x2+6x-2=o1.

(1)若集合A恰有一個元素，求實數(shù)a的值；

(2)若2GB,-3&A,求(dZ)cB.

【答案】(1)a=4

(2)(aZ)c8={2}

【解析】

【分析】(1)依據(jù)題意可得△=(),計算即可.

(2)根據(jù)2e8,-3e/分別計算出仇。，然后得到集合4臺，最后根據(jù)補集、交集進行運算即可.

【小問1詳解】

???集合/恰有一個元素，A=16-4a=0,解得：a=4；

【小問2詳解】

;2e5={x|X?+bx-2=0},

，4+2b—2=0=>6=—1；

又：-3eZ={x|/++口=o},

，9—12+Q=0=>Q=3；

即/=3/+4》+3=0}={_1,_3},5={%|%2-%-2=0}={-1,2}

.?.(dZ)cB={2}

16.比較下列各組中兩式的大?。?/p>

(1)已知a>6>0,試比較”4與空白的大??；

a2-b2a-b

(2)已知x<l,比較d—1與2/—2x的大小.

22

r冰心、一、a+ba+b

【答案】(1)———<----；

cr-b"Fa-b

(2)X3-1<2X2-2X.

【解析】

【分析】(1)(2)利用作差法比較大小即得.

【小問1詳解】

a2+b2a+b-2ab

依題意,,由a>b>0,得a?〉/)?>。，

a2-b~a-bcr-b2

OA

則。2—配〉0,且一ab<0,即

a"-o'

a~+b~a+b

所以———-<-----

cr-ba-b

【小問2詳解】

依題意，x'—1—(2x~-2x)=x，—2x~+2x—1

3

+-<0,

4

所以丁―1<2/—2x.

17.某食品企業(yè)為了提高其生產的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量x

噸與年促銷費用/萬元之間滿足函數(shù)關系式x=2———（左為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1

1+2

噸.已知每一年生產設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1噸食品需再投入32萬元的生產費用，

通過市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費的一

半”之和，則當年生產的該款食品正好能銷售完.

（1）求左值；

（2）將下一年的利潤歹（萬元）表示為促銷費f（萬元）的函數(shù)；

（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？

（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

【答案】⑴k=2

（3）該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為26.5萬元.

【解析】

【分析】（1）依題意當片0時，x=l代入計算可得；

（2）依題意求出當年生產無噸時，求出年生產成本和為年銷售收入，從而可表示出食品的利潤;

（3）由（2）可得＞鳥+?。??,利用基本不等式計算可得.

【小問1詳解】

由題意可知，當方=0時，1=1,所以1=2-解得左=2；

2

【小問2詳解】

由于k=2，故x=2-----,

/+2

2

由題意知，當年生產無噸時，年生產成本為：32x+3=322-+3,

t+2

當銷售x噸時，年銷售收入為：132f2-2C1

+3H—t,

t+22

由題意，2+3+$—32(2~2

J=|3212-+3—t,

t+2t+2

321

即,v=—+*o).

t+22

【小問3詳解】

32167

由(2)知：y=------------1+

t+222

32t+26932t+269

Bpy------------------1--=+-----+一

-t+222t+222

32t+269“u

<-2-----x------+—=26.5，

t+222

32t+2

當且僅當——二——，又，+222,即％=6時，等號成立.

/+22

此時，Nmax=26.5.

該食品企業(yè)下一年的促銷費投入6萬元時，該款食品的利潤最大為26.5萬元.

18.已知函數(shù)/(x)=(機+1)/+.

(1)當機＜0時，解關于x的不等式/(x)23x+%-2；

(2)若存在xe[0,2],使得不等式/(x)Vx2+2x—1成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(-??,1]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集的形式，結合分類討論思想，求不等式的解集；

（2）采用分離變量的方法，轉化成求函數(shù)的最值.

【小問1詳解】

由（機+l）x?—（機一l）x+機一123X+M—2n（機+機+2）》+120=（》一1）[（加+1）%一1]20.

若機+1=0即加=—1,上式可化為：x—iWOnxWl；

若加+1<0即加<一1,上式可化為：（x-l）xWOn--—<x<1；

[_m+ljm+1

若機+1>0即—1<加<0,上式可化為：（x—1）x------20,

Lm+1

因為一1<根<0=>0（加+1<1=>一一>1,所以：或xN---.

m+1m+1

綜上可知：當機<-1時，原不等式的解集為：-^-,1；

m+1_

當機=-1時，原不等式的解集為：（-co,l]；

當—1<0時，原不等式的解集為：^-oo,l]o[—^-j,+co^.

【小問2詳解】

不等式/（x）<X?+2x—1即（機+l）x?—（m一l）x+機一1<X?+2x-lnm^x2-x+1）Vx,

Y

因為——x+i〉o恒成立，所以：m<—---------.

X-x+1

問題轉化為：存在xe[o,2],使得機—成立，所以加W,",，

X--X+1I》-X+1人xa

設g（x）=^Z^~<xe[0,2]

XX十1

當x=0時，g（O）=O；

q（X）=—=—I—1

2

當0<xW2時，>x-x+l11,因為x+—22（當且僅當％=1時取等號），所以

%+1X

X

g（x）?L

所以加<1

綜上可知：陽的取值范圍是（-8』

【點睛】求參數(shù)的取值范圍問題，分離參數(shù)是常用的一種方法.通常把參數(shù)表示出來，而后轉化為恒成立或

存在性問題，通過求函數(shù)的值域或范圍來求解.

19.已知集合/={%,。2，%，，“，。"}(0＜％＜。2＜。3＜一＜%)具有性質：對任意%.+4與

%-一4?至少有一個屬于A,稱其為“團結集合”.

(1)分別判斷”={1,2,3}與3={0,2,4}是否是“團結集合”,并說明理由;

(2)若集合P={%,電,%}是“團結集合”，且。2=2023,求集合尸；

Q

(3)設函數(shù)/(〃)=-----------------