2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)（五+02（aeR）是純虛數(shù)，則a=（）

A.0B.1C.2D.3

2.<1”是“xe（2,3）”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.若點(diǎn)（3,0）到雙曲線C：/—z1=i（b>0）的一條漸近線的距離為1,則C的虛軸長為（）

b

A.空B.?C.乎D.孚

4242

.已知的內(nèi)角力，B,的對邊分別是b,c,且三則（）

4AABCCa,b=3c,sine=2,si.n鋁B—sinC=

A.5B.4C.3D.1

5.廢棄礦山的治理事關(guān)我國的生態(tài)環(huán)境保護(hù)，甲、乙兩種植物可以在一定程度上加快污染地生態(tài)的恢復(fù).若

在某一片污染地上甲、乙至少有一種可以存活，且甲存活的概率是0.6,乙存活的概率是0.5,則在該片污

染地上甲、乙都存活的概率為（）

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

6.已知某圓臺軸截面的周長為10,面積為3門，圓臺的高為則該圓臺的表面積為（）

A.67rB.10TTC.UTTD.12TT

7.已知力C為圓M的直徑且AC=2,B為圓M上的動點(diǎn)且與4,C均不重合，等邊三角形BCD與△ABC共面且

點(diǎn)4。位于BC的異側(cè)，則成?比的最大值為（）

1

A.&B.1C.2D.3

8.已知公差不為。的等差數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和為先,且S4=7S］,若存在正整數(shù)血，k,使得S33=6636一

SQ,則血的所有可能取值的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知a>0,設(shè)函數(shù)y=s譏%在區(qū)間［a,2a］上的最大值為在區(qū)間［2a,3可上的最大值為九，當(dāng)a變化

時(shí)，下列結(jié)論可能成立的是（）

A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m=0,n>0D.m<0,n<0

10.如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面PHD1平面4BCD,AD//BC,AD=AB=CD=PA=PD=1,

BC=2,F為PC的中點(diǎn)，貝式)卜

A.8C〃平面PAD/\

B.PC,平面BDF/

C.三棱錐P-4BC的體積為］A7^

D.P4與CD所成角的余弦值為gB

222

11.已知曲線Ci：(x-2)+(y—I)-r(r>0,x>2)IIC2：(x—2/+(y+=產(chǎn)(K？2)相切，且曲

線C「C2和拋物線C3：*=2X(X<2)圍成封閉曲線C,過C3的焦點(diǎn)F的動直線/與C交于4B兩點(diǎn)，過線段

4B的中點(diǎn)P作垂直于C3的準(zhǔn)線的直線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.r=1B.|FB|的最大值為?

C.|0川2不大于點(diǎn)4到y(tǒng)軸的距離的4倍D.若/的斜率為門，貝IMN1BN

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某蔬菜種植基地最近五年的年投資成本雙萬元)和年利潤y(萬元)的統(tǒng)計(jì)表如下:

X10ii121314

yii12ab19

若y關(guān)于％的線性回歸方程為y=2x-9.6,貝Uy的平均數(shù)y=

13.已知函數(shù)/(%)=/+Tn%2+ri%的圖象與直線y=1相切，且與直線y=1僅有一個交點(diǎn)，則九-m=

14.記hc｝表示a,b,c三個數(shù)中的最大數(shù).若函數(shù)/(%)=ln(2ax2—bx+c)(a>b>c>0)的值域

為R,則皿鼎,系,行的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

1

已知數(shù)列｛—｝的前幾項(xiàng)和S九=n2+2n.

an

(I)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(11)若加=(一l)n?翳，求數(shù)列｛g｝的前2幾項(xiàng)和72,

16.(本小題12分)

如圖，在直五棱柱4BCDE-&BiCiDiEi中，AB1BC,AB1AE,AE1ED,=AB=AE=2ED=

BC=1,M是E%的中點(diǎn).

(I)證明：力/〃平面OBi”；

(H)求直線G%與平面D/M所成角的正弦值.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(X)=Q—a)ex+a.

(1)求/(*)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若aW1,證明：當(dāng)x>0時(shí)/'(久)+e*2*+伍尤+2.

18.(本小題12分)

已知曲線C：/+4*=4(4>0)上任意兩點(diǎn)間的最大距離為4,M,N為C與y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)M在N的上

方.

(I)求。的方程；

(II)若過M的直線與C交于另一點(diǎn)G(異于點(diǎn)N),作NHIMG,H為垂足，直線NH,NG的斜率分別為七，

k2,證明：匕=4k2；

(III)若點(diǎn)P,Q在C上，且MP1MQ,證明直線PQ過定點(diǎn)，并求AMPQ面積的最大值.

19.(本小題12分)

甲、乙兩個不透明的袋中各有n(n22)個材質(zhì)、大小相同的小球，甲袋中的小球分別編號為1,2,n,

乙袋中的小球分別編號為?1+1，n+2,2n,從甲袋中任取兩個小球，編號記為a,b(a<b),從乙袋中

任取兩個小球，編號記為c,d(c<d)

(I)若幾=5,設(shè)X=b—a,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(11)設(shè)丫=?！猘,Z=d-b,事件“Y=Z”發(fā)生的概率記為七.

(i)用含n的組合數(shù)表示4.

(回證明:當(dāng)n23時(shí)，±<Pn<^-.

附：I2+22+32+-+n2=?^+1^+1),

6

答案解析

1.B

【解析】解：因?yàn)?V~S+i)2(aER)是純虛數(shù)，且i)2=。一1+

所以m，

(,2Va力0

解得a=1.

故選：B.

化簡已知復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義可得a值.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】解：由Vx—2<1可得,2Wx<3.

由2W久<3不能推出久C(2,3),即充分性不成立，而x6(2,3)可以推出2W久<3,即必要性成立，

所以“2Wx<3”是“xG(2,3)”的必要不充分條件.

故選：C.

先解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的概念進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.5

【解析】解：點(diǎn)(3,0)到雙曲線C：/—3=1的>0)的一條漸近線的距離為1,

對于雙曲線久2-馬=1(/?>0),其漸近線方程為y=±bx,即5%±y=0.

b

點(diǎn)(3,0)到漸近線-y=0(取這條漸近線計(jì)算，取另一條結(jié)果相同)的距離d,

已知距離d=L則與2坦=1.

口

即|3b|=，PMI,兩邊同時(shí)平方可得9/=爐+1,解得b=

4

把b=?代入可得虛軸長為2x?=

故選：B.

先求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到漸近線的距離列出關(guān)于b的方程，解出b后計(jì)算虛軸長.

本題考查雙曲線的漸近線方程、點(diǎn)到漸近線的距離、虛軸長等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】解：由正弦定理可知，與=告=2,

sinBsine

貝!JsEB=^,sinC=|,結(jié)合b=3c,

干曰2b—c_2b—c_4b-2c_4-3c-2c_10c__

^sinB—sinC&_￡,b—c3c—c2c"

22

故選：A.

根據(jù)正弦定理即可求解.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】解:已知甲存活的概率是0.6,乙存活的概率是0.5,

設(shè)甲存活為事件4乙存活為事件B,

則P(4)=0.6,P(B)=0.5,

則甲乙至少有一種存活的概率為PQ4UB)=1,

貝+P(B)-P(ADB)-1,

則所以甲、乙都存活的概率為P(Ans)=PQ4B)=0.5+0.6-1=0.1.

故選：D.

根據(jù)容斥原理的概率公式計(jì)算可得答案.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】解:由題意圓臺軸截面的周長為10,面積為3質(zhì)，圓臺的高為，3,

可設(shè)圓臺上下底面半徑分別為r,R且R>r,則圓臺軸截面腰長為J(R-「尸+3,

所以2(R+r)+2J(R—r)2+3=10,/3(Z?+r)=3/3,即R+r=3,

所以(R—r)2=l,可得R—r=L故R=2,r=1,

綜上，圓臺的表面積為兀/?2+兀產(chǎn)+兀(R+.J(R—「)2+3=4兀+兀+3兀*2=UTT.

故選：C.

若圓臺上下底面半徑分別為r,R且R>r,根據(jù)已知列方程求得R=2,r=1,再應(yīng)用圓臺的表面積的求

法求結(jié)果.

本題考查圓臺的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

1.D

【解析】解：如圖:

D

因?yàn)槊媪?流=6,

所以病?比=(DM+MA)-(DM+MC)=DM2-~MA=\MD\2-1-

取BC中點(diǎn)N,則|MD|=|MN|+|DM，

因?yàn)?<|BC|<2,所以設(shè)|BC|=2cosa,ae(0,9，

則\MN\—7\—cos2a=sina>|DN|=苧x2cosa=V_3cosa>

所以|MD|=sina+y/~3cosa=2sin(a+1),ae(0,1),

當(dāng)a=時(shí)，|MD|=2為最大值，

此時(shí)瓦彳-DC=4-1=3為最大值.

故選：D.

先把萬4?反轉(zhuǎn)化成：兩2—1，再求|MD|的最大值即可.

本題考查了向量加法的幾何意義，兩角和的正弦公式，是中檔題.

8.B

【解析】解：公差不為0的等差數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為S",且S4=7S1，

存在正整數(shù)小，k,使得S33=66(Sm-SQ,

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為的=2,公差為d,

由題有4%+竽d=7的，整理得到的=2d,

又$33=66(Sm-SQ,

33的+d=66[ma1+皿；也d-kar-d],

整理得到+16d=2(m—k)5+(m—k)(m+k—l)d,

將a】=2d代入得到(TH—/c)(m+fc+3)=18,

又…N*，則以屋或以屋"或器；雷=6,

解得｛建網(wǎng)建網(wǎng)建：(舍),

.?■山的所有可能取值的個數(shù)為2.

故選：B.

設(shè)等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為的=2,公差為d,根據(jù)S4=7S「得到a1=2d,利用等差數(shù)列的前ri項(xiàng)和公式，

結(jié)合條件，得至ij(m-k)(ni+k+3)=18,再利用m,kEN*,即可求解.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.ABC

【解析】解：對于4取則［見2可=有芻，［2%3可=生芻.

此時(shí)函數(shù)y=siztr在區(qū)間［a,2a］上為增函數(shù)，最大值m=sin|>0,

在區(qū)間［2a,3a］上也是增函數(shù)，最大值幾=sin5>0,故A項(xiàng)符合題意；

對于B,取(2=相，則［a,2a］=瞪，福，［2a,3a］=/勺.

此時(shí)函數(shù)y=sin、在區(qū)間［a,2a］上為減函數(shù)，最大值m=sin||>0,

在區(qū)間［2a,3a］上先減后增，最大值九=sin得=一：<。，故3項(xiàng)符合題意；

對于C,取a=",則［a,2a］=［兀,2TT］,\2a,3a］=\2n,3TT］.

此時(shí)函數(shù)y=sin%在區(qū)間［a,2a］上先減后增，最大值租=sirm=0,

在區(qū)間［2a,3a］上先增后減，最大值幾=sin：=1>0,故C項(xiàng)符合題意；

對于。，若m<0,即y=sin%在區(qū)間［a,2a］上的最大值小于0,

則@2。］￡(71,2兀)，可得a>加且2aV2",解得ae0,

故不正在實(shí)數(shù)a,使mV。，可知。項(xiàng)不符合題意.

故選：ABC.

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合舉例說明判斷出/、B、C三項(xiàng)項(xiàng)的正誤；若y=s譏%在區(qū)間［a,2a］上的

最大值m為負(fù)數(shù)，則正數(shù)a必須大于兀，止匕時(shí)2a>2兀，可知y=s)%在區(qū)間［a,2a］上存在函數(shù)值大于0,與

最大值為負(fù)數(shù)矛盾，從而可得O項(xiàng)的結(jié)論不能成立.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，考查概念的理解能力，屬于中檔題.

10.AC

【解析】解：對選項(xiàng)A：因?yàn)?D//BC,力。u平面/MD,8C仁平面P4D,

所以BC〃平面P4D,故A正確；

對選項(xiàng)2：如圖：

取2D中點(diǎn)“，連接P”，BH,

因?yàn)镻2=PD=2。=1,所以PH1AD,

又平面PHD_L平面ABC。，平面P2DCl平面ABC。=AD,PHu平面P2D,

所以PH1平面2BCD,

B”u平面ABCD,所以

在直角APHB中：PH=尊

ii17

HB2=AB2+BH2-2.-AB-BH-COS/.BAH=l+^-2xlx|x(-j)=p

所以PF=PH2+BH2=|,

又BC=2,所以BP4BC,又尸為PC中點(diǎn)，所以PC與BF不垂直，

所以PCI平面BFD是錯誤的，故8錯誤；

對選項(xiàng)C：因?yàn)镾“BC=^-BA-BC-sin60°="1X2X￡=",

△人以2222

所以5YBC=:SAABC?PH=!X苧X苧=),故C正確；

對選項(xiàng)。：取BC中點(diǎn)M,連接AM,PM,

因?yàn)?M〃CD,所以NP4M即為異面直線P4與CD所成的角，

在APBC中，PB=PC=苧BC=2,

所以PM?=PB2-BM2=|

在AP2M中，AP=AM=1,PM2=I，

所以COSNP4M=嗎%貨=：，故。錯誤.

2-AP-AM4

故選：AC.

根據(jù)線面平行的判定方法判斷力的真假；

判斷直線PC與BF的位置關(guān)系，判斷B的真假；

求三棱錐P-4BC的體積判斷C的真假；

構(gòu)造異面直線所成的角并求其余弦，判斷。的真假.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

11.ACD

【解析】解：如圖：6(2,1),0(2,—1)，

因?yàn)閳AG與圓C2相切，所以|6。21=27，即2=2r,

所以r=l,4選項(xiàng)正確；

當(dāng)直線/與曲線C交于圓Q上時(shí)，F(xiàn),QB三點(diǎn)共線時(shí)|FB最大，

22>

此時(shí)=\FC1\+r=JI+(2—|)+1=1+>fB選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)點(diǎn)4在曲線。3上時(shí)，畫(2戶,21),2t2<2,即嚴(yán)<1,

|0*2-4x2產(chǎn)=(2t2)2+(2t)2-8t2=4t2(t2-1)<0；

當(dāng)點(diǎn)4在曲線的上時(shí)，設(shè)？1(2+cosa,1+s譏a),0<cosa<1,

|。力『-4x(2+cosa)=(2+cosa)2+(1+sina)2—(8+4cosa)—2sina—2<0；

由對稱性可知當(dāng)點(diǎn)4在曲線3上時(shí)，結(jié)論也成立，C選項(xiàng)正確；

若，的斜率為，5時(shí)，/；y=——,

顯然此時(shí)直線與曲線C交于。3，

（

則yv—-V3“--2,

y2=2x

整理得3/-5刀+'=0,

4

設(shè)做孫力），

51

則久1+x2=~,%1%2=4（

即尸（瀉）,則N（—g,苧），

所以=（久1+g,為一爭，~NB=（x2+1,y2-'y）,

即m（抓修+|）+（y-苧）（yi—苧），

-NB=X2+2

即同-NB=%1%2+5（%1+%2）+7+7172一年（久1+冷）+9'

乙4J3

x

即NA-NB—xrx2+1（%i+冷）+[+（V-3i一苧）（V3%2~年）—苧一年+一年）+$

即a.NB=4%62—2（/+%2）+（=1—￥+[=。，

所以4V1BN,。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

由解析式求得圓心C,1。2，由兩圓相切求得半徑，判斷4選項(xiàng)；

取點(diǎn)B在G上，且F,Q,B三點(diǎn)共線，求此時(shí)FB,判斷B選項(xiàng)；

分類討論點(diǎn)4在C3,Q,C2,設(shè)出點(diǎn)4坐標(biāo)，由作差法比較|0*2與點(diǎn)橫坐標(biāo)的4倍的大小，判斷C選項(xiàng)；

由斜率寫出直線方程，聯(lián)立方程組后化簡為一元二次方程，由韋達(dá)定理得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得到

4B中點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到N點(diǎn)坐標(biāo)，寫出向量也，NB,由向量的數(shù)量積來判斷直線N4NB的位置關(guān)系判

斷。選項(xiàng).

本題考查向量與曲線方程的綜合應(yīng)用，屬于難題.

12.14.4

【解析】解：由題意可知，i=1。+11+1；+13+14=]2,

因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn)(%,y),

將工=12代入線性回歸方程y=2比一9.6,得亍=2x12—9.6=14.4.

故答案為：14.4.

因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn)(五向，將工=12代入即可.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.6

【解析】解：由題意可得，/(X)=3x2+2mx+n,

3

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=%++j1K的圖象與直線y=1相切，且與直線y=1僅有一個交點(diǎn),

由題意知函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，且r(X)且存在唯一零點(diǎn)，

2

A=(2m)2—3x4n=0,即幾=

2

???f(x)=3%2+2mx+ri=3%2+2mx+g=0,%=—y,

_2

mtio-zn、/32m.

W(-7)=(-y)+m(-y)+T-y=1,

則m=—3,n=3,

n—m=6.

故答案為：6.

寫出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ro),由題意分析得廣(久)且存在唯一零點(diǎn)，且函數(shù)“%)單調(diào)遞增，由判別式求得小，門的

關(guān)系，代回/(?=0求得對應(yīng)橫坐標(biāo)Xo，由圖像與直線y=1相切得到/(比)=1，求得m,n的值，從而得

到結(jié)果.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

得

【解析】解：若函數(shù)/(%)=ln(2ax2-bx+c)的值域?yàn)镽,

記9(%)=2ax2-bx+c,則g(%)能取所有的正數(shù)，

則<。，故4=b2-8ac>0,

,2

由。>6>c>0,得c<—,且a+h>a+c>b+c>0,

所以而2用N肅>0,

所以白2=2￡>0,

b+cc+aa+b

\.r(CLbc、a

故小"｛-而，不，浜｝=淑?

a8

得

可

則由0<c且0<2W1,b--

8aa+c9

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=8c>0時(shí)等節(jié)成立，

故g臉，焉捋的最小值端

故答案為：

先由值域?yàn)镽得到不等式CW3，再利用不等式的性質(zhì)比較擠,二,￡三者大小，再借助分?jǐn)?shù)的性質(zhì)及不

8ab+cc+aa+b

等式放縮求解最值可得.

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，不等式性質(zhì)在函數(shù)最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.解:(I)數(shù)列｛工｝的前n項(xiàng)和％=n2+2n,

an

11

可得幾=1時(shí)，一=Si=3,即％=子

22

當(dāng)71>2時(shí)，—=Sn—Sn_1=n+2n—(n—l)—2(n-1)=2n+1,

即廝=月(對首項(xiàng)也成立)，

1

貝1KeN*)；

n

(II)6rt=(-l)-翳=(一1)"?(2n_y(2?+1)=(-1尸(熹+焉),

則數(shù)列也}的前2n項(xiàng)和T2n=—(I+}+0+》一0+；)+，一(石匕+高)+(焉+焉)=T+

1_4n

4n+l4n+l

【解析】(I)由數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，化簡可得所求通項(xiàng)公式;

(II)由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡可得所求和.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.解：(I)證明；如圖，分別取4B,441的中點(diǎn)P,Q,

連接PD,PQ,QM,貝UPQ〃&8.

因?yàn)镋D=4P=1,EDHAP,所以四邊形2PDE為平行四邊形,

所以PD=AE=2,PD//AE,->

同理QM=4E=2,QM//AE,

所以PD//QM,PD=QM,所以四邊形PQMD為平行四邊形,

故PQ〃DM,又4B〃PQ,

所以又4/C平面MDu平面DaM,

所以〃平面DBiM.

(II)如圖，以4為原點(diǎn)，直線4B,AE,441分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

可得。(1,2,0),Bi(2,0,2),M(0,2,l),Q(2,1,2),%(0,2,2),

則西=(1,-2,2)，~DM=(-1,0,1)>=(-2,1,0).

設(shè)平面DBiM的法向量為元=(x,y,z),

則儼1西，則仔?西=x-2y+2z=0,

令尤=2,得元=(2,3,2).

設(shè)直線GJ與平面DBiM所成的角為8,

|心瓦?宿_|-4+3|V^5

則sin。=

\C^i\n\―/5x<17~85~

故直線ClEl與平面所成角的正弦值為攀.

【解析】(I)分別取48,A4i的中點(diǎn)P,Q,連接PD,PQ,QM,先證四邊形2PDE為平行四邊形，再證四

邊形PQMD為平行四邊形，進(jìn)而得最后應(yīng)用線面平行的判定證明結(jié)論;

(II)構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.解：(1)因?yàn)?0)=(久一(1)靖+￡1,

所以/'(%)=(x-a+l)ex.

當(dāng)％Va—l時(shí)，((%)<0,/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)汽>a—l時(shí)，ff(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,a—1),單調(diào)遞增區(qū)間為(a—1,+8).

(II)證明：要證明/(%)+ex>x+Inx+2,

即證明％e%+ex—x—Inx—2>a{ex—1),

因?yàn)閍<1,且久>0,所以—1)We"—1,

先證明％e%+ex—x—Inx—2>ex—1,即久e%—x—Inx—1>0.

設(shè)g(%)=xex—x—Inx—1,則g'(x)=(%+l)ex—1--=(%+l)(ex--).

易知g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g，g)=|(Y7—2)<0,d(1)=2(e—1)>0,

11

所以存在唯一的&EG，l),使得g'(%0)=0，即=—，%o=-lnx.

zx00

當(dāng)O<%<%o時(shí)，“(%)<0,g(%)單調(diào)遞減，當(dāng)久>%o時(shí)，g'{x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

所以g(%)>g(%o)=xex°-x-lnx-1=x----x+x-1=0,

o000%o00

故原命題成立.

【解析】(I)由函數(shù)“久)的解析式求得其導(dǎo)數(shù)((久)，由導(dǎo)數(shù)f'(x)<0求得遞減區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)「。)>0求得

遞增區(qū)間；

(H)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在已知條件下a(e*-1)We*-1,所以不等式轉(zhuǎn)化為x/-%-hix-1N0,設(shè)

函數(shù)g(x)=久二-%%-1,求導(dǎo)數(shù)g'(x),由解析式可知g'(x)遞增，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知存在唯

一的使得g'Oo)=0,從而得到函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間并得到函數(shù)最小值，證明函數(shù)g。)最小值大

于等于0即可得證.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了函數(shù)性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

2?

18.解：（I）易知+丁=1，

4

該方程表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，任意兩點(diǎn)間的最大距離為長軸長,

所以2v"X=4,

解得入=4,

2

則C的方程為5+y2=i；

4z

(II)證明：由(I)知N(O,—1),M(O,1),

設(shè)G(%o，y())(%oH0),

此時(shí)的=塵乜.

第0

因?yàn)椤㎝G=一，

%0

所以《=-4仔

所以魯=一一=

-1

而y0y°+ii-%

因?yàn)辄c(diǎn)G在橢圓上，

2

所以?+據(jù)=L

止匕時(shí)合號=筌=4,

（III）證明:易知直線MP,MQ,PQ的斜率存在,

設(shè)直線PQ的方程為丫=左支+血（血W1）,尸（％i，yi），Q（x2,y2）f

y=kx+m

聯(lián)立?消去y并整理得(軌2+1)%2+8kmx+4m2—40,

由韋達(dá)定理得,4m2—4

%1%2

4必+1

因?yàn)镸P1MQ,

所以—=嗜.鋁=一1，

即(乃一1)(72-1)+久1%2=(卜2++k(jn-1)01+久2)+(m-I)2=0,

BAU.一8km4m2-4

因?yàn)檠?“2=W%】％2=嬴率,

所以(I+1).緩營+k(m—1)-UR+(jn—l)2=0,

即5nI?-2m—3=0,

解得771=-|或TH=1(舍去)，

所以直線PQ的方程為y=kx-l，

易知PQ過定點(diǎn)(0,-)

因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)(0,—|)的距離為1一(一|)=I，

所以u18..4/-7-----;-----75-----A-------4I-8/c(-|)4(一|)2-

所以另喏。=2X二X%—句=FJ("1+X2)2—4X62="[在/]2-4-工下

_3225k2+4

—25*J商+爐，

令25k2+4=t(t>4),

止匕時(shí)2改+匕—I—T~4---=25]t2—2512'—25---gj---,

J(4fc2+l)2J(4x宏+1)2q(4t+9)2716t2+72t+81J16t+半+72

當(dāng)t=4,即k=0時(shí)，岑二取得最大值，最大值為2.

J(4/+1)2

【解析】(I)整理曲線方程，由題意知長軸為4,求得力從而求出曲線方程；

(H)寫出點(diǎn)M,N坐標(biāo)，設(shè)Ggy°)("°),得到斜率七，由-求右，然后得到門由G在曲線上求得引

即可得結(jié)果；

(III)設(shè)產(chǎn)(%i，yi),寫出直線PQ的方程y=for+m(mw1),聯(lián)立方程組后整理成一元二次方程,

由韋達(dá)定理得到橫坐標(biāo)的關(guān)系.因?yàn)镸P1MQ,所以/WZMQ=-1建立方程解出他的值.代回直線PQ方

程知道直線PQ過定點(diǎn)，結(jié)合交點(diǎn)弦長公式求得SAMPQ，由基本不等式求得最大值.

本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.解：(I)甲、乙兩個不透明的袋中各有5個材質(zhì)、