2025北京某中學七年級（下）開學考數(shù)學試卷

2025北京北師大實驗中學初一（下）開學考

數(shù)學

（60分鐘）

一、填空題（每題5分，共60分）

1.若a+3與1互為相反數(shù)，則2=—.

2.已知。表示正數(shù)，6表示負數(shù)，化簡|3—5目—取—|3a+l|=.

2尤+1

3.方程「——2x=—1的解為.

3

4.已知線段48=5,點C在A3的延長線上，點。在A3的反向延長線上，且B為AC的中點，AD為

5C的2倍，則CD=.

5.若ZAO6=170°,ZA（9C=70°,則ZBOC=

6.把％=1和x=—2分別代入式子V+bx+c中，值分別為2和6,則兒=.

7.已知方程V—7y+6=0,則在%=1,%=2,%=-3中，是方程的解.

8.為了便于計算，常把圓柱形鋼管堆成等腰梯形狀，下面的一層比上面一層多放一根，只要數(shù)出頂層的根

數(shù)。和層數(shù)"，就可以計算這堆鋼管的根數(shù).當。=〃=5時，這堆鋼管的總根數(shù)為；當〃=5時，這

對鋼管的總根數(shù)為（用。表示）.

9.下列說法中，正確的是（填序號）.

①乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；②兩個有理數(shù)相減，若差為正數(shù)，則被減數(shù)大于減數(shù)；③符號相反的兩個

數(shù)是相反數(shù)；④任意兩個有理數(shù)的和一定大于其中的某一個加數(shù).

10.如圖，OC平分NAOD,OD平分NBOC,下列等式成立的是.

①=②ZAOD=ZBOC；③ZAOB=3NCOD；?ZAOB=ZAOC+ZAOD

1L使得代數(shù)式卜―l|+|x—2|+卜+3|的值最小的x的值（或x的取值范圍）是.

12.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的X的值為48,我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24,第10次輸出的

結(jié)果為;第2012次輸出的結(jié)果為.

二、解答題（共40+6分）

13.如圖，長方形ABC。中，點E在邊CD上.將ABCE沿比折疊，點C恰好落在邊A。上的點尸處.

（1）用等式表示線段A5,DE，所之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）設(shè)NCBE=c,求NAFB（用含。的代數(shù)式表示）.

14.已知關(guān)于無的方程mr—l=2x+l,其中機#2.求所有整數(shù)機的值，使得該方程的解x為正整數(shù)，并

求此時方程的解.

15.如圖，A,B,C,。是平面內(nèi)的四個點，P為該平面內(nèi)一點.對于下面的兩個結(jié)論：

①若PC=a+l,PD=2a,CD=3a,則點P在直線CD外；

②若點尸到點A,B,C,。的距離的和最小，則滿足條件的點P有且只有一個.

回答問題：

AD

??

CB

（1）說明①錯誤的原因；

（2）說明②正確的原因，并在圖中作出符合題意的點P.

16.同六早上小健和小樂相約去奧森跑步.小健步行前往，他從家出發(fā)時刻與到達奧森時刻手表顯示信息

分別如圖所示.小樂家離奧森比小健家離奧森遠2.1km,他騎自行車前往，出發(fā)比小健早了5分鐘，且

騎行的平均速度是小健步行的平均速度的2.5倍，最終二人在同一時刻到達奧森.求小健步行的平均速度

和平均步長.

圖1圖2

17.某班計劃用一些長方形的卡紙，為同學們制作棱長為10cm的正方體心愿語盒.設(shè)計組提供了如圖1所

示的兩種心愿語盒的展開圖，制作組按照展開圖可圍成如圖2所示的心思語盒（不考慮接縫）

心愿語盒A心愿語盒B

圖2

材料組準備了以下三種類型的卡紙供選擇，規(guī)格如下表:

卡紙型號型號I型號II型號ni

卡紙規(guī)格（單位：cm）30x40（如圖1網(wǎng)格）40x6050x80

制作組要制作16個心愿語盒，通過合理選擇展開圖的樣式、卡紙的型號和數(shù)量，發(fā)現(xiàn)使所選卡紙的總成

本最低的方案是:

型號I的卡紙1張，型號II的卡紙1張，型號III的卡紙2張.

按照該方案，請在如圖型號H和型號III的卡紙上，畫出各紙盒的展開圖（只畫外輪廓即可）.

18.設(shè)ZAOC=e,ZCOB=/7(0°<?<180°,0°</3<180°),OD,OE分別是NAOC,NCO3的

角平分線，記NDOE=e.如果a,夕互補，或者夕，夕互補，則稱ZAOC,NCO3是一對“分補

角”.

NCO3是一對“分補角”，

求夕的值;

（2）如圖2,ZAOB^150°,ZAOC,NCO5是一對“分補角”，請直接給出ZAOC的所有可能

值，對于每一個ZAOC的值，要求畫出相應的圖形，并與之互補的兩個角各自的值.

例如：其中一個解如下：如圖3,其中NAOC=105°.此時a=105°與6=75°（角。不必畫出）互

補.請再寫出（并畫出）其它所有滿足條件的情況.

參考答案

一、填空題（每題5分，共60分）

1.【答案】-4

【詳解】：a+3與1互為相反數(shù)，

a+3+l=0,

a=-4.

故答案是：-4.

2.【答案】2-4a-4b

【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，整式的加減，根據(jù)。為正數(shù)、b為負數(shù)可得出。<0,

3-5b>0,3。+1>0進而可化簡絕對值，再進行整式的加減運算即可.

【詳解】解：為正數(shù)、%為負數(shù)

b—av0,3—5b>0,3a+1>0

.?.|3-5Z?|-|Z?-^|-|3^+1|

=3—5Z?—（?—Z?）—（3tz+l）

—3—5b—a+Z?—3a—1

=2—4a—4〃

故答案為：2-4a-4〃.

3.【答案】x=l

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

按照“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”的步驟解答即可.

2九+1

【詳解】解：------2x=-l,

3

2x+1—6x=-3,

2%—6x=-3—1,

-4x=T,

x=1.

故答案為：x=l.

4.【答案】20

【分析】本題主要考查了線段的中點、兩點間的距離、線段的和差倍分等知識點，弄清楚線段間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)點B為線段AC的中點求出5C的長，再根據(jù)線段為線段5C的2倍即可

得出的長，再根據(jù)CD=AD+AB+5C即可解答.

【詳解】解：如圖：

DABC

?..線段AB=5,8為線段AC的中點，

BC=AB=5，

???線段AD為線段5c的2倍，

40=250=2x5=10,

CD=AD+AB+BC=10+5+5=20.

故答案為20.

5.【答案】100?；?0。

【分析】本題主要考查了角的和差，分類討論是解題的關(guān)鍵.分兩種情況，根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】解：分兩種情況：

①NBOC不在ZAOB內(nèi)，

則ZBOC=360°-ZAOB-ZAOC=360-170°-70°=120°；

②ZBOC在/A05內(nèi)，

則ZBOC=ZAOB-ZAOC=170°-70°=100°；

故答案為：100?；?0。.

4

6.【答案】-

9

【分析】本題考查了解二元一次方程組，把X與相應代數(shù)式的值代入得到方程組，求出方程組的解即可得

到6與C的值，代入代數(shù)式，即可求解.

【詳解】解:由題意得：

l+b+c=2①

4-2b+c=6②

1

b=—

解得：《;3

4

故答案為：—.

9

7.【答案】％=1,%=2，%=-3

【分析】本題考查了方程的解，將乂=1,%=2,%=-3分別代入原方程的左邊，驗證是否等于右邊，

即可求解.

【詳解】解：將y=l代入方程，/_7y+6=l—7+6=0,等式成立，因此％=1是方程的解.

將y=2代入方程，得到23—7?2+6=8—14+6=0,等式同樣成立，故%=2也是方程的解.

將y=-3代入方程，得到(—3)3—7《—3)+6=—27+21+6=0,等式成立，所以必=-3同樣是方程的

解.

故答案為：％=1,%=2,%=-3.

8.【答案】①.355a+10

【分析】本題主要考查列代數(shù)式、代數(shù)式求值，類比梯形面積的計算公式列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵.

首先求得底層根數(shù)為a+〃-1,再利用梯形的面積公式列出代數(shù)式，然后將。=〃=5、〃=5分別代入代

數(shù)式求解即可.

【詳解】解：由題意可得：底層根數(shù)為a+〃—1,

貝!1堆鋼管的總根數(shù)=g(a+a+l)"=g"(2a+〃一l)；

當。=〃=5時，鋼管總數(shù)為=g〃(2a+〃—l)=gx5(2x5+5—1)=35；

當〃=5時，鋼管總數(shù)為=；"(2a+〃—1)=；義5(2a+5—l)=5a+10.

故答案為：35,5a+10.

9?【答案】①②

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的減法、倒數(shù)、相反數(shù)的定義、有理數(shù)加法等知識點，掌握定義及定理成

立時的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)倒數(shù)的定義、有理數(shù)的減法、相反數(shù)的定義、有理數(shù)的加法逐個作出判斷即可.

【詳解】解：①乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)是正確的；

②兩個有理數(shù)相減，差為正，則被減數(shù)大于減數(shù)，故正確；

③只有符號相反的兩個數(shù)是相反數(shù)，原說法沒有限制“只有”這個條件，反例：-1和2符號相反，但不是

相反數(shù)，故錯誤；

④任意兩個有理數(shù)的和不一定大于其中的一個加數(shù)，故錯誤.

綜上，①②正確.

故答案：①②.

10.【答案】①②③④

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、角的和差等知識點，掌握角平分線的定義成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線的定義、角的和差逐個判斷即可.

【詳解】解：；OC平分ZAOD,OD平分NBOC,

：.ZAOC=/COD,ZCOD=BOD,ZAOD=2ZCOD,ZBOC=2ZCOD

：.ZAOC=ZCOD=BOD,ZAOD=ZBOC,即①②正確；

ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZCOD+ZCOD=3ZCOD,即③正確；

ZAOB=ZAOC+ZCOB=ZAOC+ZAOD,即④正確.

故答案為；①②③④.

11.【答案】x=l

【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，掌握絕對值的性質(zhì)，分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

-[a(a>0]

根據(jù)絕對值的性質(zhì)分類討論，即可求解.

【詳解】解：當xW—3時，+|x—2|+|x+3|=1—%+2—%—%—3=—3x,

兀=一3時，原式的最小值為9；

當—3<xWl時，—1|+|x—2|+|x+3|=1—x+2—x+x+3=—x+6,

%=1時，原式的最小值為5；

當1<142時，—1|+|x—2|+|x+3|=x—1+2—x+x+3=x+4,

x=2時，原式的最小值為6；

當x>2時，|x—1|+|x—2|+|x+3|=x—1+x—2+x+3=3x,

x=2時，原式的最小值為6；

綜上所述，原式有最小值時，x=l,

故答案為：x=l.

12.【答案】①.3②.1

【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)程序框圖計算出前11次的輸出結(jié)果，據(jù)此得出除去前2次的輸出結(jié)果，后面每輸出六次為一個周期循

環(huán)，然后據(jù)此規(guī)律即可解答.

【詳解】解：1?第1次輸出的結(jié)果為24,

第2次輸出的結(jié)果為12,

第3次輸出的結(jié)果為6,

第4次輸出的結(jié)果為3,

第5次輸出的結(jié)果為8,

第6次輸出的結(jié)果為4,

第7次輸出的結(jié)果為2,

第8次輸出的結(jié)果為1,

第9次輸出的結(jié)果為6,

第10次輸出的結(jié)果為3,

第11次輸出的結(jié)果為8,

二除去前2次的輸出結(jié)果，后面每輸出六次為一個周期循環(huán)，

?.?（2012—2）+6=335,

.?.第2012次輸出的結(jié)果為1.

故答案為3,1.

二、解答題（共40+6分）

13.【答案】（1）AB=DE+EF

（2）2a

【分析】本題考查了翻折變換，長方形的性質(zhì)，余角的計算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)得到A3=CD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到所=CE,結(jié)合CD=CE+DE,即可得

到答案；

（2）根據(jù)長方形的性質(zhì)得到NA=/45C=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到求得

ZCBF=2a,再表示出NAM,最后根據(jù)NAFB是NABF的余角，即可得到答案.

【小問1詳解】

解:AB=DE+EF,理由如下：

???四邊形ABCD是長方形，

AB=CD,

???將△BC5沿跖折疊，點。恰好落在邊AD上的點尸處，

..EF=CE,

:.AB=CD=CE+DE=EF+DE^

【小問2詳解】

解：???四邊形ABCD是長方形，

:.ZA=ZABC=90°,

???將沿距折疊，點。恰好落在邊AO上的點尸處，

/.Z.CBE-4FBE=a,

/.ZCBF=ZCBE+ZFBE=2a,

:.ZABF=ZABC-ZCBF=90°-2a

ZAFB=90°-ZABF=90°-（90°-2a）=2a.

14.【答案】當機=3時，方程的解為x=2或當機=4時，方程的解為x=l

【分析】本題考查解一元一次方程，先求得原方程的解為：x=—2不，再利用要使m為整數(shù)，且該方程

m-2

的解為正整數(shù)，得出〃2-2=1或2,求得,再取值求解即可.

【詳解】解：方程3—l=2x+l,

2

解得：x=----)

m-2

要使加為整數(shù)，且該方程的解為正整數(shù)，

則〃?—2=1或2,

則=3或4,

2

當爪=3時，方程的解為x=----=2,符合題意；

m-2

當m=4時，方程的解為x=二二=1,符合題意；

m-2

綜上所述，當m=3時，方程的解為x=2或當機=4時，方程的解為x=l.

15.【答案】(1)見解析(2)兩點之間線段最短，作圖見解析

【分析】本題考查了線段的和差，兩點之間線段最短，畫線段，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)由線段的和差即可判斷；

(2)當點P線段A3和CD的交點時；由兩點之間線段最短即可求解.

【小問1詳解】

解:如圖，當點P在直線8上時，PC^CD+PD,

_____III

CDP

即a+l=3a+2a,

解得a=二，

4

.?.當。=工時，點尸在直線上，故①說法錯誤；

4

【小問2詳解】

解：當點尸線段A3和的交點時，由兩點之間線段最短可知點P到點AB,C,。的距離的和最小,

；?滿足條件的點P有且只有一個，

如圖所示，連接AB,交于點P,點P即為所求；

16.【答案】小健步行的平均速度為3.6公里/小時，平均步長為0.6米.

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系、正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)小健家離奧森X公里，則小樂家離奧森（x+2.1）公里，根據(jù)小樂騎行的平均速度是小健步行的平均速度

的2.5倍，列出一元一次方程求解可得小健家離奧森的距離，然后再求出小健步行的平均速度和平均步長

即可.

【詳解】解：設(shè)小健家離奧森x公里，則小樂家離奧森（尤+2.1）公里，（45—30）分鐘=15分鐘=:小時,

（45—30+5）分鐘=20分鐘■小時，.

x+2.1_x

由題意得：1=TX',解得：x=0.9,

34

小健步行的平均速度為0.9+!=3.6（公里/小時），

4

0.9公里=900米，

平均步長為900+（2043—543）=900+1500=0.6（米）.

答：小健步行的平均速度為3.6公里/小時，平均步長為0.6米.

17.【答案】見解析

【分析】本題考查了正方體的展開圖，分別在型號H的卡紙上畫出最多的心愿語盒A和心愿語盒B的展開

圖即可得出答案.

【詳解】解：型號I卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個心愿語盒A或1個心愿語盒2,

如圖，一張型號II的卡紙，可以畫出3個心愿語盒2的展開圖；

如圖，型號III卡紙，每張卡紙可制作6個心愿語盒8,則2張型號III的卡紙可畫12個.

型號in

所以型號I的卡紙1張，型號II的卡紙1張，型號皿的卡紙2張一共可畫1+3+12=16個心愿語盒.

18.【答案】（1）80°

（2）45?；?5?；?05°或135°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，補角的定義，角的和差，理解題意并運用分類討論思想解答是

解題的關(guān)鍵.

（1）由題意可知08不可能在NAOC內(nèi)部，再畫出圖形，根據(jù)角平分線和“分補角”的定義求解即可；

（2）分OC在/A05內(nèi)部和外部兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)角平分線和“分補角”的定義解答即可.

【小問1詳解】

解：：NAOC=120。，ZAOC,NCO3是一對“分補角”，

；?08不可能在NAOC內(nèi)部，

如圖，：。。，0E分別是NAOC,NCO3的角平分線，

ZCOD=-ZAOC=60°,ZCOE=-ZCOB=-B,