2025高考二輪模擬沖刺 數(shù)學(xué)試卷（天津卷）（全解全析）

2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（天津）01?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的）

1.已知集合&={%€2卜14》<2},8={X€岡04%<3},則AP|3=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2）

c.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

【解析】由題意4={尤"卜14%<2}={-1,0,1},3={尤€沖04尤<3}={0,1,2},所以4口8={。』}.故選：C.

2.設(shè)。，6都是不等于1的正數(shù),則“l(fā)og“3>10gz,3>1”是“3。<3"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】。，b都是不等于1的正數(shù)，

由log03>l0gzi3>1,得1<。<占<3,二3"<3";

反之，由3"<3〃，得a<b,若0<"1,b>l,則loga3<0,故log.3>10gA,3>1不成立.

"log03>l0gz.3>1"是"3"<3”的充分不必要條件.

故選：B.

3.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如下散點(diǎn)圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的是（）

25—25廠25—2517r

2020v.2020??

15151515

10101010A.

5J55:,5

0510152025051015202505101520250510152025

相關(guān)系數(shù)小相關(guān)系數(shù)-2相關(guān)系數(shù),3相關(guān)系數(shù)值

馬h<r2<r3<r1C.h<r2<r{<r3D.0

【答案】A

【解析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,

圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0,圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0,

圖1和圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性要強(qiáng)，所以弓接近于1,4接近于-1，

由此可得4<〃<0<4</.故選:A.

4.下列函數(shù)不是奇函數(shù)的是（）

A.y—x+sinxB.y=sinxcosx

—tanx

C.y=cos2x-sin2xD.y二-----b

l-tan2x

【答案】C

【解析】對(duì)于A,定義域?yàn)镽，于（-九）=-X+sin（-X）=/⑺,所以/（x）為奇函數(shù),

對(duì)于B,定義域?yàn)镽,且〃-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-/(x),所以〃元)為奇函數(shù),

對(duì)于C,定義域?yàn)镽，K/(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2x^f(x),所以為偶函數(shù),

兀7L兀一

對(duì)于D,定義域滿足tanxw±l且xw-+E,左EZ,所以XW土一+fai,%￡Z且％w—+fai,kEZ,

242

故定義域?yàn)?+E或++E或￡+左兀<x<>for法eZ卜故定義域關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，且〃/一、力=匚tan高層=匚嬴-ta互nx=-〃尤/、），所以為奇函數(shù)，

故選：C

5.若。=5°」,6=0.2°3,c=logo24,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

0A3

【解析】a=5>5°=b0<Z>=0.2°<0.2°=bc=log024<loga21=0,故a>b>c.

故選:B.

6.設(shè)“3〃是兩條直線，a,4是兩個(gè)平面，則下列命題為真命題的是()

A.若機(jī)_L(z,n工B,機(jī)//“，則<z_L"

B.若ac。=m,n1!a,〃//萬，則

C.若根ua,nu0,mlIn,則a//°

D.若tzJ■尸，mlla,〃///?,則

【答案】B

【解析】小，〃是兩條直線，?,￡是兩個(gè)平面，

對(duì)于A,若加」a,nY13,m//n,則由面面平行的判定定理得&〃￡，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若=及〃々，川|夕，則由線面平行的性質(zhì)得加〃”，故B正確；

對(duì)于C,若mua,nu/3,m〃〃,則。與月相交或平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若m\\a,n\\/3,則機(jī)與〃相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.函數(shù)/(x)=2sin(2尤+9)］。<9<鼻的圖象關(guān)于直線x4對(duì)稱，則/(x)在j,7t上的最小值為()

A.-2B.-73C.-1D.-72

【答案】A

［解析］由題意2x^+9=彳+fat,左eZ,則夕=1+也,左€2,又0<夕

1223，

JTjr

所以<=貝?。?(%)=2sin(2%+§),

*「兀11c兀「4兀7兀、7iJ3

在5,兀上，+yet—，—］，sin(2x+—)G［-1,—］,

所以/(%)最小值為-2.故選：A

22

8.已知雙曲線L-2=l(b>0),以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相

4b

交于A、B、C、。四點(diǎn)，四邊形ABC。的面積為26,則雙曲線方程為()

4443

【答案】D

【解析】以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x?+y2=4,雙曲線的兩條漸近線方程為

y=±-x,

不妨設(shè)A在第一象限，則A，;四邊形A5CD的面積為勸,

，由對(duì)稱性可得2x?Z?x=2Z?,又x>0,x=l9

將A,5］代入1+;/=4,可得1+勺=4,二6=12,

22

...雙曲線的方程為匕=1,

412

故選：D.

9.龐殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”,如圖

_3

⑴所示.現(xiàn)有如圖⑵所示的虎殿頂式幾何體ABCDW,其中正方形ABCD邊長為3,MN//AB,MN

-2,

且跖V到平面ABCD的距離為2,則幾何體ABCDW的體積為（）

【答案】D

【解析】取的中點(diǎn)分別為￡E,連接NE,EF,NF,

可得幾何體ABCDMN分割為一個(gè)三棱柱ADM-FEN和一個(gè)四棱錐N-F3CE,

將三棱柱ADM-FEN補(bǔ)成一個(gè)上底面與矩形ADEF全等的矩形的平行六面體，

可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，

119

則三棱柱ADM-詢的體積為匕=-X2X-X32=-,

四棱錐N—FBCE的體積為％=1x1x9x2=3,

915

所以該幾何體的體積為3+己=萬.故選：D.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.已知復(fù)數(shù)Z1=i,z2=2+i,那么z「Zz=.

【答案】—l+2i

【解析】由題意可得：z,-z2=i(2+i)=-l+2i.

(1丫

11.若x2--^=的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是

【答案】28

【解析】因?yàn)榈恼归_式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,

所以2"=256,故〃=8,即該二項(xiàng)式為Y一

216-2k--k

設(shè)其展開式的通項(xiàng)為Tk+l,則Tk+l=以(x「(-1)=(-球*

當(dāng)16-2"：左=0時(shí)，即Z=6,此時(shí)該項(xiàng)為C；x(-1)6=28

12.已知拋物線f=4y,斜率為-g的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)

線切于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸到直線AB的距離為.

【答案】4

【解析】設(shè)直線的方程為〉=-：、+6,聯(lián)立拋物線的方程無2=分，消去y得/+2》-46=0,所以

A=4+16/?>0.

設(shè)A。1,%),B(X2,y2),所以占+%=-2，%-％=一4。.

因?yàn)镻(國三，-D「(-1,-1).所以麗=(占+1,%+1),麗=(9+1,%+1)-

因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)P,所以PAYPB,

即麗?麗=(玉+1)(%+1)+(%+1)(%+1)=0,二6=1

所以直線的方程為y=_gx+l,即x+2y_2=0

因?yàn)镻(-l,-1),所以點(diǎn)P到直線48的距離為

13.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、單板滑雪三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一個(gè)項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目至少一個(gè)人參加，且甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽，則四人參加比賽的不同方案一共

有一種；如果符合以上條件的各種方案出現(xiàn)的概率相等，定義事件A為丙和丁參加的項(xiàng)目不同，事件B

為甲和乙恰好有一人參加跳臺(tái)滑雪，則尸（用A）=.

【答案】301

【解析】依題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加三個(gè)項(xiàng)目所有的方案共C；A；=36種，

其中甲、乙參加同一項(xiàng)目的方案A；=6種，

則所求的參賽方案一共有36-6=30種；

因?yàn)榧住⒁覂扇瞬荒軈⒓油豁?xiàng)目，所以丙、丁兩人不能參加同一項(xiàng)目，

則甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人參加同一項(xiàng)目，這里有C；C；A；=24種方案，

若甲單獨(dú)選擇跳臺(tái)滑雪，則丙、丁可分別選擇越野滑雪或者單板滑雪，乙也可在其中二選一，

故總共有A；C；=4種不同的方案；

若甲和一人一起選擇跳臺(tái)滑雪，則甲只可能和丙或丁共同選擇，剩下2個(gè)人分別選擇2個(gè)項(xiàng)目，

故共有C；A；=4種不同的方案；

同理，乙單獨(dú)選擇跳臺(tái)滑雪,有A；C；=4種不同的方案；

乙和一人共同選擇跳臺(tái)滑雪,有C；A；=4種不同的方案，總共有16種方案.

16

所以SA片石1r亙

30

14.在邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=120°,E是的中點(diǎn)，P是邊GD上的一點(diǎn)，DE交AF于H.若

斤是的中點(diǎn)，AH=AAB+^BC,則％+M=；若P在邊CD上（不含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則加?麗

的取值范圍是.

【答案】I苗

【解析】（1）如圖所示：

設(shè)用=/衣=/(而+;確=/就+;誠

由三點(diǎn)共線，

可設(shè)加=%而+(1-幻亞

1—?

=kAD+(l-k)(AB+-AD)

=2+?］而+°4)荏'

1k

t=—+—

22

則有，解得：

-=l-k

12

—.4―■2—■6

:.AH=-BC+-AB,即2+〃=于

(2)如圖所示：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)七月最長,

易知AADHS史EH,且相似比為2:1,

ZDCB=60°,在△DCE中，由余弦定理得:

DE2=DC2+CE2-2DCXCEXCOS60°=3，

所以。E=石，此時(shí)滿足龍2+應(yīng)2=%2,所以DEJ_CE,

所以ZADE=90。，此時(shí)￡>//=2。石=冬叵

33

由圖可知，DH&

2I12

貝!)左瓦斯=(而+麗)?麗=昉麗+麗■一二|函~6

2|X+6Z|,X<0

15.設(shè)〃￡區(qū)，函數(shù)/(%)=,若函數(shù)y=/(x)-網(wǎng)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

lx2-5x+4|,x>0

為.

【答案】-IvavO或1＜々＜2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(力-同恰有4個(gè)零點(diǎn),

所以丁=/(力的圖象與y=|同的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)。=0時(shí)，如圖所示,

y=/(力的圖象與y=|以|=0的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符;

當(dāng)〃＜0時(shí)，如圖所示,

在xe[l,4]上，當(dāng)/(%)=—犬+5%-4與y=一雙相切時(shí),

.Iy——f+5x_4

聯(lián)立,,得一%之+5%+以一4=0,

[y=-ax

貝!）A=（5+a）~—16=0,得a=-1（舍去a=—9）,

由圖可知，當(dāng)。＜-2時(shí)，，=辰|與y=/(x)在(-8,0)有一個(gè)交點(diǎn)，在(0,+℃)有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符,

所以當(dāng)-2Wa＜-l時(shí)，丫=同與y=/(x)在(-8,0)無交點(diǎn)，在(0,+℃)有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符,

當(dāng).=-1時(shí)，y=H與在(一咫0)無交點(diǎn)，在(0,+8)有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符,

當(dāng)—1＜。＜0時(shí),y=附與y=/(x)在(-8,0)無交點(diǎn)，在(。,+◎有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)。＞0時(shí)，如圖所示,

在xe[l,4]上，當(dāng)〃力=*+5了-4與尸融相切時(shí)，

聯(lián)立+5"一4,得_》2+5%_依_4=0,

[y=ax

貝！]△=（5-a）~-16=0,得a=l（舍去a=9）,

由圖可知，當(dāng)0<"1時(shí)，丫=網(wǎng)與y=〃尤）在（-e,。）有兩個(gè)交點(diǎn)，在（。,+°°）有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符,

當(dāng)°=1時(shí)，丁=同與丁=/（"在（-8,0）有兩個(gè)交點(diǎn)，在（0,+8）有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符,

當(dāng)l<a<2時(shí)，丁=網(wǎng)與y=/（x）在（-8,0）有兩個(gè)交點(diǎn)，在（。,+?）有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意,

當(dāng)a>2時(shí)，>=同與_y=/（x）在（-吆。）有一個(gè)交點(diǎn)，在（。,+°0）有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.

綜上所述，-1<a<0或1<°<2.

四、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步果。

16.（本小題滿分14分）在非等腰VABC中，a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且a=3,c=4,

C=2A.

⑴求cosA的值;

⑵求VA3C的周長;

(3)求cos(2A+%J的值.

【解】（1）在VABC中，由正弦定理三二上二三，a=3,c=4,

sinAsinBsinC

34

可得

sinAsinC

43_4

因?yàn)镃=2A,所以一即

sinAsin2AsinA2sinAcosA

2

顯然sinAwO,解得cosA=].

（2）在VA5C中，由余弦定理/=/+。2—2ACOSA,

得戶—口+7=0,解得6=3或b=g.

7

由已知〃，b,?；ゲ幌嗟?，所以人二鏟

728

所以GABC=〃+6+。=3+4+§=與,

(3)因?yàn)閏osA=：,所以sinA=，l—cos2A=@,

33

所以sin2A=2sinAcosA=^^，cos2A=2cos2=,

99

f1^1734A/5173+475

所以cosI2A+—j=cos2Acos——sin2Asin——x-------x—=--------

I6)66I9)29218

17.(本小題滿分15分)如圖，四邊形ABCD是正方形，P￡?_L平面ABC。，PD//EA,AD=PD=2EA=2,

F,G,H分別為BP,2瓦尸C的中點(diǎn).

⑴求證：FG〃平面PQE；

(2)求平面FGH與平面PBC夾角的大小；

(3)求點(diǎn)E到平面PBC的距離.

【解】(1)由題意凡G分別為8P,BE的中點(diǎn)，

所以FG是尸E的中位線，

^FG\\PE,

又尸G<Z平面PEu平面PDE,

所以PG//平面PDE；

(2)由于四邊形A3CD是正方形，尸。_L平面A3CD,

所以以DC,DP兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,分所在直線分別為％Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

又AD=PD=2EA=2,EG,”分別為BP,BE,PC的中點(diǎn),

則P(0,0,2),E(2,0,1),8(2,2,0),C(0,2,0),

所以G[2,1,￡|,“1,1,1),"(0,1,1)；

PC=(0,2,-2),BC=(-2,0,0),GF=f-1,0,1j,M=(-1,0,0)

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量加=(%，X，zJ,

PC_LmPC-m=2y-2zj=0

則___=1

BCJ_mBC,m=-2玉=0

解得g=0,令M=l,得4=1；

即訪=(OJl),

設(shè)平面FGH的一個(gè)法向量為五=(%,%，Z2)，

_.(—?1

rGFLnG廠為=一/+—Z2=0

則一=2,

FH±n石K-n

i[FHn=-x2=0

解得％=0*2=°,令%=L

即3=(0,1,0)；

設(shè)平面FGH與平面PBC夾角的大小為0,

所以cos*2s伍小欣=京=三,

jrqr

又夕￡0,-,所以

L2J4

即平面FGH與平面PBC夾角的大小為?；

（3）由（2）平面尸3c的一個(gè)法向量為訪=（O,LI）；

又詼=(0,-2,1),

所以點(diǎn)8到與平面PBC的距離距為:

1_y/2

d

同V2-2

22i

18.（本小題滿分15分）已知橢圓C:1ry+方v=1（。＞萬＞。）的離心率為萬，左、右焦點(diǎn)分別為耳、耳，上、

下頂點(diǎn)分別為4、B2,且四邊形瓦片民居的面積為2月.

（D求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）已知點(diǎn)”直線/：＞=6+加（加關(guān)0）與橢圓C交于P、。兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,若|而^=1祈。|,

求AN與耳面積的取值范圍.

【解】（1）由橢圓的離心率為可設(shè)a=2f,c=t（t＞0）,貝］6=6r,

四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，其面積為S=-2c-2b=-2t-2yl3t=2舟=2A,

22

即f=l,所以橢圓的方程為：土+匕=1.

43

22

（2）設(shè)pa，%）,。優(yōu),%）,聯(lián)立直線＞=依+，〃與橢圓3+q=i,

消去y可得（3+4〃*+8.+4帚-12=0,

A=(8M2-4(3+4Z:2)(4m2-12)>0,貝！|病<3+4/,玉+%=言*，玉%

DI/1K3Ii"/C

設(shè)躅的中點(diǎn)為則等，所以《曲

3mV13

因?yàn)镮而？1=1加I，所以尸Q,所以3+4.左=_1,

-。4km-

3+4左2

山is3mJ134mm關(guān)，所以利=一*（3+叼，

所以----y--一二----r，即nn-----7

3+4k2123+4k23+4%2

又N（0，m），所以外曬=gx2cx帆=同=*（3+4/"坐x3=乎,

212m々.12機(jī)12

又4k=一下f故"2(一即一;

所以H的取值范圍是孚引小蛋'

19.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為%卬=2,邑=14,數(shù)列也｝滿足乙=4,

%=3%-2.

⑴求｛優(yōu)｝的通項(xiàng)公式：

善父,〃為奇數(shù)

⑵設(shè)數(shù)列｛1｝滿足g=<“"，

"為偶數(shù)

I%

①求｛c,｝前2“項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)和琦，②若｛9｝的前〃項(xiàng)和為】，證明：

【解】（1）因?yàn)?=3〃-2,所以（配「1）=3?！?1）,且4-1=3彳0,

所以也-1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，所以勿-1=3",所以4=3"+1,

所以也｝的通項(xiàng)公式為勿=3"+1；

（2）①設(shè)｛q｝的公差為d,因?yàn)?=2,邑=14,

所以4%+6d=14,所以d=l,所以?！?2+（"-l）xl=〃+l,

7一3J，"為奇數(shù)11________1__，_〃為奇數(shù)

(〃+1)(〃+3)4<(M+1)2("+3)、

所以C”=■1八1，所以g=

S.”為偶數(shù)￡，"為偶數(shù)

/、/

所以7111fill

2"<)底】2〃+2『J+序+*+3+

(/、八

4“1111m_3i

所以2"<443+2d-W廠正一4⑶+2)2

又因?yàn)槲逅孕?

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)/(x)=g尤2-alnx+b(aeR).

⑴若曲線V寸(x)在尤=1處的切線的方程為3x-y-3=0,求實(shí)數(shù)①b的值;

⑵當(dāng)。=1時(shí)，/(占)=/(%)，且占//，求證網(wǎng)+無2>2.

(3)若。<。41,對(duì)任意占，馬右。，2］，不等式|/區(qū))-/(馬)|2根--：恒成立，求機(jī)的取值范圍;

【解】(1)/(乃二!/一aln尤+6,;./'(%)=無一@,

2x

???曲線y寸㈤在產(chǎn)1處的切線的方程為3x-y-3=0,

所以/'⑴=1_々=3,/(l)=g+人=0,/.a=-2,b=--?

11Y2—1

(2)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=-x1—\nx+b,{x>G),則尸(x)=x—=----，

2xx

當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(尤)<0,f(x)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)>0,f(x)遞增，

由于%)=/(々)，且灰片/，故不妨設(shè)。<玉<1<%，

則要證明須+無2>2