2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：直線與方程

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練8.1直線與方程

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其它答案標(biāo)號。

2.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

22

1.設(shè)橢圓工+2L=l（a〉6〉0）的半焦距為直線/過/（0,0）,3（0⑼兩點，坐標(biāo)原點到直線I的

/b2

距離等于同，則橢圓的離心率為（）

B.也

A.1C正DV2-1

23

2.已知m,n,p,q均為實數(shù)，則+（“一p—+J（m-q）~+（“-q-3y的最小值為（）

A.lBj2C石D.2

3.已知直線/經(jīng)過（1,2）和（2,1）兩點，則/的傾斜角為（）

A.--B.-2EC.-D.—

4444

4.直線%—也＞+3=0在〉軸的截距為（）

A.-3B.-石C.石D.3

5.已知雙曲線。：二—當(dāng)=1（?！?］〉0）的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)、,過耳作斜率為正且與雙曲

ab

4

線。的某條漸近線垂直的直線/與雙曲線。在第一象限交于點A,若cos/F；AE=g,則雙曲線C

的離心率為（）

A.-B.-C.V5D.—

322

6.在平面直角坐標(biāo)系九0y中，已知直線4:%一加丁+4加-1=0與，2x+y-3根-2=0交于點P,

點。（％，%）是拋物線9=一4工上一個動點，則IPQI—X。的最小值為（）

A.V2-1B.2A/2-1C.A/3-1D.2>/3-1

7.已知直線方程x+6y+6=O,則傾斜角為（）

A.15O0B.12O0C.60°D.3O0

8.若直線改+y+a-l=O與直線％+”=0平行，則實數(shù)〃的值為（）

A.1或-1B.-lC.lD.0

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知直線/：7nx+y+2m=O（meR）,圓C:爐+y?一分+2=0,貝！|（）

A.1經(jīng)過定點（—2,0）

B.圓C與圓G：必+/=2外離

C.當(dāng)/與圓C相切時，m=6

D.圓心C到直線/距離的最大值為20

10.下列說法正確的是（）

A.已知匕為非零向量，若卜+,>,一可，則a，匕的夾角為銳角

B（x—工；展開式中的常數(shù)項為—20

22o

C若方程X+上_=1表示橢圓,貝/〃>士

2m-3m+12

D.點尸在直線x—y—1=0上運動，4（2,3），B（2,0）.41TpM的最大值是迅

11.已知圓C：+（y-2）2=25，直線/:（2/w+l）x+（〃?+l）y—77H—4=0，則下列命題中正

確的有（）

A.直線/恒過定點（3,1）

B.圓C被y軸截得的弦長為4

C.直線/與圓C恒相離

D.直線/被圓C截得最短弦長時，直線I的方程為2x-y-5=0

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若圓6：好+丁=1與曲線C2：V=ln（x—D+機的公切線經(jīng)過［1,—求機=

13.已知直線《：%+2》+1=0和4:2%+紗+1=0,若/1〃/2，則々=

14.過點（2,1）且橫截距是縱截距2倍的直線方程為.（寫成一般式方程）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，已知等腰直角三角形ABC的斜邊A3所在直線方程為y=2x-5,其中A點在3點上方,

直角頂點C的坐標(biāo)為（1,2）.

（1）求A5邊上的高線所在直線的方程；

（2）求三角形ABC的面積.

221

16.已知雙曲線E：5_a=1（?！?］〉0）的實軸長為2,頂點到漸近線的距離為

（1）求雙曲線E的方程；

（2）若直線/與E的右支及漸近線的交點自上而下依次為C,A,B,D,證明：|人。=忸￡>|；

（3）在數(shù)學(xué)中，可利用“循環(huán)構(gòu)造法”求方程的整數(shù)解.例如：求二元二次方程必-2V=1的正整數(shù)解，

由（3—20）（3+20）=32—2x22=1可先找到該方程的初始解<,記此解對應(yīng)的點為

片（3,2），進一步可得點￡（17,12），…，月（與,"），…，左eN*?設(shè)由“循環(huán)構(gòu)造法”得到方程E的

正整數(shù)解對應(yīng)的點列為：0（n，K）,…，Q（%，%），+i〉七，jeN*，記

^Q?OQn+1=0?-試判斷OQ.OQ+itanq是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請

說明理由.

17.已知方程C:x?+y?-2x-4y+7〃=0,

(1)若方程C表示圓，求實數(shù)，〃的范圍；

⑵在方程表示圓時，該圓與直線/:x+2y—4=0相交于M、N兩點，且|MN|=竽，求根的值.

18.已知直線/：x—y+l=0,點。(―1,—2).

(1)求過點A且與/垂直的直線方程；

(2)求點A關(guān)于直線/的對稱點A，的坐標(biāo)；

19.直線/經(jīng)過兩直線/i：3x+4y—2=0和/2：2%+丁+2=0的交點.

(1)若直線I與直線3%+y—1=0垂直，求直線I的方程；

⑵若直線/與圓(%—3)2+0—1)2=25相切，求直線I的方程.

參考答案

1.答案：B

解析：由題意易知直線/方程為:二+2=1,即區(qū)+G;—bc=O,

cb

原點到直線的距離為,

業(yè)+一

1

2112

所以廿+/=2Z?c，即〃=c，

所以方2+，=〃2_2c2,

所以￡=交,

a2

故選:B

2.答案：B

解析：/m_p)2+(n_p_i)2表示兩點A(m,九)與3(p,p+1)之間的距離，

4m_q)2+(n_q_3)2表示兩點A(m,n)與C(q,q+3)之間的距離，

又點B(p,p+1)是直線y=%+1上的動點，點C(q,q+3)是直線y=%+3上的動點,

且直線y=X+1與直線y=x+3平行,

所以|A31+1AC|的最小值即為直線y=x+l與直線y=%+3之間的距離,

所以|ABI+IAC|的最小值為耳/U=

Vi+i

故選:B.

3.答案：D

解析：直線/的斜率為上2=—1,

2-1

設(shè)/的傾斜角為o，。€[0,兀＞則tan6?=—1，解得。=苧?

故選:D

4.答案：C

解析：令％=0,得＞=石，

所以直線在y軸的截距為出.

故選：C.

5.答案：A

解析：令雙曲線C的半焦距為c,則可(-c,0),

令直線/與雙曲線C的漸近線法+砂=0垂直的垂足為

于是用力卜兒

11V77F

\0D\=J|。耳402=&2一/=a,

如圖，過點工作于2,則83〃。。,

而。為線段耳鳥的中點，所以閨耳=26,叵B|=2a,

4/------------------3

因為cos/FJAg=—,所以sinN片Ag=^l-cos2ZF^AF=—,

照10

"=I=----Q

sinZF{AF23

由雙曲線定義得|A周—|9|=2a,

即9a+2人一竺a=2a,解得？=土

33a3

故該雙曲線的離心率為e=(=Jl+=|

6.答案：B

解析：直線乙：x-my+4〃z-l=0,

即(x—1)——4)=0,可知直線4過定點P(l,4)；

直線4：^^+y-3"z-2=0,即機(x-3)+(y-2)=0,

可知直線6過定點Q(3,2)；

且lx〃z+(-/w)xl=0,貝！14_1_6，

可知點P在以A3為直徑的圓上，

此時圓心為C(2,3),半徑r=；|A3|=&.

因為拋物線V=-4x的焦點為尸(―1,0),準(zhǔn)線為x=l,

且點0(%,%)是拋物線V=-4x上一動點，

則|0"|=1_%，即一/=|QE|—1,

可得1尸。1一%=1尸。1+1。/1一1臼QC\-r+\QF\-l

=1QC\+\QF\-(^2+l),

當(dāng)且僅當(dāng)點尸在線段QC上時，等號成立，

又因為IQC\+\QF\>\CF|=3后，

當(dāng)且僅當(dāng)點。在線段bC上時，等號成立，

即|。。|—/4。。1+1。為—(逝+1)230—(夜+1)=20—1,

所以IPQI-%的最小值為2及-1.

故選：B.

7.答案：A

解析：直線x+6y=0的斜率為左=一匚，設(shè)直線的傾斜角為a，貝|tana=—,又

33

aG[0°,180°)，所以a=150°.故選:A.

8.答案：B

解析：若直線ax+y+a-l=。與直線x+ay=0平行，

則需滿足“2=1,解得。=±1,

當(dāng)。=1時，兩直線都為x+y=0,故兩直線重合，舍去,

當(dāng)a=—1時，兩直線分別為：x-y+2=0,x-y=0,符合要求，即a=—1.

故選：B.

9.答案：AD

解析：對于選項A：因為/:，nx+y+2機=0=>/〃(x+2)+y=0,

x+2=0x=-2

令,解得<

b=°1。=0

所以/過定點4(—2,0),故A正確；

對于選項B:圓C可化為尤2+(y—2)2=2,

可知其圓心為C(0,2),半徑廠=收，

圓￡:必+丁=2的圓心為q(o,o),半徑石=0,

因為|￡。|=2?(0,20),即卜_d<|Gq<r+q,

可知兩圓相交，故B錯誤；

對于選項C：若/與圓C相切，

則圓心。(0,2)到直線/的距離d=\+2時=J5,

y/rn2+1

解得加=—2±6，故C錯誤；

對于選項D：當(dāng)C4，/時，圓心C到直線/距離的最大,

此時最大值為|C4|=2夜，故D正確.

故選：AD.

10.答案：BD

解析:對于A選項，已知,+。卜卜—可，

將兩邊同時平方可得(4+為2>3—6)2.

展開化簡可得4。2>0,即>0?可知cos6>0-

當(dāng)d與匕同向時，cos6>=l>0>此時夾角為0。，不是銳角，所以A選項錯誤.

對于B選項，對于(工—工)6展開式的通項為J；*]=c；x6-r(--)r=(-l)rC；x6-2r-

xrX

令6—2廠=0，解得r=3?

將r=3代入通項公式可得常數(shù)項為(-IpC：=-20,所以B選項正確.

2m-3>0

22

對于c選項，若方程」—+y=i表示橢圓,則需滿足<m+1>0

2m—3m+1

2m-3m+1

解得相的取值范圍是m>3且加W4，C選項錯誤.

2

對于D選項，設(shè)點5(2,0)關(guān)于直線x-y-l=0的對稱點為B'(m,ri).

上=—]

相一2，解得“=]

根據(jù)對稱點的性質(zhì)可得4

m+2n

122

則幾=2—1=1，即?

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知|PA|-|PB|=|PA|-|Pfi,|<|AB'\.

根據(jù)兩點間距離公式|AB]=Ip+(3-1)2=Jl+4=亞,所以IPA\-\PB\的最大值是加，

D選項正確.

故選：BD.

11.答案：AD

解析：將直線I的方程整理為(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，

由卜+y—4=0尤二3

解得：\則無論相為何值，直線/過都定點。(3,1)，故選項A正確;

2x+y—7=0卜=1

令％=0，則(y-21=24，解得>=2±2布，故圓C被y軸截得的弦長為4指，故B不正確;

因為(3—1)2+(1—2)2=5<25,所以點。在圓C的內(nèi)部，直線/與圓C相交，故C不正確;

圓心C(l,2)，半徑為5,|CD|=V5>

當(dāng)截得的弦長最短時，/LCD，%=-￥,則直線/的斜率為2,

此時直線/的方程為y—l=2(x—3)，即2x—y—5=0，故D正確.

故選：AD

12.答案：g—

解析：

13.答案：4

解析：由題意可得2=0/1,解得。=4.

121

14.答案：九一2y=0或x+2y-4=0

解析：當(dāng)直線過原點時，直線的斜率為左二1一-0■二上1，

2-02

此時直線的方程為y=即x—2y=0；

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線的方程為二+上=1(b/0)，

2bb

即x+2y=2b,

將點(2,1)的坐標(biāo)代入直線方程可得2〃=2+2=4,解得b=2,

此時直線的方程為x+2y—4=0,

因止匕，所求直線方程為x—2y=0或x+2y—4=0.

故答案為：x—2y=0或x+2y—4=0.

15.答案：(l)x+2y—5=0

(2)5

解析：⑴設(shè)CH的斜率為％CH，

因為斜邊A3所在直線方程為y=2x-5,所以4s=-；，

又CH經(jīng)過點C(l,2),所以/⑺：y—2=—g(x—1),

即CH的直線方程為/⑦：x+2y-5=0.

,,|2-2-5|r-

（2）由題意知，\CH\=?=V5,

#+（-D2

因為△A3C是等腰直角三角形，

所以|AB|=2|CW|=26,

所以△ABC的面積為/CHHAB|=（XJ?X2J?=5.

16.答案：⑴％2_3y2=］；

（2）證明見解析；

⑶是，1.

解析：（1）因為2a=2，所以a=l，

因為雙曲線E的一個頂點為（1,0）,

一條漸近線的方程為：bx-y=0,

b11

所以/=一，解得：Z?2=—

7^7123

2

故雙曲線E的方程為：%-3/=1；

（2）設(shè)4（石,乂），8（9,%），。（不，%>。（如%>

因為直線/的斜率不為0,設(shè)/的方程為：x=my+n,

2m

聯(lián)立「3'L可得：—3）y+2nmy+/—i=o，則%+%=——2：

x=my+n.、m-3

聯(lián)立V'"°，可得：（加2一3）丁+2祖〃y+〃2=0,

x=my+n.

則為+%=一^^=必+>2，

m—3

故線段AB，CD的中點重合，所以恒。|=|加|

yt

F,

（3）解法1：因為（2—6*2+百）=2?—3義儼=i，

所以2（2,1），尤;―3才=卜”—島“）&+島,）=（2—⑹"（2+碼”=1'

因為二項式（2-石丫與（2+石）”的展開式中不含括的項相等，含百的項互為相反數(shù)，所以

令a=(2+百b=(2—叫,則ab=l-

七+1四

直線。?！?1的方程為:|。閡sin4=

丁〃+1》一%+1>=0,Jx,\+y；+i

OQ?OQ,t+}tan6>?=|oe?|-|oe,i+)|sin6>?=|x?y?+1-%?+1y?|

故。202+itanQ為定值L

解法2：因為（2-6）（2+Q）=22-3xF=1，

所以0（2,1〉片—3城=（x“—括%）（x“+百％）=（2—百）"（2+6）”=>

因為二項式（2-73）"與（2+后的展開式中不含石的項相等，

含石的項互為相反數(shù)，所以%“—月%=（2-8）"，

則玉+J-=（2-⑹卜6%）=2x.+3y”-+x〃+2%），<%J?；?%

直線021M的方程為：y向》一七,口=0,/0卜3二號|口里

收+i+端

OQn-OQn+x^en=\pQ^\pQn+^men=\xnyn+x-xn+lyn\

=N(七+2”)一(2%+3券)％|=|d—3%|=1，

故OQOQ+JanQ為定值L

17.答案：⑴(—,5)

(2)4

解析：(1)若方程/+9-2%一4'+根=0表示圓，

則(—2)2+(-4)2—4%＞0,所以加＜5,

所以方程C表示圓，實數(shù)機的范圍是(-8,5)；

⑵圓C的