2025廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類(lèi)匯編《函數(shù)綜合題》含答案解析

專(zhuān)題16解答壓軸函數(shù)綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量拋物線的開(kāi)口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無(wú)，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小

組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)5。的讀數(shù)為無(wú)，CD讀數(shù)為》拋物線的頂點(diǎn)為C.

并求出y與尤的關(guān)系式;

（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-/z）2+Z的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平

和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為A3,豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線的開(kāi)口大

小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：

方案一：將二次函數(shù),平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為y=.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

②將點(diǎn)3'坐標(biāo)代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為他㈤

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系xQy中有A,8兩點(diǎn)，AB=4,且AB〃x軸，二次函數(shù)

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+人都經(jīng)過(guò)48兩點(diǎn)，且Ci和。2的頂點(diǎn)尸，。距線段A5的

距離之和為10,若AB〃x軸且AB=4,求。的值.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人

們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線構(gòu)成，其

中A3=3m,BC=4m,取中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作線段的垂直平分線交拋物線AED于點(diǎn)E,

若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）如圖，拋物線AEO的頂點(diǎn)后（0,4）,求拋物線的解析式；

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LEGT,SMNR,若

FL=NR=Q75m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；

（3）如圖，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線透過(guò)A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為5K,求的長(zhǎng).

3.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個(gè)玻璃球體近似半圓O,A3為直徑，半圓。上點(diǎn)。處有個(gè)吊燈

EF//AB,。0,48,所的中點(diǎn)為。,。4=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在08上，0M=1.6,。尸=0.8,求CZ)長(zhǎng)度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓。相切，H為切點(diǎn)，M為。8上一點(diǎn)，為入射光線，為反射光線,

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH='，求ON的長(zhǎng)度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，NHOM=50。，/W為反射光線交圓。于點(diǎn)N,

在M從。運(yùn)動(dòng)到8的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：車(chē)輪的形狀

項(xiàng)目背景：在學(xué)習(xí)完圓的相關(guān)知識(shí)后，九年級(jí)某班同學(xué)通過(guò)小組合作方式開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，深入探究車(chē)輪

制作成圓形的相關(guān)原理.

【合作探究】

(1)探究A組：車(chē)輪做成圓形的優(yōu)點(diǎn)是：車(chē)輪滾動(dòng)過(guò)程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車(chē)

輪在滾動(dòng)過(guò)程中，最高點(diǎn)到地面的距離也是不變的.如圖1,圓形車(chē)輪半徑為4cm,其車(chē)輪最高點(diǎn)到地面

的距離始終為cm；

(2)探究B組：正方形車(chē)輪在滾動(dòng)過(guò)程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車(chē)輪的軸心為。,

若正方形的邊長(zhǎng)為6cm,車(chē)輪軸心。距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為cm；

(3)探究。組：如圖3,有一個(gè)正三角形車(chē)輪，邊長(zhǎng)為6cm,車(chē)輪軸心為。(三邊垂直平分線交點(diǎn)),

車(chē)輪在地面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

探究發(fā)現(xiàn)：車(chē)輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車(chē)輪軸心是否穩(wěn)定，即車(chē)輪的軸心是否在一條水平線上運(yùn)動(dòng).

【拓展延伸】

如圖4,分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑作60。圓弧，這樣形成

的曲線圖形叫做“萊洛三角形”.“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物

體也能夠保持平衡，但其車(chē)軸中心。并不穩(wěn)定.

(4)探究。組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動(dòng).在滾動(dòng)過(guò)程中，其“最高點(diǎn)”

和“車(chē)輪軸心?！本诓粩嘁苿?dòng)位置，那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過(guò)程中，其“最高點(diǎn)”和“車(chē)輪

軸心?！彼纬傻膱D形按上、下放置，應(yīng)大致為.

5.(2024?廣東深圳?福田區(qū)三模)背景：雙目視覺(jué)測(cè)距是一種通過(guò)測(cè)量出左、右兩個(gè)相機(jī)視野中，同一物

體的成像差異，來(lái)計(jì)算距離的方法.它在“4”領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

材料一：基本介紹

如圖1,是雙目視覺(jué)測(cè)距的平面圖.兩個(gè)相機(jī)的投影中心。/,。，的連線叫做基線，距離為3基線與左、

右投影面均平行，到投影面的距離為相機(jī)焦距力兩投影面的長(zhǎng)均為/G,/,/是同型號(hào)雙目相機(jī)中，內(nèi)置

的不變參數(shù))，兩投影中心。/,。,分別在左、右投影面的中心垂直線上.根據(jù)光的直線傳播原理，可以確

定目標(biāo)點(diǎn)尸在左、右相機(jī)的成像點(diǎn)，分別用點(diǎn)片，匕表示.4，4分別是左、右成像點(diǎn)到各投影面左端

的距離.

p

材料二：重要定義

①視差——點(diǎn)P在左、右相機(jī)的視差定義為d=|4-41

②盲區(qū)——相機(jī)固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)P位于該區(qū)域時(shí)，若在左、右投影面

上均不能形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱(chēng)為盲區(qū)(如圖2,陰影區(qū)域是盲區(qū)之一).

③感應(yīng)區(qū)一承上，若在左、右投影面均可形成成像點(diǎn)，則該區(qū)域稱(chēng)為感應(yīng)區(qū).

材料三：公式推導(dǎo)片段

以下是小明學(xué)習(xí)筆記的一部分：

京滬f_EP,_FP

△POQ,r

如圖3,顯然,△。甲/\O,.PrF/\POrH,可得一—----------

Z

Q,HOrH

EPi+FP.

所以，-(依據(jù))…

Z

O,H+OrH

圖3圖4

任務(wù):

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中(A,B,C,。是兩投影面端點(diǎn))，畫(huà)出感應(yīng)區(qū)邊界，并用陰影標(biāo)示出感應(yīng)區(qū).

(2)填空：材料三中的依據(jù)是指；已知某雙目相機(jī)的基線長(zhǎng)為200mm,焦距/為4mm,則位

于感應(yīng)區(qū)的目標(biāo)點(diǎn)尸到基線的距離z(mm)與視差d(mm)之間的函數(shù)關(guān)系式為

（3）如圖4,小明用（2）中那款雙目相機(jī)（投影面CO長(zhǎng)為10mm）正對(duì)天空連續(xù)拍攝時(shí)，一物體〃正

好從相機(jī)觀測(cè)平面的上方從左往右飛過(guò)，已知〃的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當(dāng)M剛好進(jìn)入感

應(yīng)區(qū)時(shí)，dx=0.05mm,當(dāng)M剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，.的正上方時(shí)，視差d=0.02mm,在整個(gè)成像過(guò)程中，d呈

現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當(dāng)［恰好減小到上述4的;時(shí)，開(kāi)始變大.

①小明以水平基線為x軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋

物線的表達(dá)式為（友情提示：注意橫、縱軸上的單位：lm=1000mm）；

②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時(shí)，距離基線的高度.

6.（2024?廣東深圳S3校聯(lián)考二模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)落地窗的遮陽(yáng)篷

項(xiàng)目背景：小明家的窗戶(hù)朝南，窗戶(hù)的高度AB=2m，為了遮擋太陽(yáng)光，小明做了以下遮陽(yáng)蓬

的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù).

方案1：直角形遮陽(yáng)篷

如圖1,小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角形遮陽(yáng)篷點(diǎn)C在A5的延長(zhǎng)線上

圖1

（1）若6C=0.5m,C￡）=lm,則支撐桿—m.

（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽(yáng)作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光與地平

14

面的最小夾角為小最大夾角為小小明查閱資料，計(jì)算出tana=3,tanj3=~,為了讓遮陽(yáng)篷既能最

大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)（太陽(yáng)光與5。平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽(yáng)光（太陽(yáng)光與

AD平行）.請(qǐng)求出圖2中5C,CD的長(zhǎng)度.

c

(3)如圖3,為了美觀及實(shí)用性，小明在(2)的基礎(chǔ)上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽(yáng)篷，點(diǎn)P為拋

物線的頂點(diǎn)，段可伸縮)，且NCED=90°,BC,CD的長(zhǎng)保持不變.若以C為原點(diǎn)，CD方向?yàn)?/p>

尤軸，方向?yàn)閥軸.

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

②若某時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面夾角。的正切值tan8=|使陽(yáng)光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽(yáng)蓬點(diǎn)。上升

的高度最小值(即點(diǎn)DC至CD的距離)

7.(2024?廣東深圳33校聯(lián)考一模)如圖1,一灌溉車(chē)正為綠化帶澆水，噴水口〃離地豎直高度為〃=1.2

米.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車(chē)噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象,

把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度跖=0.7米，下邊緣拋物線是由

上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌

(2)求下邊緣拋物線與％軸交點(diǎn)3的坐標(biāo);

(3)若d=3.2米，灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個(gè)綠化帶.

8.(2024?廣東深圳?南山區(qū)一模)己知一次函數(shù)丁=米+/?仕。0)的圖象與二次函數(shù)y=g(x+2)2—2的

圖象相交于點(diǎn)4(1,7"),6(—2,〃).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫(huà)出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；

1

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出不等式6+b<5(x+2)92-2的解集；

(3)當(dāng)—時(shí)，拋物線y=a(x+2)2—2與直線y=”只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

(4)把二次函數(shù)y=](x+2)2—2的圖象左右平移得到拋物線G：y=-(x-/n)2-2,直接寫(xiě)出當(dāng)拋物

線G與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)機(jī)的取值范圍.

9.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，已知4(2,0)、C(l,3石)，將

.OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)。落到點(diǎn)8的位置，拋物線y=2氐經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)。是拋物線

的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷點(diǎn)B是否在拋物線上;

（3）若點(diǎn)尸是線段。4上的點(diǎn)，且NAPD=NQ4B,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（4）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，以P、A、〃為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形，使該平行四邊形的另一

個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？

圖1中有一座拱橋，圖2是其

素拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)

——--------1-

材測(cè)得水面寬20m,拱頂離水面//'\Siw

Z.________________\J

1闔謬!?---------2QmT

15m.據(jù)調(diào)查，該河段水位在

mi陽(yáng)2

此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面

的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈

籠，如圖3.為了安全，燈籠底橋橫n產(chǎn)刖

素

部距離水面不小于1m；為了/安全距離：

材

實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的/；最高

2水位

水平間距均為1.6m；為了美

圖3

觀，要求在符合條件處都掛上

燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱(chēng)分布.

問(wèn)題解決

任

務(wù)確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

1

任

在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)

務(wù)探究懸掛范圍

的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍.

2

任給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，

擬定設(shè)計(jì)方案

務(wù)求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)噴泉安全通道？

在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過(guò)安全通道時(shí)不被水柱噴到（穿

梭過(guò)程中人的高度變化忽略不計(jì)）.

圖1為音樂(lè)噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂(lè)變化

素

而上下移動(dòng).不同高度的噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線型或拋物線的

材?

一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的M1

1圖

右側(cè).i

圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的/

0M

素示意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為4m,水柱最高點(diǎn)離圖2

材地面3m./A

2圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖.Q4為噴水管，B為水

A

的落地點(diǎn)，記02長(zhǎng)度為噴泉跨度.

0B

圖3

素安全通道CD在線段上，若無(wú)論噴頭高度如何變化，水柱都

A

材不會(huì)進(jìn)入CD上方的矩形區(qū)域，則稱(chēng)這個(gè)矩形區(qū)域CDEF為安/

3全區(qū)域.ocDBM

圖4

問(wèn)題解決

任在圖2中，以。為原點(diǎn)，所

務(wù)確定噴泉形狀.在直線為無(wú)軸，建立平面直角坐

1標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

任若噴水管。4最高可伸長(zhǎng)到

務(wù)確定噴泉跨度的最小值.2.25m,求出噴泉跨度的最

2小值.

現(xiàn)在需要一條寬為2m的安全通

道CD,為了確保進(jìn)入安全通道

任

CD上的任何人都能在安全區(qū)域

務(wù)設(shè)計(jì)通道位置及兒童的身高上限.

內(nèi)，則能夠進(jìn)入該安全通道的人

3

的最大身高為多少？（精確到

0.1m）

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：學(xué)科融合一用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

項(xiàng)目背景：學(xué)習(xí)完相似三角形性質(zhì)后，某學(xué)?？茖W(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法來(lái)研究凸透鏡成

像規(guī)律.

項(xiàng)目素材：

素材一：凸透鏡成像規(guī)律：

像的大像的正

物體到凸透鏡距離像到凸透鏡距離

小倒

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距縮小倒立

距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距放大倒立

距

小于焦距與物同側(cè)放大正立

素材二：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過(guò)透鏡中心的光線不發(fā)生改變：平行于主光軸的光線經(jīng)過(guò)折射后

光線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn).

項(xiàng)目任務(wù)：

任務(wù)一：凸透鏡的焦距。尸為6cm,蠟燭A3的高為4cm,離透鏡中心。的距離是9cm時(shí)，請(qǐng)你利用所

ON

學(xué)的知識(shí)填空：①——=,②MN=—；

0B

任務(wù)二：凸透鏡的焦距OF為6cm,蠟燭A3是4cm,離透鏡中心。的距離是xcm(%>6)時(shí)，蠟燭的成

像"N的高,請(qǐng)你利用所學(xué)的知識(shí)求出y與x的關(guān)系式:

任務(wù)三：

(1)根據(jù)任務(wù)二的關(guān)系式得出下表:

物距

810121416

x/cm

像高

1264m2.4

y/cm

其中；

(2)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出它的圖像:

14

12

10

8卜

6

4-

2

68101214161820*

（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖像寫(xiě)出1條你得到的結(jié)論:

13.（2024?廣東深圳-33校三模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：如何提高籃球運(yùn)動(dòng)罰球命中率一以小華同學(xué)為例活動(dòng)背景：

某學(xué)校體育節(jié)進(jìn)行班級(jí)籃球比賽，在訓(xùn)練過(guò)程中發(fā)現(xiàn)小華同學(xué)罰球命中率較低，為幫助小華同學(xué)提高罰球

命中率，該班數(shù)學(xué)小組拍攝了如下圖片并測(cè)量了相應(yīng)的數(shù)據(jù)（圖片標(biāo)注的是近似值）.

（1）模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時(shí)腳的位置，籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中8、D、F

為籃球的三個(gè)不同位置，8點(diǎn)為球出手時(shí)候的位置.已知

AB=1.75m,CD-3.202m,EF-3.042m,AC=2.2m,AE—3.8m,籃球運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，

數(shù)學(xué)小組以A、B、C、D、E、尸中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)椋ポS，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)

111

系，計(jì)算出籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為丁=-1/9+記x,根據(jù)解析式，請(qǐng)你判斷該數(shù)學(xué)小組

是以點(diǎn)（填A(yù)、B、C、。、E、尸中的一個(gè)）作為坐標(biāo)原點(diǎn).

??

I;

II

I

I

III

III

III

ACE

（2）問(wèn)題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請(qǐng)問(wèn)在（1）的情況下，小華的

這次罰球能否罰進(jìn)？并說(shuō)明理由.

（3）模型應(yīng)用：如下圖所示為拋物線y=-y/+x+2的一部分函數(shù)圖象，拋物線外一點(diǎn)尸（4,3）,試通

過(guò)計(jì)算說(shuō)明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個(gè)單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P.

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：合理設(shè)計(jì)智慧泉源

項(xiàng)目背景：為加強(qiáng)校園文化建設(shè)，學(xué)校計(jì)劃在原有的噴泉池內(nèi)增設(shè)一塊矩形區(qū)域，安裝LEO發(fā)光地磚燈，

用于展示校園文化標(biāo)語(yǔ)，要求該矩形區(qū)域被噴泉噴出水柱完全覆蓋，因此需要對(duì)原有噴泉的噴頭豎直高度

進(jìn)行合理調(diào)整.圍繞這個(gè)問(wèn)題，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組開(kāi)展了“合理設(shè)計(jì)智慧泉源”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí).

任務(wù)一測(cè)量建模

（1）如圖1,在水平地面上的噴泉池中心有一個(gè)可以豎直升降的噴頭，它向四周?chē)姵龅乃鶠閽佄锞€.經(jīng)

過(guò)測(cè)量，水柱的落點(diǎn)均在水平地面半徑為2米的圓上，在距池中心水平距離0.75米處，水柱達(dá)到最高，高

度為1.25米.學(xué)習(xí)小組根據(jù)噴泉的實(shí)景進(jìn)行抽象，以池中心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)闊o(wú)軸，豎直方向?yàn)閥軸建

立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出如圖2所示的函數(shù)圖象，求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式（不

需寫(xiě)自變量的取值范圍）；

任務(wù)二推理分析

（2）學(xué)習(xí)小組通過(guò)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭豎直高度調(diào)整時(shí)，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，

當(dāng)噴頭豎直高度增加九米，水柱落點(diǎn)形成的圓半徑相應(yīng)增加d米，〃與d之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，求出

與1之間的數(shù)量關(guān)系式；

任務(wù)三設(shè)計(jì)方案

(3)現(xiàn)計(jì)劃在原有噴水池內(nèi)增設(shè)一塊矩形區(qū)域ABCD,48=1.4米，5c=0.4米，增設(shè)后的俯視圖如

圖3所示，A5與原水柱落點(diǎn)形成的圓相切，切點(diǎn)為A5的中點(diǎn)P.若要求增設(shè)的矩形區(qū)域ABCD被噴泉

噴出水柱完全覆蓋，則噴頭豎直高度至少應(yīng)該增加米.

15.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模)綜合與應(yīng)用

如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則他在跳水過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分.建立如圖2所

示的平面直角坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)4(0,10)起跳，從起跳到入水的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(m)

與水平距離x(m)滿足二次函數(shù)的關(guān)系.

(1)在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表:

水平距離X

011.5

(m)

豎直高度y

10106.25

(m)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)在(1)這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng);

(3)信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B到水面的高度為Mm),從到達(dá)到最高點(diǎn)8開(kāi)始計(jì)時(shí)，則他

到水面的距離//(m)與時(shí)間，(s)之間滿足〃=—5/+k.

信息2：已知運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6s的時(shí)間才能完成極具難度的270c動(dòng)作.

問(wèn)題解決：

①請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，在(1)的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員甲能否成功完成此動(dòng)作？

②運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，此時(shí)他的豎直高度y(m)與水平距離x(m)的關(guān)系為

丁=依2_依+10(。＜0),若選手在達(dá)到最高點(diǎn)后要順利完成270c動(dòng)作，則。的取值范圍是.

16.(2024.廣東深圳?羅湖區(qū)三模)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：如何擬定運(yùn)動(dòng)員拍照記錄的方案？

項(xiàng)目背景：

任務(wù)一：確定滑道的形狀

(1)圖1是單板滑雪運(yùn)動(dòng)員從大跳臺(tái)滑雪場(chǎng)地滑出的場(chǎng)景，圖2是跳臺(tái)滑雪場(chǎng)地的橫截面示意圖.AC垂

直于水平底面點(diǎn)。到A之間的滑道呈拋物線型，已知AC=3m,BC=4m,且點(diǎn)B處于跳臺(tái)滑道

的最低處，在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求滑道所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

任務(wù)二：確定運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最高點(diǎn)的位置

(2)如圖3,某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)A滑出后的路徑滿足以下條件：

①運(yùn)動(dòng)員滑出路徑與。、A之間的拋物線好年用回，

②該運(yùn)動(dòng)員在底面上方豎直距離9.75m處達(dá)到最高點(diǎn)P

③落點(diǎn)。在底面BC下方豎直距離2.25m.

在同一平面直角坐標(biāo)系中，求運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最高處時(shí)與點(diǎn)A的水平距離.

任務(wù)三：確定拍攝俯角a

(3)高速攝像機(jī)能高度還原運(yùn)動(dòng)員的精彩瞬間，如圖4,有一臺(tái)攝像機(jī)M進(jìn)行跟蹤拍攝：

①它與點(diǎn)2位于同一高度，且與點(diǎn)8距離25.5m；

②運(yùn)動(dòng)過(guò)程需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能記錄，記攝像頭的俯角為1；

③在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)射線肱V的解析式為y=Ax+b(左/0),其比例系數(shù)上和俯角a的函數(shù)關(guān)系如

圖5所示.

若要求運(yùn)動(dòng)員的落點(diǎn)。必須在攝像機(jī)M的視角范圍內(nèi)，則俯角1至少多少度(精確到個(gè)位)？

度

3s

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）【問(wèn)題背景】

水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡(jiǎn)易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當(dāng)作噴射劑.圖

1是某學(xué)校興趣小組制做出的一款簡(jiǎn)易彈射水火箭.

圖I圖2

【實(shí)驗(yàn)操作】

為驗(yàn)證水火箭的一些性能，興趣小組同學(xué)通過(guò)測(cè)試收集了水火箭相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的水平距離X（單位：m）

與飛行時(shí)間/（單位：s）的數(shù)據(jù)，并確定了函數(shù)表達(dá)式為：x=3t.同時(shí)也收集了飛行高度J（單位：m）

任務(wù)1：求丁關(guān)于/的函數(shù)表達(dá)式.

【反思優(yōu)化】

圖2是興趣小組同學(xué)在室內(nèi)操場(chǎng)的水平地面上設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)（距離地面的高度為PQ）,

當(dāng)彈射高度變化時(shí)，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段A5為水火箭回收區(qū)域，已知

AP=42m，AB=(180-24)m.

任務(wù)2：探究飛行距離，當(dāng)水火箭落地（高度為0m）時(shí)，求水火箭飛行的水平距離.

任務(wù)3：當(dāng)水火箭落到A5內(nèi)（包括端點(diǎn)A,B）,求發(fā)射臺(tái)高度的取值范圍.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丁=-必+法+。的圖象與軸交

于A,B點(diǎn)、,與y軸交于點(diǎn)。（0,3）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)尸是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△5PC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△3PC

面積的最大值；

（3）連接尸。，PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POPC為菱形；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

噴出的水柱最外層的形狀為拋物線.以水平E處，正上方有一樹(shù)枝葉孔旋轉(zhuǎn)

方向?yàn)闊o(wú)軸，點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)式噴灑水柱外端剛好碰到樹(shù)葉F

系，點(diǎn)A（噴水口）在y軸上，x軸上的點(diǎn)。的最低處.

為水柱的最外落水點(diǎn).

丙小組在甲小組基礎(chǔ)上，測(cè)量得噴水口中心。到水柱的最外落水點(diǎn)。距離為半徑，

建立C。半徑為的扇形平面圖（圖3）.

問(wèn)題解決

丁小組測(cè)量得噴頭的高=2米，噴水口中心點(diǎn)。

3

到水柱的最外落水點(diǎn)D水平距離為8米，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

獲取數(shù)據(jù)

任務(wù)

用

1

解決問(wèn)題求出水柱所在拋物線的函數(shù)解析式.

13

丁小組測(cè)樹(shù)葉尸距水平地面最低高度=^米，點(diǎn)

獲取數(shù)據(jù)

任務(wù)產(chǎn)在拋物線上且離水噴頭水平距離較遠(yuǎn)，E在OD上，

2ODVEF.

解決問(wèn)題求OE的長(zhǎng).

丁小組觀察自動(dòng)旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭可順、逆時(shí)針往返噴

任務(wù)灑，可平面旋轉(zhuǎn)角度不超過(guò)240。，求：

推理計(jì)算

3①這個(gè)噴頭最多可灑水多少平方米？

②在①條件下，此時(shí)DD的長(zhǎng).

20.（2024?廣東深圳?紅嶺中學(xué)模擬）已知拋物線丁=%2+2尤-3.

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將該拋物線向右平移機(jī)（機(jī)＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得新拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求機(jī)的值.

專(zhuān)題16解答壓軸函數(shù)綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量拋物線的開(kāi)口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無(wú)，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小

組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)5。的讀數(shù)為無(wú)，CD讀數(shù)為》拋物線的頂點(diǎn)為C.

并求出y與尤的關(guān)系式;

（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-/z）2+Z的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平

和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為A3,豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線的開(kāi)口大

小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：

方案一：將二次函數(shù),平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為y=.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

②將點(diǎn)3'坐標(biāo)代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為他㈤

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系xQy中有A,8兩點(diǎn)，AB=4,且AB〃x軸，二次函數(shù)

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+匕都經(jīng)過(guò)48兩點(diǎn)，且Ci和。2的頂點(diǎn)尸，。距線段A5的

距離之和為10,若AB〃x軸且AB=4,求。的值.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析，=-x2；

74

（1、4〃（1、4〃

（2）方案一：@-m,n；②一■；方案二：0h+-m,k+n；②一■；

【2）m2I2）m2

（3）。的值為J或一彳.

22

【解析】

【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)圖形寫(xiě)出點(diǎn)3,或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；

（3）先求得4（—萬(wàn)一2,8+左），B（-h+2,S+n）,G頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（—〃，k）,再求得G頂點(diǎn)距線段AB

的距離為|（8+左）-左|=8,得到的頂點(diǎn)距線段A3的距離為10-8=2,得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

0（-410+左）或0（-人,6+左），再分類(lèi)求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

設(shè)拋物線的解析式為y^ax2+bx+c,

c=0

由題意得＜4〃+2b+c=1,

16a+4b+c=4

Cl———

4

解得］b=0,

c=0

與x的關(guān)系式為y=-；

【小問(wèn)2詳解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此時(shí)點(diǎn)5'的坐標(biāo)為Qm,〃］；

故答案：

解得a——-,

故答案為：一Y；

方案二：①：C點(diǎn)坐標(biāo)為伍,女），AB=m,CD=n,

DB=—m,

此時(shí)點(diǎn)5的坐標(biāo)為1/z+g加，左+〃

故答案h+—2m.k+nJ-

②由題意得k+n=ah+—m—h+k,

2

解得a——-,

m

4-n

故答案為：一Y;

m

【小問(wèn)3詳解】

解：根據(jù)題意和。2的對(duì)稱(chēng)軸為左=—“，

則A（—〃—2,8+左），B（-/z+2,8+M）,C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（—〃，k）,

：.C,頂點(diǎn)距線段AB的距離為|（8+左）_引=8,

/.C2的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10—8=2,

C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（—始0+左）或。（—"6+左），

當(dāng)。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0（—陽(yáng)。+左）時(shí)，y2=a（x+hf+10+k,

將A（—/z—2,8+左）代入得4。+10+左=8+左，解得a=——；

當(dāng)G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（一〃，6+左）時(shí)，%+6+左，

將4（—力一2,8+左）代入得4。+6+左=8+左，解得a=g；

綜上，。的值為;或—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人

們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其

中A5=3m,BC=4m,取中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作線段的垂直平分線OE交拋物線于點(diǎn)E,

若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）如圖，拋物線的頂點(diǎn)后（0,4）,求拋物線的解析式;

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT,SMNR,若

FL=NR=0.75m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；

（3）如圖，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線透過(guò)A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為3K,求BK的長(zhǎng).

(2)0.5m

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為丁=。必+4,求出A點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

即可；

(2)求出y=3.75時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，得到FN的長(zhǎng)，再減去兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)即可得解；

(3)求出直線AC的解析式，進(jìn)而設(shè)出過(guò)點(diǎn)K的光線解析式為y=-1x+〃?，利用光線與拋物線相切，求

4

出加的值，進(jìn)而求出K點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出3K的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

解：：拋物線AED的頂點(diǎn)￡(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4,

?..四邊形ABC。為矩形，OE為的中垂線，

AD=BC=4m,OB=2m,

*.*AB=3m,

點(diǎn)A(-2,3),代入y=ax2+4,得：

3=4Q+4,

.1

ci——,

4

1,

.??拋物線的解析式為y=-7V+4；

【小問(wèn)2詳解】

?..四邊形LFGT,四邊形SMM?均正方形，F(xiàn)L=NR=Q75m,

：.MG=FN=FL=NR^0J5m,

延長(zhǎng)“交于點(diǎn)延長(zhǎng)RN交BC于點(diǎn)、J,則四邊形FH/N,四邊形A3EH均為矩形，

FH=AB=3m,FN=HJ,

：.HL=HF+FL=3J5m,

1,1,

???y=——X2+4,當(dāng)y=3.75時(shí)，3.75=——x2+4,解得：=±l,

-4-4x

.?.〃(-1,0)，J(1,0),

FN=HJ=2m,

:.GM=FN—FG—MN=Q5m；

【小問(wèn)3詳解】

,??50=4111,OE垂直平分BC,

OB=OC-2m,

.-.B（-2,0）,C（2,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

2k+b=0

貝U：\,解得:

-2k+b=3

b=-

2

.33

..y——xH—,

42

???太陽(yáng)光為平行光,

3

設(shè)過(guò)點(diǎn)K平行于AC的光線的解析式為y=--x+m,

4

3

由題意，得：丁=-二力+根與拋物線相切，

4

12,

y=——x+4

4

聯(lián)立《3，整理得：X2—3x+4m—16=0，

y=—x+m

4

73

則：A=(-3)2-4(4m-16)=0,解得:m=一

16

37373

=——x-\----當(dāng)y=o時(shí),x=一

??y41612

vB(-2,0),

???BK2+"m

1212

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想,

進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

3.(2022.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個(gè)玻璃球體近似半圓O,A3為直徑，半圓。上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈

EF//AB,。0,45,￡尸的中點(diǎn)為。,。4=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在03上，0M=1.6,。尸=0.8,求。長(zhǎng)度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓。相切，H為切點(diǎn)、,M為OB上一點(diǎn),為入射光線，NH為反射光線，

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=—，求ON的長(zhǎng)度.

4

(3)如圖③，M是線段。3上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，/網(wǎng)如=50。,冽為反射光線交圓。于點(diǎn)乂

在M從。運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

【答案】(1)2(2)0N=—

7

“16

(3)4+—兀

9

【解析】

【分析】(1)由。尸=0.8,=1.6,DF//05,可得出止為7coM的中位線，可得出。為CO中點(diǎn)，

即可得出CD的長(zhǎng)度；