江蘇專用2025版高考數(shù)學大一輪復(fù)習第十二章系列4選講12.1矩陣與變換教案含解析

PAGEPAGE1第十二章系列4選講考試內(nèi)容等級要求矩陣的概念A(yù)二階矩陣與平面對量B常見的平面變換A變換的復(fù)合與矩陣的乘法B二階逆矩陣B二階矩陣的特征值與特征向量B二階矩陣的簡潔應(yīng)用B坐標系的有關(guān)概念A(yù)簡潔圖形的極坐標方程B極坐標方程與直角坐標方程的互化B參數(shù)方程B直線、圓及橢圓的參數(shù)方程B參數(shù)方程與一般方程的互化B參數(shù)方程的簡潔應(yīng)用B不等式的基本性質(zhì)B含有肯定值的不等式的求解B不等式的證明(比較法、綜合法、分析法)B算術(shù)—幾何平均不等式與柯西不等式A利用不等式求最大(小)值B運用數(shù)學歸納法證明不等式B§12.1矩陣與變換考情考向分析矩陣命題出自三個方向：一是變換的復(fù)合與矩陣的乘法，通過探討曲線上隨意一點的變換可以得出曲線的變換．二是逆變換與逆矩陣，主要由點或曲線的變換用待定系數(shù)法求矩陣或逆矩陣．三是特征值與特征向量．屬于低檔題．1．乘法規(guī)則(1)行矩陣[a11a12]與列矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))的乘法規(guī)則：[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二階矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))與列向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))的乘法規(guī)則：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)).(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍舊是一個矩陣，其乘法法則如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11b12,b21b22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22,a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22)).(4)兩個二階矩陣的乘法滿意結(jié)合律，但不滿意交換律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不肯定能推出B＝C.一般地，兩個矩陣只有當前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等時才能進行乘法運算．2．常見的平面變換(1)恒等變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))；(2)伸壓變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))；(3)反射變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))；(4)旋轉(zhuǎn)變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cosθ－sinθ,sinθcosθ))，其中θ為旋轉(zhuǎn)角度；(5)投影變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,10))；(6)切變變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1k,01))(k∈R，且k≠0)．3．逆變換與逆矩陣(1)對于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣；(2)若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值與特征向量設(shè)A是一個二階矩陣，假如對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量．5．特征多項式設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))是一個二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，稱為A的特征多項式．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)已知A，B，C為二階矩陣，且AB＝AC，若矩陣A存在逆矩陣，則B＝C.(√)(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,21))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,21))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,21))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3－1,61)).(√)(3)若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則(AB)－1＝B－1A－1.(×)(4)矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36,52))的特征值為8和－3.(√)題組二教材改編2．[P52例3]已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(23),\s\do5(45))))，則A的逆矩陣A－1＝________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1))解析因為det(A)＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),\f(4,2)－\f(2,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1)).3．[P11習題T7]已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,21))，其中a∈R.若點P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點P′(－4,0)，實數(shù)a的值為________．答案3解析由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,21))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4,0))，得2－2a＝－4，解得a＝3.4．[P39例1(1)]已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))，求AB.解AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)).題組三易錯自糾5．A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，則AB的逆矩陣為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))解析∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))，∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)).6．設(shè)橢圓的方程為x2＋eq\f(y2,a)＝1，若它在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))對應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)橐粋€圓，則實數(shù)a＝________.答案4解析設(shè)P(x，y)為橢圓上隨意一點，變換后為P′(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,\f(1,2)y))，所以x＝x′，y＝2y′，代入橢圓的方程，得x′2＋eq\f(4y′2,a)＝1.因為它表示圓，所以a＝4.7．已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))，求矩陣A－1B.解設(shè)矩陣A的逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a－b,2c2d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2)，從而A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))，所以A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03)).題型一矩陣與變換1．已知a，b是實數(shù)，假如矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))所對應(yīng)的變換將直線x－y＝1變換成x＋2y＝1，求a，b的值．解設(shè)點(x，y)是直線x－y＝1上隨意一點，在矩陣M的作用下變成點(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))因為點(x′，y′)在直線x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))2．二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．(1)求矩陣M；(2)設(shè)直線l在矩陣M變換作用下得到了直線m：x－y＝4，求直線l的方程．解(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34)).(2)設(shè)直線l上隨意一點P(x，y)，在矩陣M的變換作用下得到點P′(x′，y′)．因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋2y,3x＋4y))，且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直線l的方程為x＋y＋2＝0.思維升華已知變換前后的坐標，求變換對應(yīng)的矩陣時，通常用待定系數(shù)法求解．題型二求逆矩陣例1已知矩陣det(A)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(21),\s\do5(43))))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(11),\s\do5(0－1)))).(1)求A的逆矩陣A－1；(2)求矩陣C，使得AC＝B.解(1)因為|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－\f(4,2)\f(2,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21)).(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)2,－2－3)).思維升華求逆矩陣的方法(1)待定系數(shù)法設(shè)A是一個二階可逆矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc≠0，有A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,|A|)\f(－b,|A|),\f(－c,|A|)\f(a,|A|))).跟蹤訓練1已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))\o(\s\up7(2),\s\do5(－2))))，矩陣B的逆矩陣B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2),0

2))，求矩陣AB.解B＝(B－1)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,2)\f(\f(1,2),2),\f(0,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(1,4),0\f(1,2))).∴AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,0－2))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(1,4),0\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(5,4),0－1)).題型三特征值與特征向量例2已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(1)求矩陣A；(2)求矩陣A－1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．解(1)因為矩陣A是矩陣A－1的逆矩陣，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3))).(2)矩陣A－1的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩陣A－1的特征值為λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩陣A－1的屬于特征值λ1＝1的一個特征向量，ξ2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))是矩陣A－1的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．思維升華已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，求特征值和特征向量的步驟(1)令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0；))(3)賦值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，寫出相應(yīng)特征的向量．跟蹤訓練2(2024·無錫期末)已知變換T將平面內(nèi)的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，(0,1)分別變換成點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，4)).設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為M.(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的特征值．解(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4),－2))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2),4))，得a＝3，b＝－eq\f(3,2)，c＝－4，d＝4，∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2),－44)).(2)設(shè)矩陣M的特征多項式為f(λ)，∴f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－3\f(3,2),4λ－4))＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6.令f(λ)＝0，則λ1＝1，λ2＝6.1．已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,62))，求A的特征值．解A的特征多項式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－5,－6λ－2))＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值為λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值為7和－4.2．(2024·南通、泰州模擬)設(shè)矩陣A滿意：Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03))，求矩陣A的逆矩陣A－1.解方法一設(shè)矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03))，所以a＝－1,2a＋6b＝－2，c＝0,2c＋6d＝3.解得b＝0，d＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2))).依據(jù)逆矩陣公式得A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02)).方法二在Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03))兩邊同時左乘逆矩陣A－1，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝A－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03)).設(shè)A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03))，所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，從而A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02)).3．(2024·徐州模擬)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,01))，向量b＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,2)).求向量a，使得A2a＝b.解A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,01))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(43,01))，設(shè)a＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，由A2a＝b，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(43,01))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝10，,y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以a＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2)).4．(2024·宿遷期中)已知變換T把直角坐標平面上的點A(3，－4)，B(0,5)分別變換成點A′(2，－1)，B′(－1,2)，求變換T對應(yīng)的二階矩陣M.解設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,－4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))，且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝2，,3c－4d＝－1，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5b＝－1，,5d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,5)，,b＝－\f(1,5)，,c＝\f(1,5)，,d＝\f(2,5)，))所以矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,5),\f(1,5)\f(2,5))).5．曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))的作用下變換為曲線C2，求C2的方程．解設(shè)P(x，y)為曲線C2上隨意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對應(yīng)的點，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2y′，,y＝y(tǒng)′，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x－2y，,y′＝y(tǒng).))因為P′是曲線C1上的點，所以C2的方程為(x－2y)2＋2y2＝1.6．(2015·江蘇)已知x，y∈R，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值．解由已知，得Aα＝－2α，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2，,y＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,20)).從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩陣A的另一個特征值為1.7．求曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積．解設(shè)點(x0，y0)為曲線|x|＋|y|＝1上的任一點，在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對應(yīng)的變換作用下得到的點為(x′，y′)，則由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x0，,y′＝\f(1,3)y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x′，,y0＝3y′，))所以曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為|x|＋3|y|＝1，所以圍成的圖形為菱形，其面積為eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).8．(2024·江蘇省豐縣中學質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)，設(shè)k≠0，k∈R，M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k0,01))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，點A，B，C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點A1，B1，C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數(shù)k的值．解由題設(shè)得MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k0,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0k,10))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0k,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－2－2,001))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00k,0－2－2))，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．計算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，則由題設(shè)知|k|＝2×1＝2，即k＝±2.9．(2024·高郵考試)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，其中a∈R，若點P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點P′(0，－3)．(1)求實數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量．解(1)∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,a＋1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，∴a＝－4.(2)∵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－41))，∴f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,4λ－1))＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，對于特征值λ1＝－1，解相應(yīng)的線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,4x－2y＝0，))得一個非零解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))因此α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))是矩陣A的屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量．對于特征值λ2＝3，解相應(yīng)的線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,4x＋2y＝0))得一個非零解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))因此α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))是矩陣A的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．∴矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝3，屬于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分別為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2)).10．設(shè)a>0，b>0，若矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,0b))把圓C：x2＋y2＝1變換為橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(1)求a，b的值；(2)求矩陣A的逆矩陣A－1.解(1)設(shè)點P(x，y)為圓C：x2＋y2＝1上隨意一點，經(jīng)過矩陣A變換后對應(yīng)點為P′(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,0b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax,by))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝ax，,y′＝by，))因為點P′(x′，y′)在橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\f(a2x2,4)＋eq\f(b2y2,3)＝1，這個方程即為圓C方程，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝3，))又因為a>0，b>0，所以a＝2，b＝eq\r(3).(2)由(1)得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0\r(3)))，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,0\f(\r(3),3))).11．(2024·江蘇)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02)).(1)求AB；(2)若曲線C1：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．解(1)因為A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，所以AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0